2023年塔里木职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年塔里木职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.已知向量a，b，向量c=2a+b，且|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°

（1）求|c|2；（2）若向量d=ma-b，且d∥c，求实数m的值．答案：（1）∵|a|=1，|b|=2，a和b的夹角为60°∴a•b=|a||b|cos60°=1∴|c|2=(

2a+b)2=4a2+4ab+b2=4+4+4=12（2）∵d∥c∴存在实数λ使得d=λc即ma-b=λ（2a+b）又∵a，b不共线∴2λ=m，λ=-1∴m=-22.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）

A．一条直线

B．两条直线

C．圆

D．椭圆答案：C3.三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若＜n1，n2＞=，则二面角A-BD-C的大小为（）

A．

B．

C．或

D．或答案：C4.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（

）

A．预报变量x轴上，解释变量y轴上

B．解释变量x轴上，预报变量y轴上

C．可以选择两个变量中任意一个变量x轴上

D．可以选择两个变量中任意一个变量y轴上答案：B5.下列输入语句正确的是（）

A．INPUT

x，y，z

B．INPUT“x=”；x，“y=”；y

C．INPUT

2，3，4

D．INPUT

x=2答案：A6.（x+2y）4展开式中各项的系数和为______．答案：令x=y=1，可得（1+2）4=81故为：81．7.已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立，下列命题成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k2成立；B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k2成立；C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立；D．若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立答案：对A，当k=1或2时，不一定有f（k）≥k2成立；对B，应有f（k）≥k2成立；对C，只能得出：对于任意的k≥7，均有f（k）≥k2成立，不能得出：任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立；对D，∵f（4）=25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立．故选D8.已知点P（x，y）在曲线x=2+cosθy=2sinθ（θ为参数），则ω=3x+2y的最大值为______．答案：由题意，ω=3x+2y=3cosθ+4sinθ+6=5sin（θ+?）+6∴当sin（θ+?）=1时，ω=3x+2y的最大值为

11故为11．9.根据给出的空间几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图．答案：画法：（1）画轴如下图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．（2）画圆台的两底面画出底面⊙O假设交x轴于A、B两点，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′、B′两点．（3）成图连接A′A、B′B，去掉辅助线，将被遮挡的部分要改为虚线，即得到给出三视图所表示的直观图．10.向量化简后等于（）

A.

B.

C.

D.答案：C11.某制药厂为了缩短培养时间，决定优选培养温度，试验范围定为29℃至50℃，现用分数法确定最佳温度，设第1，2，3次试验的温度分别为x1，x2，x3，若第2个试点比第1个试点好，则x3的值为（

）。答案：34℃或45℃12.从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB及一条割线PCD，A、B为切点．求证：ACBC=ADBD．

答案：证明：∠CAP=∠ADP∠CPA=∠APD?△CAP∽△ADP?ACAD=APDP，①∠CBP=∠BDP∠CPB=∠BPD?△CBP∽△BDP?BCDB=BPDP，②又AP=BP，③由①②③知：ACAD=BCBD，故ACBC=ADBD．得证．13.已知=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）

A．

B．

C．

D．答案：D14.两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离是

______．答案：由直线x+3y-4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，0），则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y-9=0的距离d=|8-9|22+62=1210=1020．故为：102015.若正四面体ABCD的棱长为1，M是AB的中点，则MC

•MD

=______．答案：在正四面体中，因为M是AB的中点，所以CM=12(CA+CB)，DM=12(DA+DB)，所以CM⋅DM=12(CA+CB)⋅12(DA+DB)=14(CA⋅DA+CB⋅DA+CA⋅DB+CB⋅DB)=14(1×1×cos60∘+0+0+1×1×cos60∘)=14×1=14．所以MC

•MD

=CM⋅DM=14．故为：

1

4

．16.函数f（x）=x2+2的单调递增区间为

______．答案：如图所示：函数的递增区间是：[0，+∞）故为：[0，+∞）17.各项都为正数的数列{an}，满足a1=1，an+12-an2=2．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．答案：（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2为首项为1，公差为2的等差数列，∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，则an=2n-1（Ⅱ）只需证：1+13+…+12n-1≤

2n-1．1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．当n=2时，左边＜右边，所以命题成立②假设n=k时命题成立，即1+13+…+12k-1≤2k-1，当n=k+1时，左边=1+13+…+12K-1+12K+1≤2K-1+12K+1．＜2K-1+22K+1+2K-1=2K-1+2(2K+1-2K-1)

2=2(K+1)-1．命题成立由①②可知，1a1+1a2+…+1an≤2n-1对一切n∈N+恒成立．18.函数y=ax+b和y=bax（a≠0，b＞0，且b≠1）的图象只可能是（）A．

B．

C．

D．

答案：对于A：函数y=ax+b递增可得a＞0，0＜b＜1；函数y=bax（a≠0，b＞0，且b≠1）递减可得0＜b＜1且a＞0故A正确对于B：函数y=ax+b递增可得a＞0，b＞1；函数y=bax（a≠0，b＞0，且b≠1）递减可得0＜b＜1且a＞0，矛盾，故B不正确对于C：函数y=ax+b递减可得a＜0，0＜b＜1；函数y=bax（a≠0，b＞0，且b≠1）递减可得0＜b＜1且a＞0，矛盾，故C不正确对于D：函数y=ax+b递减可得a＜0，b＞1；函数y=bax（a≠0，b＞0，且b≠1）递增可得b＞1且a＞0，矛盾，故D不正确故选A19.我们称正整数n为“好数”，如果n的二进制表示中1的个数多于0的个数．如6=（110）：为好数，1984=（11111000000）；不为好数，则：

（1）二进制表示中恰有5位数码的好数共有______个；

（2）不超过2012的好数共有______个．答案：（1）二进制表示中恰有5位数码的二进制数分别为：10000，10001，10010，10011，10100，10101，10110，10111，11000，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111，共十六个数，再结合好数的定义，得到其中好数有11个；（2）整数2012的二进制数为：11111011100，它是一个十一位的二进制数．其中一位的二进制数是：1，共有C11个；其中二位的二进制数是：11，共有C22个；

其中三位的二进制数是：101，110，111，共有C12+C22个；

其中四位的二进制数是：1011，1101，1110，1111，共有C23+C33个；

其中五位的二进制数是：10011，10101，10110，11001，11010，11100，10111，11011，11101，11110，11111，共有C24+C34+C44个；

以此类推，其中十位的二进制数是：共有C49+C59+C69+C79+C89+C99个；其中十一位的小于2012二进制数是：共有24+4个；一共不超过2012的好数共有1164个．故1065个20.圆（x+2）2+y2=4与圆（x-2）2+（y-1）2=9的位置关系为（）

A．内切

B．相交

C．外切

D．相离答案：B21.直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0之间的距离是（）

A．

B．2

C．

D．答案：C22.已知A（3，4，5），B（0，2，1），O（0，0，0），若，则C的坐标是（）

A．（-，-，-）

B．（，-，-）

C．（-，-，）

D．（，，）答案：A23.直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（

）

A．-3

B．2

C．-3或2

D．3或-2答案：A24.若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+2y=1，则xy的最大值为______．答案：∵x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+2y=1，∴1=x+2y≥2x?2y，∴22×xy≤1，∴xy≤

122=24，所以xy≤18．当且仅当x=2yx+2y=1时，即x=12，y=14时，取等号．故为：18．25.化简：AB+CD+BC=______．答案：如图：AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD．故为：AD．26.已知（2x+1）3的展开式中，二项式系数和为a，各项系数和为b，则a+b=______．（用数字表示）答案：由题意可得（2x+1）3的展开式中，二项式系数和为a=23=8令x=1可得各项系数和为b=（2+1）3=27∴a+b=35故为：3527.向量a=i+

2j在向量b=3i+4j上的投影是______．答案：根据投影的定义可得：a在b方向上的投影为：|a|cos＜a，b＞=a?b|b|=1×3+2×452=115．故为：115．28.（几何证明选讲选做题）如图4，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD=______．答案：如图所示：作出直径AE，∵OA=2，C为OA的中点，∴OC=CA=1，CE=3．∵OB⊥OA，∴BC=22+12=5．由相交弦定理得BC?CD=EC?CA，∴CD=EC?CABC=3×15=355．故为355．29.如图所示，已知PA切圆O于A，割线PBC交圆O于B、C，PD⊥AB于D，PD与AO的延长线相交于点E，连接CE并延长交圆O于点F，连接AF．

（1）求证：B，C，E，D四点共圆；

（2）当AB=12，tan∠EAF=23时，求圆O的半径．答案：（1）由切割线定理PA2=PB?PC由已知易得Rt△PAD∽Rt△PEA，∴PA2=PD?PE，∴PA2=PB?PC=PA2=PD?PE，又∠BPD为公共角，∴△PBD∽△PEC，∴∠BDP=∠C∴B，C，E，D四点共圆

（2）作OG⊥AB于G，由（1）知∠PBD=∠PEC，∵∠PBD=∠F，∴∠F=∠PEC，∴PE∥AF．∵AB=12，∴AG=6．∵PD⊥AB，∴PD∥OG．∴PE∥OG∥AF，∴∠AOG=∠EAF．在Rt△AOG中，tan∠AOG=tan∠EAF=23=6OG，∴OG=9∴R=AO=AG2+OG2=313∴圆O的半径313．30.把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．

（1）相似三角形的对应角相等；

（2）当a＞1时，函数y=ax是增函数．答案：（1）若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，结论q：对应角相等．（2）若a＞1，则函数y=ax是增函数．条件p：a＞1，结论q：函数y=ax是增函数．31.已知x+5y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为______．答案：证明：35（x2+y2+z2）×（1+25+9）≥（x+5y+3z）2=1∴x2+y2+z2≥135，则x2+y2+z2的最小值为135，故为：135．32.对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为0.25，则N等于（）A．150B．200C．120D．100答案：∵每个零件被抽取的概率都相等，∴30N=0.25，∴N=120．故选C．33.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为______米．答案：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，-2）代入x2=my，得m=-2∴x2=-2y，代入B（x0，-3）得x0=6，故水面宽为26m．故为：26．34.某重点高中高二历史会考前，进行了五次历史会考模拟考试，某同学在这五次考试中成绩如下：90，90，93，94，93，则该同学的这五次成绩的平均值和方差分别为（）

A．92，2

B．92，2.8

C．93，2

D．93，2.8答案：B35.若函数f（x）=loga（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）=ax+b的大致图象是(

)

答案：D解析：试题分析：解：由函数f（x）=loga（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）=loga（x+b）的图象由f（x）=logax向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）=ax+b的大致图象是D故选D.36.已知ａ＞０，且ａ≠１，解关于x的不等式：

答案：①当ａ＞1时，原不等式解为｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２②当０＜ａ＜１时，原不等式解为｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０解析：原不等式等价于原不等式同解于7分由①②得１＜ａｘ＜４，由③得从而1＜ａｘ≤２１０分①当ａ＞1时，原不等式解为｛ｘ｜０＜ｘ≤ｌｏｇａ２②当０＜ａ＜１时，原不等式解为｛ｘ｜ｌｏｇａ２≤ｘ＜０37.设a1，a2，…，an为正数，证明a1+a2+…+ann≥n1a1+1a2+…+1an．答案：证明：∵a1，a2，…，an为正数，∴要证明a1+a2+…+ann≥n1a1+1a2+…+1an，只要证明（a1+a2+…+an）（1a1+1a2+…1an）≥n2∵a1+a2+…+an≥nna1a2…an，1a1+1a2+…1an≥nn1a1a2…an∴两式相乘，可得（a1+a2+…+an）（1a1+1a2+…1an）≥n2∴原不等式成立．38.若数据x1，x2，…，xn的方差为3，数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的标准差为23，则实数a的值为______．答案：数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差是数据x1，x2，…，xn的方差的a2倍；则数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差为3a2，标准差为3a2=23解得a=±2故为：±239.由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有（）

A．6块

B．7块

C．8块

D．9块答案：B40.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA=a，PB=b，PC=c，则BE=______．答案：BE=12(BP+BD)=-12PB

+12(BA+BC)=-12PB+12BA+12BC=-12PB+12(PA-PB)+12(PC-PB)=-32PB+12PA+

12PC=12a-32b+12c．故为：12a-32b+12c．41.复数，且A+B=0，则m的值是（）

A．

B．

C．-

D．2答案：C42.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是（）

A．椭圆

B．AB所在直线

C．线段AB

D．无轨迹答案：C43.若向量a=(3，0)，b=(2，2)，则a与b夹角的大小是（）

A．0

B．

C．

D．答案：B44.若不共线的平面向量，，两两所成角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（

）

A．2

B．5

C．2或5

D.或答案：A45.如图，在△ABC中，，，则实数λ的值为（）

A．

B．

C．

D．

答案：D46.设圆M的方程为（x-3）2+（y-2）2=2，直线L的方程为x+y-3=0，点P的坐标为（2，1），那么（）

A．点P在直线L上，但不在圆M上

B．点P在圆M上，但不在直线L上

C．点P既在圆M上，又在直线L上

D．点P既不在直线L上，也不在圆M上答案：C47.设△ABC是边长为1的正三角形，则|CA+CB|=______．答案：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴|CA|=1，|CB|=1，CA?CB=1×1×cosπ3=12∴|CA+CB|=CA2+2CA?CB+CB2=1+1+

2×12=3，故为：348.下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为（）

A．i＞20

B．i＜20

C．i＞=20

D．i＜=20

答案：A49.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP=15OA+23OB+λOC确定的点P与A，B，C共面，那么λ=______．答案：由题意A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外一点，若由向量OP=15OA+23OB+λOC确定的点P与A，B，C共面，∴15+23+λ=1解得λ=215故为：21550.下列命题：

①垂直于同一直线的两直线平行；

②垂直于同一直线的两平面平行；

③垂直于同一平面的两直线平行；

④垂直于同一平面的两平面平行；

其中正确的有（）

A．③④

B．①②④

C．②③

D．②③④答案：C第2卷一.综合题(共50题)1.如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一个点，若它停在奇数点上，则下次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从“5”这点起跳，经2

011次跳后它停在的点对应的数字是______．答案：起始点为5，按照规则，跳一次到1，再到2，4，1，2，4，1，2，4，…，“1，2，4”循环出现，而2011=3×670+1．故经2011次跳后停在的点是1．故为12.袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．

（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（Ⅱ）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和均值．答案：（I）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数C123，满足条件的事件是取出的3个小球上的数字互不相同，共有C43C31C31C31记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，∴P(A)=C34?C13?C13?C13C312=2755．（II）由题意X所有可能的取值为：1，2，3，4．P(X=1)=1C312=1220；P(X=2)=C23?C13+C23?C13+C33C312=19220；P(X=3)=C26?C13+C16?C23+C33C312=64220=1655；P(X=4)=C29?C13+C19?C23+C33C312=136220=3455．∴随机变量X的分布列为∴随机变量X的期望为EX=1×1220+2×19220+3×1655+4×3455=15544．3.若不等式对一切x恒成立，求实数m的范围.答案：见解析解析：∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0,∴只须mx2-mx-1<0恒成立，即可：①

当m=0时，-1<0,不等式成立；②

当m≠0时，则须，解得-4<m<0.由（1）、（2）得：-4<m≤0.</m<0.4.为了参加奥运会，对自行车运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度的数据如表所示：

甲273830373531乙332938342836请判断：谁参加这项重大比赛更合适，并阐述理由．答案：.X甲=27+38+30+37+35+316=33S甲=946≈3.958，（

4分）.X乙=33+29+38+34+28+366=33S乙=383≈3.559（8分）.X甲=.X乙，S甲＞S乙

（10分）乙参加更合适

（12分）5.已知x1、x2是关于x1的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实根，那么x12+x22的最大值是[

]

A.19

B.17

C.

D.18答案：D6.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点O在AB上，BD⊥AB，点B是垂足，OD∥AC，连接CD．

求证：CD是⊙O的切线．答案：证明：连接CO，（1分）∵OD∥AC，∴∠COD=∠ACO，∠CAO=∠DOB．（3分）∵∠ACO=∠CAO，∴∠COD=∠DOB．（6分）∵OD=OD，OC=OB，∴△COD≌△BOD．（8分）∴∠OCD=∠OBD=90°．∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切线．（10分）7.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是（）A．f（x）=log2xB．f(x)=1xC．f（x）=|x|D．f（x）=2x答案：∵函数y=1x定义域为x＞0，又函数f（x）=log2x定义域x＞0，故选A．8.在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）

A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2

B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2

C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1

D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1答案：B9.实数系的结构图如图所示，其中1、2、3三个方格中的内容分别为（）

A．有理数、零、整数

B．有理数、整数、零

C．零、有理数、整数

D．整数、有理数、零

答案：B10.已知x∈R，a=x2+12，b=2-x，c=x2-x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．答案：证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a+b+c＜3而a+b+c=2x2-2x+12+3=2(x-12)2+3≥3，两者矛盾；故a，b，c至少有一个不小于1．11.在空间直角坐标系中，点P（2，-4，6）关于y轴对称点P′的坐标为P′（-2，-4，-6）P′（-2，-4，-6）．答案：∵在空间直角坐标系中，点（2，-4，6）关于y轴对称，∴其对称点为：（-2，-4，-6），故为：（-2，-4，-6）．12.若A是圆x2+y2=16上的一个动点，过点A向y轴作垂线，垂足为B，则线段AB中点C的轨迹方程为（）

A．x2+2y2=16

B．x2+4y2=16

C．2x2+y2=16

D．4x2+y2=16答案：D13.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）

A．

B．

C．

D.

答案：C14.设a=（-1，1），b=（x，3），c=（5，y），d=（8，6），且b∥d，（4a+d）⊥c．

（1）求b和c；

（2）求c在a方向上的射影；

（3）求λ1和λ2，使c=λ1a+λ2b．答案：（1）∵b∥d，∴6x-24=0．∴x=4．∴b=(4，3)．∵4a+d=（4，10），（4a+d

）⊥c，∴5×4+10y=0．∴y=-2．∴c=（5，-2）．（2）cos＜a，c＞=a•c|a|

|c|=-5-22•29=-75858，∴c在a方向上的投影为|c|cos＜a，c＞=-722．（3）∵c=λ1a+λ2b，∴5=-λ1+4λ2-2=λ1+3λ2，解得λ1=-237，λ2=37．15.已知命题p、q，若命题“p∨q”与命题“￢p”都是真命题，则（）A．命题q一定是真命题B．命题q不一定是真命题C．命题p不一定是假命题D．命题p与命题q的真值相等答案：∵命题“￢p”与命题“p∨q”都是真命题，∴命题p为假命题，q为真命题．故选A．16.甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是（）

A．甲

B．乙

C．甲、乙相同

D．不能确定答案：B17.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．答案：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；（5分）又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是AE=12AB=3．（10分）18.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若的面积,求的大小.答案：（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）90°解析：本题主要考查平面几何中与圆有关的定理及性质的应用、三角形相似及性质的应用.证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD．因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD．故△ABE∽△ADC．（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE．又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE．则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°．【点评】在圆的有关问题中经常要用到弦切角定理、圆周角定理、相交弦定理等结论，解题时要注意根据已知条件进行灵活的选择，同时三角形相似是证明一些与比例有关问题的的最好的方法.19.直线l1到l2的角为α，直线l2到l1的角为β，则cos=（）

A．

B．

C．0

D．1答案：A20.已知随机变量ξ服从正态分布N（2，0.2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）等于（）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84答案：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，0.2），μ=2，∴p（ξ≤0）=p（ξ≥4）=1-p（ξ≤4）=0.16．故选A．21.已知点P1的球坐标是P1（4，，），P2的柱坐标是P2（2，，1），则|P1P2|=（）

A．

B．

C．

D．4答案：A22.已知||=3，A、B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是（）

A．

B．

C．

D．答案：B23.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设（α，β∈R），则α+β的最大值等于

（）

A．

B．

C．

D．1

答案：B24.

选修1：几何证明选讲

如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：

（1）l是⊙O的切线；

（2）PB平分∠ABD．答案：证明：（1）连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD．又OA=OB，PC=PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l．因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．（2）连接AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP．又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD．25.若a＞b＞0，则，，，从大到小是_____答案：>>>解析：,又ab>0,;即。故有：>>>26.阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．6答案：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B27.函数y=ax的反函数的图象过点（9，2），则a的值为______．答案：依题意，点（9，2）在函数y=ax的反函数的图象上，则点（2，9）在函数y=ax的图象上将x=2，y=9，代入y=ax中，得9=a2解得a=3故为：3．28.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06（0.50×[m]+1）给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数（例如[3]=3，[3.7]=4，[3.1]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（）A．3.71B．3.97C．4.24D．4.77C答案：由[m]是大于或等于m的最小整数可得[5.5]=6．所以f（5.5）=1.06×（0.50×[5.5]+1）=1.06×4=4.24．故选：C．29.数据：1，1，3，3的众数和中位数分别是（）

A．1或3，2

B．3，2

C．1或3，1或3

D．3，3答案：A30.已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______．答案：：如图可知：∵AC1=6，cos∠AC1A1=33∴A1C1=2，AA1=2∴正四棱柱的体积等于A1B12?AA1=2故为：231.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量OP=15OA+23OB+λOC确定的点P与A，B，C共面，那么λ=______．答案：由题意A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外一点，若由向量OP=15OA+23OB+λOC确定的点P与A，B，C共面，∴15+23+λ=1解得λ=215故为：21532.已知函数f（x）=|x+2|-1，g（x）=|3-x|+2，若不等式f（x）-g（x）≤K的解集为R．则实数K的取值范围为______．答案：因为函数f（x）=|x+2|-1，g（x）=|3-x|+2，所以f（x）-g（x）=|x+2|-|x-3|-3，它的几何意义是数轴上的点到-2与到3距离的差再减去3，它的最大值为2，不等式f（x）-g（x）≤K的解集为R．所以K≥2．故为：[2，+∞）．33.如图①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为（）

A．a＜b＜1＜c＜d

B．b＜a＜1＜d＜c

C．1＜a＜b＜c＜d

D．a＜b＜1＜d＜c

答案：B34.经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是______．答案：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或y=x．故为：x+y=2或y=x35.以下坐标给出的点中，在曲线x=sin2θy=sinθ+cosθ上的点是（）A．(12，-2)B．(2，3)C．(-34，12)D．(1，3)答案：把曲线x=sin2θy=sinθ+cosθ消去参数θ，化为普通方程为y2=1+x（-1≤x≤1），结合所给的选项，只有C中的点在曲线上，故选C．36.已知A（-1，2），B（2，-2），则直线AB的斜率是（）

A．

B．

C．

D．答案：A37.下列几种说法正确的个数是（）

①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；

②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；

③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；

④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．

A．1

B．2

C．3

D．4答案：B38.抛物线y2=4px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点．

（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0＞3p；

（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当0＜p＜1时，求1|N1N2|+1|N2N3|+…+1|N10N11|的值．答案：（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px．得k2x2+（2k2p-4p）x+k2p2=0．△=4（k2p-2p）2-4k2•k2p2＞0，得0＜k2＜1．令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=-2k2p-4pk2，y1+y2=k（x1+x2+2p）=4pk，AB中点坐标为（2P-k2Pk2，2pk）．AB垂直平分线为y-2pk=-1k（x-2P-k2Pk2）．令y=0，得x0=k2P+2Pk2=p+2Pk2．由上可知0＜k2＜1，∴x0＞p+2p=3p．∴x0＞3p．（2）∵l的斜率依次为p，p2，p3，时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，（0＜p＜1）．∴点Nn的坐标为（p+2p2n-1，0）．|NnNn+1|=|（p+2p2n-1）-（p+2p2n+1）|=2(1-p2)p2n+1，1|NnNn+1|=p2n+12(1-p2)，所求的值为12(1-p2)[p3+p4++p21]=p3(1-p19)2(1-p)2(1+p)．39.已知抛物线的参数方程为（t为参数），其中p＞0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=（

）。答案：240.随机地向某个区域抛撒了100粒种子，在面积为10m2的地方有2粒种子发芽，假设种子的发芽率为100%，则整个撒种区域的面积大约有______m2．答案：设整个撒种区域的面积大约xm2，由于假设种子的发芽率为100%，所以在面积为10m2的地方有2粒种子发芽，意味着在面积为10m2的地方有2粒种子，从而有：100x=210，∴x=500，故为：500．41.设a、b∈R+且a+b=3，求证1+a+1+b≤10．答案：证明：证法一：（综合法）∵(1+a+1+b)2=2+a+b+2(1+a)?(1+b)≤5+(1+a+1+b)=10∴1+a+1+b≤10证法二：（分析法）∵a、b∈R+且a+b=3，∴欲证1+a+1+b≤10只需证(1+a+1+b)2≤10即证2+a+b+2(1+a)?(1+b)≤10即证2(1+a)?(1+b)≤5只需证4（1+a）?（1+b）≤25只需证4（1+a）?（1+b）≤25即证4（1+a+b+ab）≤25只需证4ab≤9即证ab≤94∵ab≤(a+b2)2=(32)2=94成立∴1+a+1+b≤10成立42.在区间[0，1]产生的随机数x1，转化为[-1，3]上的均匀随机数x，实施的变换为（）

A．x=3x1-1

B．x=3x1+1

C．x=4x1-1

D．x=4x1+1答案：C43.已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（）

A．（x-1）2+y2=1

B．x2+（y-1）2=1

C．（x+1）2+y2=1

D．x2+y2=2答案：A44.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是

______．答案：设含红球个数为ξ，ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球，∴P（ξ=0）=C22C25=0.1，P（ξ=1）=C12C13C25=0.6P（ξ=2）=C23C25=0.3∴Eξ=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2．故为：1.2．45.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，若AC′=xAB+2yBC-3zC′C，则x+y+z等于______．答案：根据向量的加法法则可得，AC′=AC+CC′=AB+BC+CC′∵AC′=xAB+2yBC-3zC′C∴x=1，2y=1，-3z=1∴x=1，y=12，z=-13∴x+y+z=1+12-13=76故为：7646.已知x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，则a2+b2与（x+y）2的大小关系为

______．答案：由已知x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)和柯西不等式的二维形式．得a2+b2=(a2+b2)(x2a2+y2b2)≥(a?xa+b?yb)2=(x+y)2．故为a2+b2≥（x+y）2．47.已知曲线C的方程是x2+y2+6ax-8ay=0，那么下列各点中不在曲线C上的是（）

A．（0，0）

B．（2a，4a）

C．（3a，3a）

D．（-3a，-a）答案：B48.已知指数函数f（x）的图象过点（3，8），求f（6）的值．答案：设指数函数为：f（x）=ax，因为指数函数f（x）的图象过点（3，8），所以8=a3，∴a=2，所求指数函数为f（x）=2x；所以f（6）=26=64所以f（6）的值为64．49.若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B的关系是（）

A．互斥事件

B．对立事件

C．不是互斥事件

D．前者都不对答案：D50.已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部，则半径r的范围是（）A．0＜r＜22B．0＜r＜2C．0＜r＜2D．0＜r＜4答案：根据题意画出图形，如图所示：可得曲线|x|+|y|=4表示边长为42的正方形，如图ABCD为正方形，x2+y2=r2表示以原点为圆心的圆，过O作OE⊥AB，∵边AB所在直线的方程为x+y=4，∴|OE|=42=22，则满足题意的r的范围是0＜r＜22．故选A第3卷一.综合题(共50题)1.函数y=ax2+a与（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

答案：D2.小李在一旅游景区附近租下一个小店面卖纪念品和T恤，由于经营条件限制，他最多进50件T恤和30件纪念品，他至少需要T恤和纪念品40件才能维持经营，已知进货价为T恤每件36元，纪念品每件50元，现在他有2400元可进货，假设每件T恤的利润是18元，每件纪念品的利润是20元，问怎样进货才能使他的利润最大，最大利润为多少？答案：设进T恤x件，纪念品y件，可得利润为z元，由题意得x、y满足的约束条件为：

0≤x≤50

0≤y≤30

x+y≥4036x+48y≤2400，且x、y∈N*目标函数z=18x+20y约束条件的可行域如图所示：五边形ABCDE的各个顶点坐标分别为：A（40，0），B（50，0），C（50，252），D（803，30），E（10，30），当直线l：z=18x+20y经过C（50，252）时取最大值，∵x，y必为整数，∴当x=50，y=12时，z取最大值即进50件T恤，12件纪念品时，可获最大利润，最大利润为1140元．3.如图，正六边形ABCDEF中，=（）

A．

B．

C．

D.

答案：D4.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则“a1＜0且0＜q＜1”是“对于任意n∈N*都有an+1＞an”的

（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件答案：A5.已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则圆锥的体积是______．答案：圆锥的底面周长为6π，所以圆锥的底面半径为3；圆锥的高为4所以圆锥的体积为13×π32×4=12π故为12π．6.阅读下面的程序框图，该程序运行后输出的结果为______．答案：循环前，S=0，A=1，第1次判断后循环，S=1，A=2，第2次判断并循环，S=3，A=3，第3次判断并循环，S=6，A=4，第4次判断并循环，S=10，A=5，第5次判断并循环，S=15，A=6，第6次判断并退出循环，输出S=15．故为：15．7.若a2+b2=c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．答案：证明：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，得a2+b2为偶数，而c2为奇数，即a2+b2≠c2，这与a2+b2=c2相矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．8.若A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则A∩B=（）

A．{2，1}

B．{（2，1）}

C．{1，2}

D．{（1，2）}答案：D9.使方程

mx+ny+r=0与方程

2mx+2ny+r+1=0表示两条直线平行（不重合）的等价条件是（）A．m=n=r=2B．m2+n2≠0，且r≠1C．mn＞0，且r≠1D．mn＜0，且r≠1答案：mx+ny+r=0与方程

2mx+2ny+r+1=0表示两条直线平行（不重合）的等价条件是m2+n2≠0，且m2m=n2n≠rr+1，即m2+n2≠0，且r≠1，故选B．10.设复数z的实部是

12，且|z|=1，则z=______．答案：设复数z的虚部等于b，b∈z，由复数z的实部是12，且|z|=1，可得14+b2=1，∴b=±32，故z=12±32i．故为：12±32i．11.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|等于______．答案：解；∵a，b均为单位向量，∴|a|=1，|b|=1又∵两向量的夹角为60°，∴a?b=|a||b|cos60°=12∴|a+3b|=|a|2+(3b)2+6a?b=1+9+3=13故为1312.如果命题P：∅∈{∅}，命题Q：∅⊂{∅}，那么下列结论不正确的是（）A．“P或Q”为真B．“P且Q”为假C．“非P”为假D．“非Q”为假答案：命题P：∅∈{∅}，命题Q：∅⊂{∅}，可直接看出命题Q，命题P都是正确的．故“P或Q”为真．“P且Q”为真．“非P”为假．“非Q”为假．故选B．13.直线l过椭圆x24+y23=1的右焦点F2并与椭圆交与A、B两点，则△ABF1的周长是（）A．4B．6C．8D．16答案：根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=4，，并且|BF1|+|BF2|=2a=4，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8．故选C．14.命题“存在实数x，，使x＞1”的否定是（）

A．对任意实数x，都有x＞1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1答案：C15.平行线3x-4y-8=0与6x-8y+3=0的距离为______．答案：6x-8y+3=0可化为3x-4y+32=0，故所求距离为|-8-32|32+(-4)2=1910，故为：191016.在极坐标系中，直线l经过圆ρ=cosθ的圆心且与直线ρcosθ=3平行，则直线l与极轴的交点的极坐标为______．答案：由ρ=cosθ可知此圆的圆心为（12，0），直线ρcosθ=3是与极轴垂直的直线，所以所求直线的极坐标方程为ρcosθ=12，所以直线l与极轴的交点的极坐标为（12，0）．故为：（12，0）．17.为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式，某记者分别从社区的60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160，240，X人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（）

A．90

B．120

C．180

D．200答案：D18.

以下四组向量中，互相平行的有（）组．

A．一

B．二

C．三

D．四答案：D19.若某简单组合体的三视图（单位：cm）如图所示，说出它的几何结构特征，并求该几何体的表面积。答案：解：该几何体由球和圆台组成。球的半径为1，圆台的上下底面半径分别为1、4，高为4，母线长为5，S球=4πcm2，S台=π（12+42+1×5+4×5）=42πcm2，故S表=S球+S台=46πcm2。20.在市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是______．答案：由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，∵甲厂产品占70%，甲厂产品的合格率是95%，∴从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是0.7×0.95=0.665故为：0.66521.______称为向量的长度（或称为模），记作

______，______称为零向量，记作

______，______称为单位向量．答案：向量AB所在线段AB的长度，即向量AB的大小，称为向量AB的长度（或成为模），记作|AB|；长度为零的向量称为零向量，记作0；长度等于1个单位的向量称为单位向量．故为：向量AB所在线段AB的长度，即向量AB的大小，|AB|；长度为零的向量，0；长度等于1个单位的向量．22.已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0，与l2：2（k-3）x-2y+3=0，平行，则k的值是______．答案：当k=3时两条直线平行，当k≠3时有2=-24-k≠3

所以

k=5故为：3或5．23.若平面向量a与b的夹角为120°，a=(2，0)，|b|=1，则|a+2b|=______．答案：∵|a+2b|=(a+2b)2=a

2+4a?b+4

b2=|a|2+4|a||b|cos＜a，b＞+4|b|2=22+4×2×1cos120°+4×1=2．故为：224.设二项式(33x+1x)n的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（）A．4B．5C．6D．8答案：根据题意，对于二项式(33x+1x)n的展开式的所有二项式系数的和为S，则S=2n，令x=1，可得其展开式的各项系数的和，即P=4n，结合题意，有4n+2n=272，解可得，n=4，故选A．25.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（

）A．B．C．D．答案：D26.有一批数量很大的产品，其中次品率是20%，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过9次，那么抽查次数为9次的概率为（

）

A．0.89

B．0.88×0.2

C．0.88

D．0.28×0.8答案：C27.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若PB=1，PD=3，则BCAD的值为______．答案：因为A，B，C，D四点共圆，所以∠DAB=∠PCB，∠CDA=∠PBC，因为∠P为公共角，所以△PBC∽△PAD，所以BCAD=PBPD=13．故为：13．28.随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则p等于（）

A．

B．0

C．1

D．答案：D29.利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握说事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是（）

A．K2≥6.635

B．K2＜6.635

C．K2≥7.879

D．K2＜7.879答案：C30.定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0B．6C．12D．18答案：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D31.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC=λAE+μAF，其中λ、μ∈R，则λ+μ=______．答案：解析：设AB=a，AD=b，那么AE=12a+b，AF=a+12b，又∵AC=a+b，∴AC=23（AE+AF），即λ=μ=23，∴λ+μ=43．故为：43．32.参数方程x=cosαy=1+sinα（α为参数）化成普通方程为

______．答案：∵x=cosαy=1+sinα（α为参数）∴x2+（y-1）2=cos2α+sin2α=1．即：参数方程x=cosαy=1+sinα（α为参数）化成普通方程为：x2+（y-1）2=1．故为：x2+（y-1）2=1．33.在我市新一轮农村电网改造升级过程中，需要选一个电阻调试某村某设备的线路，但调试者手中必有阻值分别为0.5KΩ，1KΩ，1.3KΩ，2KΩ，3KΩ，5KΩ，5.5KΩ等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻从小到大安排序号，如果第1个试点与第2个试点比较，第1个试点是一个好点，则第3个试点值的阻值为[

]A、1KΩ

B、1.3KΩ

C、5KΩ

D、1KΩ或5KΩ答案：C34.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，设A（，，），B（，，0），C（

，，），则（

）

A．OA⊥AB

B．AB⊥AC

C．AC⊥BC

D．OB⊥OC答案：C35.若定义运算a⊕b=b，a＜ba，a≥b则函数f（x）=2x⊕(12)x的值域为______（用区间表示）．答案：由题意画出f（x）=2x?(12)x的图象（实线部分），由图可知f（x）的值域为[1，+∞）．故为：[1，+∞）．36.已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立，下列命题成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k2成立；B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k2成立；C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立；D．若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立答案：对A，当k=1或2时，不一定有f（k）≥k2成立；对B，应有f（k）≥k2成立；对C，只能得出：对于任意的k≥7，均有f（k）≥k2成立，不能得出：任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立；对D，∵f（4）=25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立．故选D37.直线的参数方程为，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a,b)之间的距离是（

）

A．|t1|

B．2|t1|

C．

D