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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年南京旅游职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时,量得水面宽8米.当水面升高1米后,水面宽度是______米.答案:由题意,建立如图所示的坐标系,抛物线的开口向下,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)∵顶点距水面2米时,量得水面宽8米∴点(4,-2)在抛物线上,代入方程得,p=4∴x2=-8y当水面升高1米后,y=-1代入方程得:x=±22∴水面宽度是42米故为:422.若方程x2-3x+mx+m=0的两根均在(0,+∞)内,则m的取值范围是(
)
A.m≤1
B.0<m≤1
C.m>1
D.0<m<1答案:B3.设a∈(0,1)∪(1,+∞),对任意的x∈(0,12],总有4x≤logax恒成立,则实数a的取值范围是______.答案:∵a∈(0,1)∪(1,+∞),当0<x≤12时,函数y=4x的图象如下图所示:∵对任意的x∈(0,12],总有4x≤logax恒成立,若不等式4x<logax恒成立,则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方(如图中虚线所示)∵y=logax的图象与y=4x的图象交于(12,2)点时,a=22,故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足22<a<1.故为:(22,1).4.圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过圆O1,圆O2交点的直线的直角坐标方程.答案:以有点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程.….(3分)同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程.….(6分)(2)由x2+y2-4x=0x2+y2+4y=0解得x1=0y1=0x2=2y2=-2.即圆O1,圆O2交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.…(10分)5.(选做题)(几何证明选讲选做题)如图,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=4,以BC为直径的圆交AC边于点D,AD=2,则∠C的大小为______.答案:∵∠B=90°,AB=4,BC为圆的直径∴AB与圆相切,由切割线定理得,AB2=AD?AC∴AC=8故∠C=30°故为:30°6.设过点A(p,0)(p>0)的直线l交抛物线y2=2px(p>0)于B、C两点,
(1)设直线l的倾斜角为α,写出直线l的参数方程;
(2)设P是BC的中点,当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并化为普通方程.答案:(1)l的参数方程为x=p+tcosαy=tsinα(t为参数)其中α≠0(2)将直线的参数方程代入抛物线方程中有:t2sin2α-2ptcosα-2p2=0设B、C两点对应的参数为t1,t2,其中点P的坐标为(x,y),则点P所对应的参数为t1+t22,由t1+t2=2pcosαsin2αt1t2=-2p2sin2α,当α≠90°时,应有x=p+t1+t22cosα=p+ptan2αy=t1+t22sinα=ptanα(α为参数)消去参数得:y2=px-p2当α=90°时,P与A重合,这时P点的坐标为(p,0),也是方程的解综上,P点的轨迹方程为y2=px-p27.(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等,则n=()A.6B.7C.8D.9答案:二项式展开式的通项为Tr+1=3rCnrxr∴展开式中x5与x6的系数分别是35Cn5,36Cn6∴35Cn5=36Cn6解得n=7故选B8.方程cos2x=x的实根的个数为
______个.答案:cos2x=x的实根即函数y=cos2x与y=x的图象交点的横坐标,故可以将求根个数的问题转化为求两个函数图象的交点个数.如图在同一坐标系中作出y=cos2x与y=x的图象,由图象可以看出两图象只有一个交点,故方程的实根只有一个.故应该填
1.9.函数f(x)=2|log2x|的图象大致是()
A.
B.
C.
D.
答案:C10.如果随机变量ξ~N(0,σ2),且P(-2<ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)等于()
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4答案:A11.一直线倾斜角的正切值为34,且过点P(1,2),则直线方程为______.答案:因为直线倾斜角的正切值为34,即k=3,又直线过点P(1,2),所以直线的点斜式方程为y-2=34(x-1),整理得,3x-4y+5=0.故为3x-4y+5=0.12.已知A、B、M三点不共线,对于平面ABM外的任意一点O,确定在下列条件下,点P是否与A、B、M一定共面,答案:解:为共面向量,∴P与A、B、M共面,,根据空间向量共面的推论,P位于平面ABM内的充要条件是,∴P与A、B、M不共面.13.如图是从甲、乙两个班级各随机选出9名同学进行测验成绩的茎叶图,从图中看,平均成绩较高的是______班.答案:∵茎叶图的数据得到甲同学成绩:46,58,61,64,71,74,75,84,87;茎叶图的数据得到乙同学成绩:57,62,65,75,79,81,84,87,89.∴甲平均成绩为69;乙平均成绩为75;故为:乙.14.已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=()
A.
B.
C.
D.4答案:C15.在空间直角坐标系O-xyz中,已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为()
A.(,,)
B.(,,)
C.(,,)
D.(,,)答案:C16.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是______.答案:|z|=5,即点Z到原点O的距离为5∴z所对应点的轨迹为以(0,0)为圆心,5为半径的圆.17.在极坐标系中,点(2,)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为()
A.2
B.
C.
D.答案:D18.用冒泡法对43,34,22,23,54从小到大排序,需要(
)趟排序。
A.2
B.3
C.4
D.5答案:A19.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是()A.π3B.π4C.π2D.π答案:设:正方体边长设为:a则:球的半径为3a2所以球的表面积S1=4?π?R2=4π34a2=3πa2而正方体表面积为:S2=6a2所以比值为:S1S2=π2故选C20.如图,在复平面内,点A表示复数z的共轭复数,则复数z对应的点是()A.AB.BC.CD.D答案:两个复数是共轭复数,两个复数的实部相同,下部相反,对应的点关于x轴对称.所以点A表示复数z的共轭复数的点是B.故选B.21.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1)、Q2(a2,b2)(a1≠a2)的直线方程.答案:∵P(2,3)在已知直线上,2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即b1-b2a1-a2=-23.∴所求直线方程为y-b1=-23(x-a1).∴2x+3y-(2a1+3b1)=0,即2x+3y+1=0.22.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,a2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=()
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2答案:C23.a=(2,1),b=(3,4),则向量a在向量b方向上的投影为______.答案:根据向量在另一个向量上投影的定义向量a在向量b方向上的投影为a?b|b|∵a=(2,1),b=(3,4),∴a?b=10,|b|=5∴a?b|b|=2故为:224.已知离散型随机变量X服从二项分布X~B(n,p)且E(X)=3,D(X)=2,则n与p的值分别为()
A.
B.
C.
D.答案:B25.根据学过的知识,试把“推理与证明”这一章的知识结构图画出来.答案:根据“推理与证明”这一章的知识可得结构图,如图所示.26.(理)在极坐标系中,半径为1,且圆心在(1,0)的圆的方程为()
A.ρ=sinθ
B.ρ=cosθ
C.ρ=2sinθ
D.ρ=2cosθ答案:D27.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为3,则点P的横坐标等于______.答案:∵抛物线y2=4x=2px,∴p=2,由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴|MF|=3=x+p2=3,∴x=2,故为:2.28.(选做题)
曲线(θ为参数)与直线y=a有两个公共点,则实数a的取值范围是(
).答案:0<a≤129.根据如图的框图,写出打印的第五个数是______.答案:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是:输出N<35时,打印A值.程序在运行过程中各变量的情况如下表示:
是否继续循环
A
N循环前
1
1
第一圈
2×1+1=3
2
是第二圈
2×3+1=7
3
是第三圈
2×7+1=15
4
是第四圈
2×15+1=31
5
是…所以这个打印的第五个数是31.故为:3130.△OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t(a|a|+b|b|),t∈R,则点P一定在()A.∠AOB平分线所在直线上B.线段AB中垂线上C.AB边所在直线上D.AB边的中线上答案:∵△OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,p=t(a|a|+b|b|),t∈R,∵a|a|
和b|b|
是△OAB中边OA、OB上的单位向量,∴(a|a|+b|b|
)在∠AOB平分线线上,∴t(a|a|+b|b|
)在∠AOB平分线线上,∴则点P一定在∠AOB平分线线上,故选A.31.种植两株不同的花卉,它们的存活率分别为p和q,则恰有一株存活的概率为(
)A.p+q-2pqB.p+q-pqC.p+qD.pq答案:A解析:恰有一株存活的概率为p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq。32.某游泳馆出售冬季游泳卡,每张240元,其使用规定:不记名,每卡每次只限一人,每天只限一次.某班有48名同学,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为40元.
若使每个同学游8次,每人最少应交多少元钱?答案:设买x张游泳卡,总开支为y元,则每批去x名同学,共需去48×8x=384x批,总开支又分为:①买卡所需费用240x;②包车所需费用384x×40.∴y=240x+384x×40(0<x≤48,x∈Z).因此,y=240(x+64x)≥240×2x?64x=3840当且仅当x=64x时,即x=8时取等号.∴当x=8时,总开支y的最大值为3840元,此时每人最少应交384048=80(元).答:若使每个同学游8次,每人最少应交80元钱.33.设F1,F2是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上,且·=0,则|PF1|·|PF2|值等于()
A.2
B.2
C.4
D.8答案:A34.设ai∈R+,xi∈R+,i=1,2,…n,且a12+a22+…an2=1,x12+x22+…xn2=1,则a1x1,a2x2,…,anxn的值中,现给出以下结论,其中你认为正确的是______.
①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1.答案:由题意ai∈R+,xi∈R+,i=1,2,…n,且a12+a22+…an2=1,x12+x22+…xn2=1,对于a1x1,a2x2,…,anxn的值中,若①成立,则分母都小于分子,由于分母的平方和为1,故可得a12+a22+…an2大于1,这与已知矛盾,故①不对;若②成立,则分母都大于分子,由于分母的平方和为1,故可得a12+a22+…an2小于1,这与已知矛盾,故②不对;由于③与①两结论互否,故③对④不可能成立,a1x1,a2x2,…,anxn的值中有多于一个的比值大于1是可以的,故不对⑤与②两结论互否,故正确综上③⑤两结论正确故为③⑤35.将一枚均匀硬币
随机掷20次,则恰好出现10次正面向上的概率为()
A.
B.
C.
D.答案:D36.椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一焦点.一水平放置的椭圆形台球盘,F1,F2是其焦点,长轴长2a,焦距为2c.一静放在F1点处的小球(半径忽略不计),受击打后沿直线运动(不与直线F1F2重合),经椭圆壁反弹后再回到点F1时,小球经过的路程是()
A.4c
B.4a
C.2(a+c)
D.4(a+c)答案:B37.若数列{an}是等差数列,对于bn=1n(a1+a2+…+an),则数列{bn}也是等差数列.类比上述性质,若数列{cn}是各项都为正数的等比数列,对于dn>0,则dn=______时,数列{dn}也是等比数列.答案:在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等,故我们可以由数列{cn}是等差数列,则对于bn=1n(a1+a2+…+an),则数列{bn}也是等差数列.类比推断:若数列{cn}是各项均为正数的等比数列,则当dn=nC1C2C3Cn时,数列{dn}也是等比数列.故为:nC1C2C3Cn38.已知空间三点的坐标为A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),若A,B,C三点共线,则p=______,q=______.答案:∵A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),∴AB=(1,-1,3),AC=(p-1,-2,q+4)∵A,B,C三点共线,∴AB=λAC∴(1,-1,3)=λ(p-1,-2,q+4),∴1=λ(p-1)-1=-2λ,3=λ(q+4),∴λ=12,p=3,q=2,故为:3;239.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若PBPA=12,PCPD=13,则BCAD的值为______.答案:因为A,B,C,D四点共圆,所以∠DAB=∠PCB,∠CDA=∠PBC,因为∠P为公共角,所以△PBC∽△PAB,所以PBPD=PCPA=BCAD.设OB=x,PC=y,则有x3y=y2x?x=6y2,所以BCAD=x3y=66.故填:66.40.函数f(x)的定义域为R+,若f(x+y)=f(x)+f(y),f(8)=3,则f(2)=()A.54B.34C.12D.14答案:∵f(x+y)=f(x)+f(y),f(8)=3,∴令x=y=4,则f(8)=2f(4)=3,∴f(4)=32,令x=y=2,f(4)=2f(2)=32,∴f(2)=34.故选B.41.以过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是()
A.相交
B.相切
C.相离
D.不能确定答案:C42.已知f(x)=2x2+1,则函数f(cosx)的单调减区间为______.答案:解;∵f(x)=2x2+1,∴f(cosx)=2cos2x+1=1+cos2x+1=cos2x+2,令2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z.解得kπ≤x≤kπ+π2,k∈Z.∴函数f(cosx)的单调减区间为[kπ,π2+kπ],k∈Z.故为:[kπ,π2+kπ],k∈Z.43.若由一个2*2列联表中的数据计算得k2=4.013,那么有()把握认为两个变量有关系.
A.95%
B.97.5%
C.99%
D.99.9%答案:A44.当a>0时,不等式组的解集为(
)。答案:当a>时为;当a=时为{};当0<a<时为[a,1-a]45.(理科)若随机变量ξ~N(2,22),则D(14ξ)的值为______.答案:解;∵随机变量ξ服从正态分布ξ~N(2,22),∴可得随机变量ξ方差是4,∴D(14ξ)的值为142D(ξ)=142×4=14.故为:14.46.如图,PA,PB切⊙O于
A,B两点,AC⊥PB,且与⊙O相交于
D,若∠DBC=22°,则∠APB═______.答案:连接AB根据弦切角有∠DBC=∠DAB=22°
∠PAC=∠DBA因为垂直∠DCB=90°根据外角∠ADB=∠DBC+∠DCB=112°
∵∠DBC=∠DAB∴∠DBA=180°-∠ADB-∠DAB=46°∴∠PAC=∠DBA=46°∴∠P=180°-∠PAC-∠PCA=44°故为:44°47.已知直线ax+by+c=0(a,b,c都是正数)与圆x2+y2=1相切,则以a,b,c为三边长的三角形()
A.是锐角三角形
B.是钝角三角形
C.是直角三角形
D.不存在答案:C48.两条直线x-y+6=0与x+y+6=0的夹角为()
A.
B.
C.0
D.答案:D49.已知定点A(12.0),M为曲线x=6+2cosθy=2sinθ上的动点,若AP=2AM,试求动点P的轨迹C的方程.答案:设M(6+2cosθ,2sinθ),动点(x,y)由AP=2AM,即M为线段AP的中点故6+2cosθ=x+122,2sinθ=y+02即x=4cosθy=4sinθ即x2+y2=16∴动点P的轨迹C的方程为x2+y2=1650.化简下列各式:
(1)AB+DF+CD+BC+FA=______;
(2)(AB+MB)+(BO+BC)+OM=______.答案:(1)AB+DF+CD+BC+FA=(AB+BC+CD+DF)+FA=AF+FA=0;(2)(AB+MB)+(BO+BC)+OM=(AB+BC)+MB+(BO+OM)=AC+MB+BM=AC+(MB+BM)=AC+0=AC,故为:(1)0;(2)AC第2卷一.综合题(共50题)1.我们称正整数n为“好数”,如果n的二进制表示中1的个数多于0的个数.如6=(110):为好数,1984=(11111000000);不为好数,则:
(1)二进制表示中恰有5位数码的好数共有______个;
(2)不超过2012的好数共有______个.答案:(1)二进制表示中恰有5位数码的二进制数分别为:10000,10001,10010,10011,10100,10101,10110,10111,11000,11001,11010,11011,11100,11101,11110,11111,共十六个数,再结合好数的定义,得到其中好数有11个;(2)整数2012的二进制数为:11111011100,它是一个十一位的二进制数.其中一位的二进制数是:1,共有C11个;其中二位的二进制数是:11,共有C22个;
其中三位的二进制数是:101,110,111,共有C12+C22个;
其中四位的二进制数是:1011,1101,1110,1111,共有C23+C33个;
其中五位的二进制数是:10011,10101,10110,11001,11010,11100,10111,11011,11101,11110,11111,共有C24+C34+C44个;
以此类推,其中十位的二进制数是:共有C49+C59+C69+C79+C89+C99个;其中十一位的小于2012二进制数是:共有24+4个;一共不超过2012的好数共有1164个.故1065个2.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是()A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)答案:若l∥α,则a•n=0.而A中a•n=-2,B中a•n=1+5=6,C中a•n=-1,只有D选项中a•n=-3+3=0.故选D.3.某超市推出如下优惠方案:
(1)一次性购物不超过100元不享受优惠;
(2)一次性购物超过100元但不超过300元的一律九折;
(3)一次性购物超过300元的一律八折,有人两次购物分别付款80元,252元.
如果他一次性购买与上两次相同的商品,则应付款______.答案:该人一次性购物付款80元,据条件(1)、(2)知他没有享受优惠,故实际购物款为80元;另一次购物付款252元,有两种可能,其一购物超过300元按八折计,则实际购物款为2520.8=315元.其二购物超过100元但不超过300元按九折计算,则实际购物款为2520.9=280元.故该人两次购物总价值为395元或360元,若一次性购买这些商品应付款316元或288元.故为316元或288元.4.将4封不同的信随机地投入到3个信箱里,记有信的信箱个数为ξ,试求ξ的分布列.答案:由题意知变量ξ的可能取值是1,2,3,P(ξ=1)=C1334=127,P(ξ=2)=C23(2C14+C24)34=1427,P(ξ=3)=C24A3334=1227,∴ξ的分布列是5.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()
A.至少有1个白球;都是白球
B.至少有1个白球;至少有1个红球
C.恰有1个白球;恰有2个白球
D.至少有一个白球;都是红球答案:C6.已知向量,,则“=λ,λ∈R”成立的必要不充分条件是()
A.+=
B.与方向相同
C.⊥
D.∥答案:D7.在极坐标系中,点(2,π6)到直线ρsinθ=2的距离等于______.答案:在极坐标系中,点(2
,
π6)化为直角坐标为(3,1),直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2,(3,1),到y=2的距离1,即为点(2
,
π6)到直线ρsinθ=2的距离1,故为:1.8.圆心既在直线x-y=0上,又在直线x+y-4=0上,且经过原点的圆的方程是______.答案:∵圆心既在直线x-y=0上,又在直线x+y-4=0上,∴由x-y=0x+y-4=0,得x=2y=2.∴圆心坐标为(2,2),∵圆经过原点,∴半径r=22,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=8.9.如图是集合的知识结构图,如果要加入“全集”,则应该放在()
A.“集合的概念”的下位
B.“集合的表示”的下位
C.“基本关系”的下位
D.“基本运算”的下位答案:D10.已知直线y=kx+1与椭圆x25+y2m=1恒有公共点,则实数m的取值范围为()A.m≥1B.m≥1,或0<m<1C.0<m<5,且m≠1D.m≥1,且m≠5答案:由于直线y=kx+1恒过点M(0,1)要使直线y=kx+1与椭圆x25+y2m=1恒有公共点,则只要M(0,1)在椭圆的内部或在椭圆上从而有m>0m≠505+1m≤1,解可得m≥1且m≠5故选D.11.一平面截球面产生的截面形状是______;它截圆柱面所产生的截面形状是______.答案:根据球的几何特征,一平面截球面产生的截面形状是圆;当平面与圆柱的底面平行时,截圆柱面所产生的截面形状为圆;当平面与圆柱的底面不平行时,截圆柱面所产生的截面形状为椭圆;故为:圆,圆或椭圆12.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足PF1-PF2=10,则点P的轨迹是______.答案:由于两点间的距离|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应是一条射线.故为一条射线.13.设A、B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为310,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为12,则事件A发生的概率为______.答案:根据题意,得∵P(A|B)=P(AB)P(B),P(AB)=310,P(A|B)=12∴12=310P(B),解得P(B)=31012=35故为:3514.已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,则实数a的取值范围______.答案:∵函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小∴f(1)<0∴1+a2-1+a-2<0∴a2+a-2<0∴-2<a<1∴实数a的取值范围为(-2,1)故为:(-2,1)15.下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是()A.y=|log3x|B.y=x3C.y=e|x|D.y=cos|x|答案:对于A选项,函数定义域是(0,+∞),故是非奇非偶函数,不合题意,A选项不正确;对于B选项,函数y=x3是一个奇函数,故不是正确选项;对于C选项,函数的定义域是R,是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数是增函数,故在(0,1)上单调递增,符合题意,故C选项正确;对于D选项,函数y=cos|x|是偶函数,在(0,1)上单调递减,不合题意综上知,C选项是正确选项故选C16.如图所示,以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O,交斜边AB于点D,过点D作⊙O的切线,交BC边于点E.则BEBC=______.答案:连接CD,∵AC是⊙O的直径,∴CD⊥AB.∵BC经过半径OC的端点C且BC⊥AC,∴BC是⊙O的切线,而DE是⊙O的切线,∴EC=ED.∴∠ECD=∠CDE,∴∠B=∠BDE,∴DE=BE.∴BE=CE=12BC.∴BEBC=12.故为12.17.已知双曲线的焦点在y轴,实轴长为8,离心率e=2,过双曲线的弦AB被点P(4,2)平分;
(1)求双曲线的标准方程;
(2)求弦AB所在直线方程;
(3)求直线AB与渐近线所围成三角形的面积.答案:(1)∵双曲线的焦点在y轴,∴设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1;∵实轴长为8,离心率e=2,∴a=4,c=42,∴b2=c2-a2=16.或∵实轴长为8,离心率e=2,∴双曲线为等轴双曲线,a=b=4.∴双曲线的标准方程为y216-x216=1.(2)设弦AB所在直线方程为y-2=k(x-4),A,B的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2).∴k=y1-y2x1-x2,x1+x22=4,y1+y22=2;∴y1216-x1216=1
y2216-x2216=1⇒y12-y2216-x12-x2216=0⇒(y1-y2)(y1+y2)16-(x1-x2)(x1+x2)16=0代入x1+x2=8,y1+y2=4,得(y1-y2)×416-(x1-x2)×816=0,∴y1-y2x1-x2×14-12=0,∴14k-12=0,∴k=2;所以弦AB所在直线方程为y-2=2(x-4),即2x-y-6=0.(3)等轴双曲线y216-x216=1的渐近线方程为y=±x.∴直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形.又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为(6,6),(2,-2),∴直角三角形两条直角边的长度分别为62、22;∴直线AB与渐近线所围成三角形的面积S=12×62×22=12.18.(2的c的•湛江一模)已知⊙O的方程为x2+y2=c,则⊙O上的点到直线x=2+45ty=c-35t(t为参数)的距离的最大值为______.答案:∵直线x=2+45t一=1-35t(t为参数)∴3x+4一=10,∵⊙e的方程为x2+一2=1,圆心为(0,0),设直线3x+4一=k与圆相切,∴|k|5=1,∴k=±5,∴直线3x+4一=k与3x+4一=10,之间的距离就是⊙e上的点到直线的距离的最大值,∴d=|10±5|5,∴d的最大值是155=3,故为:3.19.抛物线y=4x2的焦点坐标是______.答案:由题意可知x2=14y∴p=18∴焦点坐标为(0,116)故为(0,116)20.下列关于算法的说法不正确的是()A.算法必须在有限步操作之后停止.B.求解某一类问题的算法是唯一的.C.算法的每一步必须是明确的.D.算法执行后一定产生确定的结果.答案:因为算法具有有穷性、确定性和可输出性.由算法的特性可知,A是指的有穷性;C是确定性;D是可输出性.而解决某一类问题的算法不一定唯一,例如求排序问题算法就不唯一,所以,给出的说法不正确的是B.故选B.21.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A在抛物线C上运动.
(1)当点A,P满足AP=-2FA,求动点P的轨迹方程;
(2)设M(m,0),其中m为常数,m∈R+,点A到M的距离记为d,求d的最小值.答案:(1)设动点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(xA,yA),则AP=(x-xA,y-yA),因为F的坐标为(1,0),所以FA=(xA-1,yA),因为AP=-2FA,所以(x-,y-yA)=-2(xA-1,yA).所以x-xA=-2(xA-1),y-yA=-2yA,所以xA=2-x,yA=-y代入y2=4x,得到动点P的轨迹方程为y2=8-4x;(2)由题意,d=(m-xA)2+yA2=(m-xA)2+4xA=(xA+2-m)2-4-4m∴m-2≤0,即0<m≤2,xA=0时,dmin=m;m-2>0,即m>2,xA=m-2时,dmin=-4-4m.22.如图,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l3与l2间的距离是2,正△ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,则△ABC的边长是______.答案:如图,过A,C作AE,CF垂直于L2,点E,F是垂足,将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处,延长DA交L2于点G.由作图可知:∠DBG=60°,AD=CF=2.在Rt△BDG中,∠BGD=30°.在Rt△AEG中,∠EAG=60°,AE=1,AG=2,DG=4.∴BD=433在Rt△ABD中,AB=BD2+AD2=2213故为:221323.设集合A={0,1,3},B={1,3,4},则A∩B=______.答案:∵集合A={0,1,3},B={1,3,4},A∩B={1,3}.故为:{1,3}.24.复数32i+11-i的虚部是______.答案:复数32i+11-i=32i+1+i(1-i)(1+i)=32i+1+i2=12+2i∴复数的虚部是2,故为:225.已知A(-1,2),B(2,-2),则直线AB的斜率是()
A.
B.
C.
D.答案:A26.已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,若由向量OP=15OA+23OB+λOC确定的点P与A,B,C共面,那么λ=______.答案:由题意A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外一点,若由向量OP=15OA+23OB+λOC确定的点P与A,B,C共面,∴15+23+λ=1解得λ=215故为:21527.长方体的长、宽、高之比是1:2:3,对角线长是214,则长方体的体积是
______.答案:长方体的长、宽、高之比是1:2:3,所以长方体的长、宽、高是x:2x:3x,对角线长是214,所以,x2+(2x)2+(3x)2=(214)2,x=2,长方体的长、宽、高是2,4,6;长方体的体积是:2×4×6=48故为:4828.已知非零向量,若与互相垂直,则=(
)
A.
B.4
C.
D.2答案:D29.下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e1=(0,0),e2=(-2,1)B.e1=(4,6),e2=(6,9)C.e1=(2,-5),e2=(-6,4)D.e1=(2,-3),e2=(12,-34)答案:A、中的2个向量的坐标对应成比例,0-2=01,所以,这2个向量是共线向量,故不能作为基底.B、中的2个向量的坐标对应成比例,46=69,所以,这2个向量是共线向量,故不能作为基底.C中的2个向量的坐标对应不成比例,2-6≠-54,所以,这2个向量不是共线向量,故可以作为基底.D、中的2个向量的坐标对应成比例,212=-3-34,这2个向量是共线向量,故不能作为基底.故选C.30.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()
A.-y2=1
B.-y2=1
C.-=1
D.x2-=1答案:B31.在直角坐标系中,x=-1+3cosθy=2+3sinθ,θ∈[0,2π],所表示曲线的解析式是:______.答案:由题意并根据cos2θ+sin2θ=1
可得,(x+13)2+(y-23)2=1,即(x+1)2+(y-2)2=9,故为(x+1)2+(y-2)2=9.解析:在直角坐标系中,32.如图为某平面图形用斜二测画法画出的直观图,则其原来平面图形的面积是(
)
A.4
B.
C.
D.8
答案:A33.A、B、C是我军三个炮兵阵地,A在B的正东方向相距6千米,C在B的北30°西方向,相距4千米,P为敌炮阵地.某时刻,A发现敌炮阵地的某信号,由于B、C比A距P更远,因此,4秒后,B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1千米).若从A炮击敌阵地P,求炮击的方位角.答案:以线段AB的中点为原点,正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系,则A(3,0)
B(-3,0)
C(-5,23)依题意|PB|-|PA|=4∴P在以A、B为焦点的双曲线的右支上.这里a=2,c=3,b2=5.其方程为
x24-y25=1
(x>0)…(3分)又|PB|=|PC|,∴P又在线段BC的垂直平分线上x-3y+7=0…(5分)由方程组x-3y+7=05x2-4y2=20解得
x=8(负值舍去)y=53即
P(8,53)…(8分)由于kAP=3,可知P在A北30°东方向.…(10分)34.以双曲线x24-y216=1的右焦点为圆心,且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程为______.答案:双曲线x24-y216=1的右焦点为F(25,0),一条渐近线为2x+y=0.∴所求圆的圆心为(25,0).∵所求圆被渐近线2x+y=0截得的弦长为6,∴圆心为(25,0)到渐近线2x+y=0的距离d=455=4,圆半径r=9+16=5,∴所求圆的方程是(x-25)2+y2=25.故为(x-25)2+y2=25.35.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点M(ρ,θ)关于极点的对称点的极坐标是______.答案:由点的极坐标的意义可得,点M(ρ,θ)关于极点的对称点到极点的距离等于ρ,极角为π+θ,故点M(ρ,θ)关于极点的对称点的极坐标是(ρ,π+θ),故为(ρ,π+θ).36.已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值3的一个特征向量是11,(1)求矩阵A.(2)β=40,求A5β.答案:(1)设A=abcd,由abcd10=23得,a=2c=3,由abcd11=311=33得,a+b=3c+d=3,所以b=1d=0所以A=2130.
7分(2)A=2130的特征多项式为f(λ)=.λ-2-1-3λ.=
(λ
-3)(λ+1)令f(λ)=0,可得λ1=3,λ2=-1,λ1=3时,α1=11,λ2=-1时,α2=1-3令β=mα1+α2,则β=40=3α1+α2,A5β=3×35α1-α2=36-136+3…14分.37.不等式3≤|5-2x|<9的解集为()
A.[-2,1)∪[4,7)
B.(-2,1]∪(4,7]
C.(-2,-1]∪[4,7)
D.(-2,1]∪[4,7)答案:D38.曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点的个数是()
A.4
B.3
C.2
D.1答案:D39.如图,设P、Q为△ABC内的两点,且AP=25AB+15AC,AQ=23AB+14AC,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为()A.15B.45C.14D.13答案:设AM=25AB,AN=15AC则AP=AM+AN由平行四边形法则知NP∥AB
所以△ABP的面积△ABC的面积=|AN||AC|=15同理△ABQ的面积△ABC的面积=14故△ABP的面积△ABQ的面积=45为:45故选B.40.已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为______.答案:因为A(0,4)和点B(1,2),所以直线AB的斜率k=2-41-0=-2故为:-241.直线(a+1)x-(2a+5)y-6=0必过一定点,定点的坐标为(
)。答案:(-4,-2)42.在研究打酣与患心脏病之间的关系中,通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的.下列说法中正确的是()
A.100个心脏病患者中至少有99人打酣
B.1个人患心脏病,则这个人有99%的概率打酣
C.100个心脏病患者中一定有打酣的人
D.100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有答案:D43.在(1+x)3+(1+x)4…+(1+x)7的展开式中,含x项的系数是______.(用数字作答)答案:(1+x)3+(1+x)4…+(1+x)7的展开式中,含x项的系数是C31+C41+C51+…+C71=25故为:2544.右图程序运行后输出的结果为()
A.3456
B.4567
C.5678
D.6789
答案:A45.将两粒均匀的骰子各抛掷一次,观察向上的点数,计算:
(1)共有多少种不同的结果?并试着列举出来.
(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率;
(3)两粒骰子点数之和为4或5的概率.答案:(1)每一粒均匀的骰子抛掷一次,都有6种结果,根据分步计数原理,所有可能结果共有6×6=36种.
…(4分)(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的有以下12种:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(5,4),(4,5),(6,6),共有12个结果,因此,两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率是1236=13.
…(8分)(3)两粒骰子点数之和为4或5的有以下7种:(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1),因此,两粒骰子点数之和为4或5的概率为736.
…(12分)46.若0<x<1,则2x,(12)x,(0.2)x之间的大小关系为()A.2x<(0.2)x<(12)xB.2x<(12)x<(0.2)xC.(12)x<(0.2)x<2xD.(0.2)x<(12)x<2x答案:由题意考察幂函数y=xn(0<n<1),利用幂函数的性质,∵0<n<1,∴幂函数y=xn在第一象限是增函数,又2>12>0.2∴2x>(12)x>(0.2)x故选D47.如图是一个实物图形,则它的左视图大致为()A.
B.
C.
D.
答案:∵左视图是指由物体左边向右做正投影得到的视图,并且在左视图中看到的线用实线,看不到的线用虚线,∴该几何体的左视图应当是包含一条从左上到右下的对角线的矩形,并且对角线在左视图中为实线,故选D.48.复数z=sin1+icos2在复平面内对应的点位于第______象限.答案:z对应的点为(sin1,cos2)∵1是第一象限的角,2是第二象限的角∵sin1>0,cos2<0所以(sin1,cos2)在第四象限故为:四49.盒中有10只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从盒中随机地抽取4只,那么310为()A.恰有1只坏的概率B.恰有2只好的概率C.4只全是好的概率D.至多2只坏的概率答案:∵盒中有10只螺丝钉∴盒中随机地抽取4只的总数为:C104=210,∵其中有3只是坏的,∴所可能出现的事件有:恰有1只坏的,恰有2只坏的,恰有3只坏的,4只全是好的,至多2只坏的取法数分别为:C31×C73=105,C32C72=63,C74=35,C74+C31×C73+C32×C72=203∴恰有1只坏的概率分别为:105210=12,,恰有2只好的概率为63210=310,,4只全是好的概率为35210=16,至多2只坏的概率为203210=2930;故A,C,D不正确,B正确故选B50.下列各组集合,表示相等集合的是()
①M={(3,2)},N={(2,3)};
②M={3,2},N={2,3};
③M={(1,2)},N={1,2}.A.①B.②C.③D.以上都不对答案:①中M中表示点(3,2),N中表示点(2,3);②中由元素的无序性知是相等集合;③中M表示一个元素,即点(1,2),N中表示两个元素分别为1,2.所以表示相等的集合是②.故选B.第3卷一.综合题(共50题)1.设A、B、C、D是半径为r的球面上的四点,且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD,则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是[
]A、r2
B、2r2
C、3r2
D、4r2答案:B2.关于x的不等式(k2-2k+)x(k2-2k+)1-x的解集是()
A.x>
B.x<
C.x>2
D.x<2答案:B3.已知直线l1:3x-y+2=0,l2:3x+3y-5=0,则直线l1与l2的夹角是______.答案:因为直线l1的斜率为3,故倾斜角为60°,直线l2的斜率为-3,倾斜角为120°,故两直线的夹角为60°,即两直线的夹角为π3,故为
π3.4.已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=33.
(1)求证:x2x+2y+3z+y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥32.
(2)求1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x的最小值.答案:(1)由柯西不等式得,(x2x+2y+3z+y2y+2z+3z+z2z+2x+3y)[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]≥(x+y+z)2=27得:x2x+2y+3z+y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥32;(2)∵1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x=1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx),由柯西不等式得:(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)),由柯西不等式得:(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))≥9所以,(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))≥9(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))=92log3(xyz),又∵33=x+y+z≥33xyz.∴xyz≤33.∴log3xyz≤32.得92log3xyz≥92×23=3所以,1log3x+log3y+1log3y+log3z+1log3z+log3x≥3当且仅当x=y=z=3时,等号成立.故所求的最小值是3.5.已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部,则半径r的范围是()A.0<r<22B.0<r<2C.0<r<2D.0<r<4答案:根据题意画出图形,如图所示:可得曲线|x|+|y|=4表示边长为42的正方形,如图ABCD为正方形,x2+y2=r2表示以原点为圆心的圆,过O作OE⊥AB,∵边AB所在直线的方程为x+y=4,∴|OE|=42=22,则满足题意的r的范围是0<r<22.故选A6.命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是()
A.存在x∈Z使x2+2x+m>0
B.不存在x∈Z使x2+2x+m>0
C.对任意x∈Z使x2+2x+m≤0
D.对任意x∈Z使x2+2x+m>0答案:D7.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是()
A.
B.
C.
D.答案:B8.已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和w=x'+y'i,其中x,y,x',y'均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=.z0•.z,|w|=2|z|.
(Ⅰ)试求m的值,并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式;
(Ⅱ)将(x、y)作为点P的坐标,(x'、y')作为点Q的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q,当点P在直线y=x+1上移动时,试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程;
(Ⅲ)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由.答案:(Ⅰ)由题设,|w|=|.z0•.z|=|z0||z|=2|z|,∴|z0|=2,于是由1+m2=4,且m>0,得m=3,…(3分)因此由x′+y′i=.(1-3i)•.(x+yi)=x+3y+(3x-y)i,得关系式x′=x+3yy′=3x-y…(5分)(Ⅱ)设点P(x,y)在直线y=x+1上,则其经变换后的点Q(x',y')满足x′=(1+3)x+3y′=(3x-1)x-1,…(7分)消去x,得y′=(2-3)x′-23+2,故点Q的轨迹方程为y=(2-3)x-23+2…(10分)(3)假设存在这样的直线,∵平行坐标轴的直线显然不满足条件,∴所求直线可设为y=kx+b(k≠0),…(12分)[解法一]∵该直线上的任一点P(x,y),其经变换后得到的点Q(x+3y,3x-y)仍在该直线上,∴3x-y=k(x+3y)+b,即-(3k+1)y=(k-3)x+b,当b≠0时,方程组-(3k+1)=1k-3=k无解,故这样的直线不存在.
…(16分)当b=0时,由-(3k+1)1=k-3k,得3k2+2k-3=0,解得k=33或k=-3,故这样的直线存在,其方程为y=33x或y=-3x,…(18分)[解法二]取直线上一点P(-bk,0),其经变换后的点Q(-bk,-3bk)仍在该直线上,∴-3bk=k(-bk)+b,得b=0,…(14分)故所求直线为y=kx,取直线上一点P(0,k),其经变换后得到的点Q(1+3k,3-k)仍在该直线上.∴3-k=k(1+3k),…(16分)即3k2+2k-3=0,得k=33或k=-3,故这样的直线存在,其方程为y=33x或y=-3x,…(18分)9.已知直线l:kx-y+1+2k=0.
(1)证明l经过定点;
(2)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程;
(3)若直线不经过第四象限,求k的取值范围.答案:(1)由kx-y+1+2k=0,得y-1=k(x+2),所以,直线l经过定点(-2,1).(2)由题意得A(2k+1-k,0),B(0,2k+1),且2k+1-k<01+2k>0,故k>0,△AOB的面积为S=12×2k+1k×(2k+1)=4k2+4k+12k=2k+2+12k≥4,当且仅当k=12时等号成立,此时面积取最小值4,k=12,直线的方程是:x-2y+4=0.(3)由直线过定点(-2,1),可得当斜率k>0或k=0时,直线不经过第四象限.故k的取值范围为[0,+∞).10.以下关于排序的说法中,正确的是(
)A.排序就是将数按从小到大的顺序排序B.排序只有两种方法,即直接插入排序和冒泡排序C.用冒泡排序把一列数从小到大排序时,最小的数逐趟向上漂浮D.用冒泡排序把一列数从小到大排序时,最大的数逐趟向上漂浮答案:C解析:由冒泡排序的特点知C正确.11.已知不等式a≤对x取一切负数恒成立,则a的取值范围是____________.答案:a≤2解析:要使a≤对x取一切负数恒成立,令t=|x|>0,则a≤.而≥=2,∴a≤2.12.已知:如图,⊙O1与⊙O2外切于C点,AB一条外公切线,A、B分别为切点,连接AC、BC.设⊙O1的半径为R,⊙O2的半径为r,若tan∠ABC=,则的值为()
A.
B.
C.2
D.3
答案:C13.(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等,则n=()A.6B.7C.8D.9答案:二项式展开式的通项为Tr+1=3rCnrxr∴展开式中x5与x6的系数分别是35Cn5,36Cn6∴35Cn5=36Cn6解得n=7故选B14.写出求1+2+3+4+5+6+…+100的一个算法.可运用公式1+2+3+…+n=n(n+1)2直接计算.
第一步______;
第二步______;
第三步
输出计算的结果.答案:由条件知构成等差数列,从而前n项和公式求得其值,求1+2+3+4+5+6+…+100,故先取n=100,再代入计算S=n(n+1)2.故为:取n=100;计算S=n(n+1)2.15.向量在基底{,,}下的坐标为(1,2,3),则向量在基底{}下的坐标为()
A.(3,4,5)
B.(0,1,2)
C.(1,0,2)
D.(0,2,1)答案:D16.抛掷两个骰子,若至少有一个1点或一个6点出现,就说这次试验失败.那么,在3次试验中成功2次的概率为()
A.
B.
C.
D.答案:D17.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,该图中只有x个三角形与△ABC相似,则x的值为()A.1B.2C.3D.4答案:∵∠ACB=90°,CD⊥AB∴△ABC∽△ACD△ACD∽CBD△ABC∽CBD所以有三对相似三角形,该图中只有2个三角形与△ABC相似.故选B.18.
若平面向量,,两两所成的角相等,||=||=1,||=3,则|++|=()
A.2
B.4
C.2或5
D.4或5答案:C19.若k∈R,则“k>3”是“方程表示双曲线”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件答案:A20.(选修4-4:坐标系与参数方程)
在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为x=3-22ty=5+22t(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=25sinθ.
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B,若点P的坐标为(3,5),求|PA|+|PB|.答案:(Ⅰ)∵圆C的方程为ρ=25sinθ.∴x2+y2-25y=0,即圆C的直角坐标方程:x2+(y-5)2=5.(Ⅱ)(3-22t)2+(22t)2=5,即t2-32t+4=0,由于△=(32)2-4×4=2>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,所以t1+t2=32t1t2=4,又直线l过点P(3,5),故|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3221.将6位志愿者分成4组,每组至少1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有______种(用数字作答).答案:由题意,六个人分为四组,若有三个人一组,则四组人数为3,1,1,1,则不同的分法为C63=20种,若存在两人一组,则分法为2,2,1,1,不同的分法有C26×C24A22=45分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有(20+45)×A44=1560种故为:1560.22.某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.23B.3C.334D.332答案:由三视图可知该几何体是直三棱柱,高为1,底面三角形一边长为2,此边上的高为3,所以V=Sh=12×2×3×1=3故选B.23.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合1,2,3,其定义如下表:
表1:
x123f(x)231表2:
x123g(x)321则方程g[f(x)]=x的解集为______.答案:由题意得,当x=1时,g[f(1)]=g[2]=2不满足方程;当x=2时,g[f(2)]=g[3]=1不满足方程;x=3,g[f(3)]=g[1]=3满足方程,是方程的解.故为:{3}24.在某电视歌曲大奖赛中,最有六位选手争夺一个特别奖,观众A,B,C,D猜测如下:A说:获奖的不是1号就是2号;A说:获奖的不可能是3号;C说:4号、5号、6号都不可能获奖;D说:获奖的是4号、5号、6号中的一个.比赛结果表明,四个人中恰好有一个人猜对,则猜对者一定是观众
获特别奖的是
号选手.答案:C,3.解析:推理如下:因为只有一人猜对,而C与D互相否定,故C、D中一人猜对。假设D对,则推出B也对,与题设矛盾,故D猜错,所以猜对者一定是C;于是B一定猜错,故获奖者是3号选手(此时A错).25.若向量a⊥b,且向量a=(2,m),b=(3,1)则m=______.答案:因为向量a=(2,m),b=(3,1),又a⊥b,所以2×3+m=0,所以m=-6.故为-6.26.已知两点分别为A(4,3)和B(7,-1),则这两点之间的距离为()A.1B.2C.3D.5答案:∵A(4,3)和B(7,-1),∴AB=(4-7)2+(3+1)2=5故选D.27.如图,四面体ABCD中,点E是CD的中点,记=(
)
A.
B.
C.
D.
答案:B28.直线x=-3+ty=1-t(t是参数)被圆x=5cosθy=5sinθ(θ是参数)所截得的弦长是______.答案:把直线和圆的参数方程化为普通方程得:直线x+y+2=0,圆x2+y2=25,画出函数图象,如图所示:过圆心O(0,0)作OC⊥AB,根据垂径定理得到:AC=BC=12AB,连接OA,则|OA|=5,且圆心O到直线x+y+2=0的距离|OC|=|2|2=2,在直角△ACO中,根据勾股定理得:AC=23,所以AB=223,则直线被圆截得的弦长为223.故为:22329.若角α和β的两边分别对应平行且方向相反,则当α=45°时,β=______.答案:由题意知∠α=45°°,AB∥CE,AE∥BD∵AE∥BD∴∠BDC=∠α=45°∵AB∥CE∴∠β=∠BDC=45°故为45°.30.圆锥曲线x=4secθ+1y=3tanθ的焦点坐标是______.答案:由x=4secθ+1y=3tanθ可得secθ=x-14tanθ=y3,由三角函数的运算可得tan2θ+1=sec2θ,代入可得(x-14)2-(y3)2=1,即(x-1)216-y29=1,可看作双曲线x216-y29=1向右平移1个单位得到,而双曲线x216-y29=1的焦点为(-5,0),(5,0)故所求双曲线的焦点为(-4,0),(6,0)故为:(-4,0),(6,0)31.设a=(x,y,3),b=(3,3,5),且a⊥b,则x+y=()A.1B.-1C.-5D.5答案:∵a=(x,y,3),b=(3,3,5),且a⊥b,∴a•b=3x+3y+15=0,∴x+y=-5,故选
C.32.已知△ABC的三个顶点A(-2,-1)、B(1,3)、C(2,2),则△ABC的重心坐标为______.答案:设△ABC的重心坐标为(x,y),则有三角形的重心坐标公式可得x=-2+1+23=13,y=-1+3+23=43,故△ABC的重心坐标为(13,43),故为(13,43).33.如图,圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一个点,若它停在奇数点上,则下次只能跳一个点;若停在偶数点上,则跳两个点.该青蛙从“5”这点起跳,经2
011次跳后它停在的点对应的数字是______.答案:起始点为5,按照规则,跳一次到1,再到2,4,1,2,4,1,2,4,…,“1,2,4”循环出现,而2011=3×670+1.故经2011次跳后停在的点是1.故为134.直线l过点(-3,1),且它的一个方向向量n=(2,-3),则直线l的方程为______.答案:设直线l的另一个方向向量为a=(1,k),其中k是直线的斜率可得n=(2,-3)与a=(1,k)互相平行∴12=k-3⇒k=-32所以直线l的点斜式方程为:y-1=-32(x+3)化成一般式:3x+2y+7=0故为:3x+2y+7=035.m为何值时,关于x的方程8x2-(m-1)x+(m-7)=0的两根,
(1)为正数;
(2)一根大于2,一根小于2.答案:(1)设方程两根为x1,x2,则∵方程的两根为正数,∴△≥0x1+x2>0x1x2>0即[-(m-1)]2-4×8×(m-7)>0--(m-1)8>0m-78>0解得7<m≤9或m≥25.(2)令f(x)=8x2-(m-1)x+(m-7),由题意得f(2)<0,解得m>27.36.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且
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