高中数学人教A版5不等式和绝对值不等式一不等式 1

一不等式1.不等式的基本性质1.理解实数大小与实数运算性质间的关系．2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1两实数的大小比较阅读教材P2～P3“探究”以上部分，完成下列问题．a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若x＜y＜0，则|x|与|y|对应的点P，Q的位置关系是()A．P在Q的左边 B．P在Q的右边C．P，Q两点重合 D.不能确定【解析】∵x＜y＜0，∴|x|＞|y|＞0.故P在Q的右边．【答案】B教材整理2不等式的基本性质阅读教材P3～P5第一行，完成下列问题．性质1对称性a>b⇔b<a性质2传递性如果a>b，b>c，那么a>c性质3可加性如果a>b，那么a＋c>b＋c推论如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d性质4可乘性如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc推论如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd性质5乘方性质如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)性质6开方性质如果a>b>0，那么eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)已知a，b，c∈R，且ab＞0，则下面推理中正确的是()【导学号：32750000】A．a＞b⇒am2＞bm2 \f(a,c)＞eq\f(b,c)⇒a＞bC．a3＞b3⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) ＞b2⇒a＞b【解析】对于A，若m＝0，则不成立；对于B，若c＜0，则不成立；对于C，a3－b3＞0⇒(a－b)(a2＋ab＋b2)＞0，∵a2＋ab＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,2)))eq\s\up10(2)＋eq\f(3,4)b2＞0恒成立，∴a－b＞0，∴a＞b.又∵ab＞0，∴eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).∴C成立；对于D，a2＞b2⇒(a－b)(a＋b)＞0，不能说a＞b.【答案】C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]比较大小设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x>3，试比较A与B的大小．【精彩点拨】转化为考察“两者之差与0”的大小关系．【自主解答】A－B＝x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0，∴x3＋3>3x2＋x.故A>B.1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)eq\o(→,\s\up10(转化))考查差的符号(难以确定)eq\o(→,\s\up10(转化))考查积的符号eq\o(→,\s\up10(转化))考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的．2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．[再练一题]1．若例1中改为“A＝eq\r(\f(y2＋1,x2＋1))，B＝eq\f(y,x)，其中x＞y＞0”，试比较A与B的大小．【解】因为A2－B2＝eq\f(y2＋1,x2＋1)－eq\f(y2,x2)＝eq\f(x2y2＋1－y2x2＋1,x2x2＋1)＝eq\f(x2－y2,x2x2＋1)＝eq\f(x－yx＋y,x2x2＋1)，且x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0，x2＋1＞1，所以eq\f(x－yx＋y,x2x2＋1)＞0.所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B.利用不等式的性质求范围已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的范围．【精彩点拨】由－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)可确定eq\f(α,2)，eq\f(β,2)的范围，进而确定eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的范围．【自主解答】∵－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).又－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2).又∵α＜β，∴eq\f(α－β,2)＜0，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0，即eq\f(α＋β,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，eq\f(α－β,2)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)).1．本例中由eq\f(α,2)，eq\f(β,2)的范围求其差eq\f(α－β,2)的范围，一定不能直接作差，而应转化为同向不等式后作和求解．2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．[再练一题]2．已知－6<a<8,2<b<3，分别求a－b，eq\f(a,b)的取值范围.【导学号：32750001】【解】∵－6<a<8,2<b<3.∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6，则a－b的取值范围是(－9,6)．又eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，(1)当0≤a<8时，0≤eq\f(a,b)<4；(2)当－6<a<0时，－3<eq\f(a,b)<0.由(1)(2)得－3<eq\f(a,b)<4.因此eq\f(a,b)的取值范围是(－3,4)．利用性质证明简单不等式已知c>a>b>0，求证：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).【精彩点拨】eq\x(构造分母关系)→eq\x(构造分子关系)→eq\x(证明不等式)【自主解答】∵a>b，∴－a<－b.又c>a>b>0，∴0<c－a<c－b，∴eq\f(1,c－a)>eq\f(1,c－b)>0.又∵a>b>0，∴eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又－a<－b，则0<c－a<c－b；三是倒数性质．最后再次用到不等式的乘法性质．2．进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，并仔细分析要证明不等式的结构，灵活运用性质，对不等式进行变换．[再练一题]3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证：eq\f(ac,a＋c)＞eq\f(bd,b＋d).【导学号：32750002】【证明】∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)＞0， ①eq\f(1,d)＞eq\f(1,c)＞0， ②①＋②得eq\f(1,b)＋eq\f(1,d)＞eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＞0，即eq\f(b＋d,bd)＞eq\f(a＋c,ac)＞0，∴eq\f(ac,a＋c)＞eq\f(bd,b＋d).[探究共研型]不等式的基本性质探究1甲同学认为a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，乙同学认为a>b>0⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，丙同学认为a>b，ab>0⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，请你思考一下，他们谁说的正确？【提示】他们说的都不正确．探究2不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，要注意什么？【提示】要先判断这个数是否为零，决定是否可以乘以(或除以)这个数，再判断是正还是负，决定不等号的方向是否改变，特别注意不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号方向改变．判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)，则a>b；(3)若a>b，ab≠0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(4)若a>b，c>d，则ac>bd.【精彩点拨】主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件．【自主解答】(1)错误．当c＝0时不成立．(2)正确．∵c2≠0且c2>0，在eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)两边同乘以c2，∴a>b.(3)错误．a>b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的条件是ab>0.(4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当a，b，c，d为正数时成立．1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质．[再练一题]4．判断下列命题的真假．(1)若a<b<0，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；(2)若|a|>b，则a2>b2；(3)若a>b>c，则a|c|>b|c|.【解】(1)∵a<b<0，∴ab>0，∴eq\f(1,ab)>0，∴a·eq\f(1,ab)<b·eq\f(1,ab)，∴eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)，∴(1)是真命题．(2)∵|a|>b，取a＝1，b＝－3，但a2<b2，∴(2)是假命题．(3)取a>b，c＝0，有a|c|＝b|c|＝0，∴(3)是假命题．[构建·体系]1．设a∈R，则下面式子正确的是()A．3a>2ª B．a2<2a\f(1,a)<a －2a>1－2a【答案】D2．已知m，n∈R，则eq\f(1,m)＞eq\f(1,n)成立的一个充要条件是()A．m＞0＞n B．n＞m＞0C．m＜n＜0 (m－n)＜0【解析】∵eq\f(1,m)＞eq\f(1,n)⇔eq\f(1,m)－eq\f(1,n)＞0⇔eq\f(n－m,mn)＞0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)＜0.【答案】D3．已知a，b，c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是()①a＜b＜0⇒a2＜b2；②eq\f(a,b)＜c⇒a＜bc；③ac2＞bc2⇒a＞b；④a＜b＜0⇒eq\f(b,a)＜1.A．0B．1C．2D．3【解析】①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2.②不正确．∵eq\f(a,b)＜c，若b＜0，则a＞bc.③正确．∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴a＞b.④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴1＞eq\f(b,a)＞0.【答案】C4．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是________.【导学号：32750003】【解析】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又1<a<3，∴－3<a－|b|<3.【答案】(－3,3)5．若a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，比较a，b，c的大小．【解】b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴b≥c.由题意可得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝3a2－4a＋6，,b－c＝a2－4a＋4，))解得b＝2a2－4a＋5，c＝a2＋1.∴c－a＝a2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up10(2)＋eq\f(3,4)>0，∴c>a，∴b≥c>a.我还