新高考数学二轮复习专题讲测练思想03 运用函数与方程的思想方法解题（精讲精练）（原卷版）

思想03运用函数与方程的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：运用函数的思想研究问题核心考点二：运用方程的思想研究问题核心考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题核心考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若SKIPIF1<0，则C的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆SKIPIF1<0在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且SKIPIF1<0，则l的方程为___________．3．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都相切的一条直线的方程________________．4．（2021·全国·统考高考真题）曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为__________．5．（2022·全国·统考高考真题）曲线SKIPIF1<0过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【方法技巧与总结】1、函数与方程是紧密相联、可以相互转化的．在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方程问题．例如，方程SKIPIF1<0解的个数可以转化为函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴交点的个数，也可以参变分离，转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数．2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程（组），进而求解方程（组），或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质．例如，在研究曲线的切线问题时，设出切点横坐标SKIPIF1<0，得到切线斜率SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0，从而将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标SKIPIF1<0的方程问题．3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、转化不等式问题．例如，不等式SKIPIF1<0或SKIPIF1<0恒成立，可以转化为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．也可以考虑参变分离再求函数的最值．4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都有广泛的运用．函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函数的图象与性质分析．转化问题，进而解决问题．方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持不变的等量关系，建构方程（组），通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决．【核心考点】核心考点一：运用函数的思想研究问题【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有两个互异的实数解，则实数SKIPIF1<0的取值范围是__________．例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上最小值为SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值；（3）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一个零点，求实数SKIPIF1<0的取值范围．例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0只有一个零点，求SKIPIF1<0的值．核心考点二：运用方程的思想研究问题【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）请利用SKIPIF1<0的导函数推出SKIPIF1<0导函数，并求函数SKIPIF1<0的递增区间；（2）若曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的切线平行，求SKIPIF1<0（化简为只含SKIPIF1<0的代数式）；（3）证明：当SKIPIF1<0时，存在直线SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0既是SKIPIF1<0的一条切线，也是SKIPIF1<0的一条切线．例5．（2023春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．（Ⅰ）不需证明，直接写出SKIPIF1<0的奇偶性：（Ⅱ）讨论SKIPIF1<0的单调性，并证明SKIPIF1<0有且仅有两个零点：（Ⅲ）设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个零点，证明曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线也是曲线SKIPIF1<0的切线．例6．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考一模）若直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的切线，也是SKIPIF1<0的切线，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例7．（2023·全国·高三专题练习）若直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的切线，也是曲线SKIPIF1<0的切线，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点三：运用函数与方程的思想研究不等式问题【典型例题】例8．（2023春·广西·高三期末）已知函数SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的最小值；（2）若对SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求a的取值范围．例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例10．（2023·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求a的取值范围（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0核心考点四：运用函数与方程的思想研究其他问题【典型例题】例11．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）已知SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，SKIPIF1<0的面积为S，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求A和a的大小；（2）若SKIPIF1<0为锐角三角形，求SKIPIF1<0的面积S的取值范围．例12．（2023春·河北张家口·高三张家口市第一中学校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，其中一个焦点在直线SKIPIF1<0上．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）若直线SKIPIF1<0与椭圆交于SKIPIF1<0两点，试求三角形SKIPIF1<0面积的最大值．例13．（2023春·陕西咸阳·高三陕西咸阳中学校考期中）已知数列SKIPIF1<0是各项均为正数的等差数列．（1）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）在（1）的条件下，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，若对任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求实数k的最小值．例14．（2023春·北京·高三校考期中）已知函数SKIPIF1<0（1）函数SKIPIF1<0的值域是____________．（2）若关于x的方程SKIPIF1<0恰有两个互异的实数解，则a的取值范围是______________-．【新题速递】一、单选题1．（2023·广东茂名·高三统考）已知三棱柱SKIPIF1<0的顶点都在球O的表面上，且SKIPIF1<0，若三棱柱SKIPIF1<0的侧面积为SKIPIF1<0，则球O的表面积的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0存在三个零点，则实数a的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·河北沧州·高三阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是单调递减数列 B．若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是单调递增数列C．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0二、多选题4．（2023·浙江嘉兴·高一统考期末）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<05．（2023春·福建泉州·高三福建省永春第一中学校考阶段练习）已知圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，则（

）A．直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，圆SKIPIF1<0上恰有三个点到直线SKIPIF1<0的距离等于1C．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有一个交点D．若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0恰有三条公切线，则SKIPIF1<06．（2023春·山东日照·高三统考）下列命题中是真命题的有（

）A．SKIPIF1<0有四个实数解B．设a、b、c是实数，若二次方程SKIPIF1<0无实根，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的最小值为27．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0取到最大值时，SKIPIF1<0 D．设SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的最小项为SKIPIF1<08．（2023春·福建泉州·高三泉州五中校考）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0单调递增，数列SKIPIF1<0单调递减三、填空题9．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0在定义域SKIPIF1<0内存在非零实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称函数SKIPIF1<0为“壹函数”，则下列函数是“壹函数”的是______．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．10．（2023春·四川成都·高一校联考）已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数a的取值范围为_________．四、解答题11．（2023春·安徽淮北·高一淮北一中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程SKIPIF1<0有三个不同的实数根，求实数k的取值范围．12．（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考）已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0．（1）若不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，求m的值；（2）在（1）的条件下，若SKIPIF1<0恒成立，求实数k的取值范围；（3）若关于x的不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，求实数c的值．13．（2023春·江苏南通·高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．（1）当c＝b时，解关于x的不等式SKIPIF1<0＞1；（2）若SKIPIF1<0的值域为[1，SKIPIF1<0），关于x的不等式SKIPIF1<0的解集为（m，m＋4），求实数a的值；（3）若对SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的最大值为1，求SKIPIF1<0的取值范围．14．（2023春·河北邯郸·高三校考）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0的横坐标为1，且SKIPIF1<0．（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（2）过焦点SKIPIF1<0作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0､SKIPIF1<0和SKIPIF1<0､SKIPIF1<0四点，求四边形SKIPIF1<0面积的最小值．15．（2023春