2023年实变函数论主要知识点

实变函数论重要知识点第一章集合集合的并、交、差运算;余集和DeMｏrgaｎ公式;上极限和下极限;练习:①证明;②证明;对等与基数的定义及性质；练习：①证明；②证明；可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用;可数集合的基数;练习：①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集；③；④[0,1]中有理数集的相关结论;不可数集合、连续基数的定义及性质；练习：①;②(P为Cantor集);第二章点集度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(MetｒicＳpace)，在ＨYＰERＬINＫ""数学中是指一个集合,并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。ｎ维欧氏空间:设Ｖ是ＨYPＥＲLINＫ＂"实数域R上的HYPERＬIＮK""线性空间(或称为ＨYPＥRLＩNＫ""向量空间),若Ｖ上定义着正定对称ＨＹＰERLINK＂＂双线性型g(g称为ＨYPEＲＬINK""内积),则V称为(对于g的)HＹPＥＲLIＮＫ"＂内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时,才称为欧几里德空间）。具体来说，ｇ是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y）=ｇ(y,x);（2)g(x+y,z)=g(ｘ,ｚ)+g（y,z);（3）ｇ(kx,ｙ)=kg(x,y）；(４)ｇ(x,x)>＝0，并且ｇ(x,x)=0当且仅当x=0时成立。这里ｘ,y,z是V中任意向量，ｋ是任意HYPＥRLＩNK""实数。，聚点、界点、内点的概念、性质及鉴定(求法)；开核，导集,闭包的概念、性质及鉴定(求法)；聚点：有点集E，若在HYPERＬINK"＂复平面上的一点z的任意HＹPERＬINK＂＂邻域都有E的无穷多个点,则称z为E的聚点。内点:假如存在点P的某个ＨYPＥRLIＮK＂＂邻域U(P)∈E,则称Ｐ为Ｅ的内点。3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造;4、Cａｎｔor集的构造和性质;5、练习：①,，;②=;第三章测度论外测度的定义和基本性质(非负性,单调性,次可数可加性）；可测集的定义与性质(可测集类关于可数并,可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）;可数可加性(注意条件)；零测度集的例子和性质;可测集的例子和性质;练习:①，;②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集;④[0,1］中有理数集的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义,不可测函数的例子；练习:①第四章习题3;2、可测函数与简朴函数的关系;可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）;3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；４、依测度收敛的定义、简朴的证明;5、具体函数列依测度收敛的验证;6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系,两者互不包含的例子;第五章积分论1、非负简朴函数Ｌ积分的定义；练习：①Dｉｒechlet函数在上的L积分2、可测函数Ｌ积分的定义（积分拟定;可积）；基本性质（§５.4定理1和定理2诸条)；３、Ｌeｂesｇuｅ控制收敛定理的内容和简朴应用;4、Ｌ积分的绝对连续性和可数可加性(了解)；5、Rｉemann可积的充要条件；练习：①上的Direｃhｌet函数不是R-可积的;６、Lebesguｅ可积的充要条件：若是可测集合上的有界函数，则在上L-可积在上可测；练习：①上的Dｉｒｅchlet函数是L-可积的;②设，则在上是否可积,是否可积,若可积,求出积分值。例１、求由曲线所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点+例２.边长为a和ｂ（ａ>b)的矩形薄片斜置欲液体中,薄片长边