线性多变量系统(郑大钟)第2篇复频域理论

第二部分线性系统的复频率域理论

线性系统的复频率域理论，是以传递矩阵作为系统描述，并在复频率域内分析和综合线性时不变系统的一种理论和方法。对于线性定常SISO系统，在初始条件为零时，定义传递函数对于线性定常MIMO系统，在初始条件为零时，定义传递矩阵G(s)8．1矩阵分式描述第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述

矩阵分式描述实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之“比”。右MFD和左MFD对于SISO系统，传递函数G(s)=n(s)/d(s)=n(s)d-1(s)=d-1(s)n(s)设p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统,其传递函数矩阵为G(s)的一个右矩阵分式描述为G(s)的一个左矩阵分式描述其中为多项式矩阵1/4,1/16例如上式即为G(s)的一个右MFD把G(s)按各行通分，可以写出G(s)的左MFD2/4,2/16MDF的特性

结论：对传递函数矩阵G(s)的一个右MFD，规定对传递函数矩阵G(s)的一个左MFD，规定对给定一个G(s)，其右MFD和左MFD在次数上一般不相等。结论：对传递函数矩阵G(s)，其右MFD和左MFD为不唯一，且不同的MFD可能具有不同的次数。例如结论：对qp传递函数矩阵G(s)，设W(s)为pp非奇异多项式矩阵，令为其一个右MFD则也是G(s)的一个右MFD，且若W(s)为单模矩阵，则结论：对qp传递函数矩阵G(s)，设为其一个右MFD和一个左MFD则有*最小阶MFD也不是唯一的*称最小阶MFD为不可简约MFD4/4,4/16结论：对qp传递函数矩阵G(s)，设WL(s)为任一qq非奇异多项式矩阵。为其一个左MFD，则也是G(s)的一个左MFD，且若WL(s)为单模矩阵，则8.2矩阵分式描述的真性和严真性

设多输入多输出连续时间线性时不变系统，传递函数矩阵G(s)为1/3,5/16结论：定义

真性和严真性的判别准则

结论：对右MFDD(s)为pp阵且则例容易判断D(s)为列既约，且可知为真2/3,6/16列既约例给定12右MFDD(s)为非列既约，尽管但非真结论：对左MFD为qq阵且行既约,则*若D(s)或DL(s)为非列既约或行既约，则引入一个单模矩阵，化D(s)或DL(s)为列既约或行既约，进行判断。3/3,7/168.3从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述

结论：对非真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)为pp多项式矩阵，N(s)为qp多项式矩阵,唯一存在qp多项式矩阵Q(s)和R(s)，使且R(s)D-1(s)为非真N(s)D-1(s)导出的严真右MFD。确定严真MFD的算法

Step1：计算给定N(s)D-1(s)的有理分式矩阵G(s)Step2：通过多项式除法，得Step3Step4其中R(s)D-1(s)为非真右MFDN(s)D-1(s)的严真部分，Q(s)为多项式矩阵部分。1/3,8/16结论：对非真左MFD，DL-1(s)NL(s)，唯一存在两个多项式矩阵使一类特殊情形的多项式矩阵除法问题

在连续时间线性时不变系统中，除式矩阵通常为sI-A结论：对pp矩阵sI-A和多项式矩阵N(s)，唯一存在一个常阵Nr(A)和多项式矩阵Qr(s)满足其中显然Nr(A)(sI-A)-1为N(s)(sI-A)-1所导出的严真右MFD2/3,9/16结论：对qq矩阵sI-A和多项式矩阵NL(s)，唯一存在一个常阵NL(A)和多项式矩阵QL(s)满足其中显然(sI-A)-1NL(A)为(sI-A)-1NL(s)所导出的严真左MFD3/3,10/168．4不可简约矩阵分式描述不可简约MFD实质上是系统传递函数矩阵的一类最简约MFD，通常也称为最小阶MFD。定义：右不可简约<=>D(s)和N(s)为右互质<=>左不可简约<=>DL(s)和NL(s)为左互质<=>不可简约MFD的基本特性结论：对qp传递函数矩阵，其右不可简约MFD和左不可简约MFD均为不惟一结论：设为qp传递函数矩阵G(s)的任意两个右不可简约MFD，则必存在单模阵U(s)满足：1/3,11/16证明过程分3步：U(s)存在U(s)为多项式矩阵U(s)为单模阵结论：设为传递函数矩阵G(s)的任意两个左不可简约MFD则必存在单模阵V(s)，满足结论：传递函数矩阵G(s)的右不可简约MFD满足广义惟一性。传递函数矩阵G(s)的左不可简约MFD满足广义惟一性。结论：对qp传递函数矩阵G(s)的任一右不可简约MFDN(s)D-1(s)和任一右可简约MFD，必存在非奇异多项式矩阵T(s)，满足：2/3,12/16证明过程分2步：1）根据G(s)的某一右不可简约MFDN1(s)D1-1(s)，利用单模阵导出的MFDN2(s)D2-1(s)也是G(s)的MFD2）N2(s)D2-1(s)是不可简约MFD例结论：对qp传递函数矩阵G(s)的所有右不可简约MFD必有：1，Ni(s)具有相同2，Di(s)具有相同不变多项式detD1(s)=c2detD2(s)=….结论：对qp传递函数矩阵G(s)的所有左不可简约MFD必有：1，NLi(s)具有相同史密斯形2，DLi(s)具有相同不变多项式结论：对qp传递函数矩阵的任一左不可简约MFD，和任一右不可简约MFD必有3/3,13/16结论：对qp传递函数矩阵G(s)的任一左不可简约MFDDL

-1(s)NL(s)和任一左可简约MFD，必存在非奇异多项式矩阵TL(s)，满足：史密斯形8．5确定不可简约矩阵分式描述的算法结论：对qp传递函数矩阵G(s)设为任一右可简约MFDpp多项式矩阵R(s)为的一个最大右公因子且为非奇异，取为G(s)的一个右不可简约MFD。结论：对qp传递函数矩阵G(s)设为任一左可简约MFDRL(s)为的一个最大左公因子且为非奇异，取为G(s)的一个左不可简约MFD。1/1,14/168．6规范矩阵分式描述传递函数矩阵的可简约MFD和不可简约MFD具有不惟一性。其惟一化的途径是对MFD分母矩阵限定为规范形而得到规范MFD。埃尔米特形MFD称qp的NH(s)DH-1(s)为传递函数矩阵G(s)的列埃尔米特形MFD，是指分母矩阵具有列埃尔米特形其中：1）为首1多项式2）若为含S多项式，则1/2,15/16例如即在该行中阶次最高称qp的为传递函数矩阵G(s)的行埃尔米特形MFD，是指分母矩阵具有行埃尔米特形其中：1）为首1多项式2）若为含S多项式，则结论：对qp传递函数矩阵G(s)，其所有不可简约右MFD具有相同列埃尔米特形MFD其所有不可简约左MFD具有相同行埃尔米特形MFD2/2,16/16行埃尔米特形和列埃尔米特形是对称（7.7)波波夫形MFD结论类似(7.13)即在该列中阶次最高第9章传递函数矩阵的结构特性9．1史密斯-------麦克米伦形称秩为r的有理分式矩阵为史密斯-------麦克米伦形，当且仅当具有形式其中，1）为互质，i=1,2,…,r2）满足整除性1/4,1/12例如结论：对qp有理分式矩阵G(s)，设则必存在qq和pp单模矩阵U(s)和V(s)使变换后传递函数矩阵U(s)G(s)V(s)为史密斯-------麦克米伦形2/4,2/12证：容易验算整除性，以上证明是史密斯-------麦克米伦形一个构造过程史密斯-------麦克米伦形基本特性结论：有理分式矩阵G(s)的史密斯-------麦克米伦形M(s)为惟一结论：化有理分式矩阵G(s)为史密斯-------麦克米伦形M(s)的单模变换阵对{U(s),V(s)}不惟一。结论：严格有理分式矩阵G(s)的史密斯-------麦克米伦形M(s)不具有保持严真属性，M(s)甚至可能为非真。结论：对qq非奇异有理分式矩阵G(s)其中a为非零常数例：导出G(s)的史密斯-------麦克米伦形M(s)解：取本例中G(s)是严真的，M(s)非严真。结论：由史密斯-------麦克米伦形写出MFD

对秩为r的qp传递函数矩阵G(s)，其史密斯-------麦克米伦形M(s)为令则M(s)表为右MFD令则M(s)表为左MFD3/4,3/12结论：对qp传递函数矩阵G(s)，其史密斯-------麦克米伦形为M(s)。单模变换阵对为{U(s),V(s)}若取则为G(s)的不可简约右MFD若取则为G(s)的不可简约左MFD4/4,4/12证：考虑到由于为G(s)的不可简约右MFD9．2传递函数矩阵的有限零点和有限极点定义：对秩为r的qp传递函数矩阵G(s)，其史密斯-------麦克米伦形M(s)，则G(s)有限极点=M(s)中的根，i=1,2,…,rG(s)有限零点=M(s)中的根,i=1,2,…,r定义：对qp传递函数矩阵G(s)，设和为G(s)的任一不可简约右MFD和任一不可简约左MFD，则G(s)有限极点=det(D(s))=0根或的根G(s)有限零点=的s值或的s值1/2,5/12G(s)有限极点:s=-1(二重),s=-2(三重)G(s)有限零点:s=0(三重)例如:N(s)和D(s)为右互质,G(s)的有限零点是rankN(s)<2的s值:s=0,s=-1G(s)的有限极点是detD(s)=0的s值:s=0(三重),s=12/2,6/12定义：对qp传递函数矩阵G(s)，设其状态空间描述为(A,B,C)，且(A,B)全能控，(A,C)完全能观测，则有：G(s)有限极点=的根G(s)有限零点=使降秩的s值结论：对qp严真传递函数矩阵G(s)，其能控和能观测状态空间描述为(A,B,C)，z0为任一零点，则对满足关系式的所有非零初始状态x0和输入系统输出具有阻塞作用，即其能引起的系统输出y(t)强制恒为零。表明系统输出对与零点相关一类输入向量函数具有阻塞作用。9．3传递函数矩阵的结构指数

对qp传递函数矩阵G(s)，有限零点和有限极点的集合。那么，若对任一导出对应的rr对角矩阵则称为G(s)在的一组结构指数

1/3,7/12可把G(s)的史密斯-麦克米伦形写为上式表明，一旦定出G(s)各个极点零点及其结构指数组，便可构造出G(s)的史密斯---麦克米伦形M(s)。例定出的结构指数史密斯----麦克米伦形为G(s)极点零点集合2/3,8/12结论：G(s)在极点重数=中负指数之和绝对值结论：G(s)在零点重数=中正指数之和结论：传递函数矩阵在非极点零点处的结构指数必恒为零。3/3,9/129．4传递函数矩阵在无穷远处的极点和零点

确定s=∞处极点零点的思路对qp传递函数矩阵G(s),则直接基于G(s)的史密斯---麦克米伦形M(s)不能定义G(s)在无穷远处的极点和零点，若引入变换则有G（s）在s=∞处的极点/零点=H(λ)在λ=0处的极点/零点。结论：对qp传递函数矩阵G(s)，设再基于变换由G(λ-1)导出H(λ)引入单模变换阵。导出其史密斯----麦克米伦形G(s)在s=∞处的极点重数=中的根重数i=1,2,…,r则有G(s)在s=∞处的零点重数=中的根重数i=1,2,…,r1/3,10/12由G(s)导出M(s)的过程中，单模变换会改变G(s)的严真属性，从而改变s=∞处的极点零点（重数），s=∞处的极点、零点不能由史密斯---麦克米伦形M(s)直接确定例：设史密斯-------麦克米伦形基于此，可以定出G(s)在s=∞处极点重数=2G(s)在s=∞处零点重数=12/3,11/12无穷远处的结构指数对qp传递函数矩阵G(s)则G(s)在s=∞处结构指数在λ=0处结构指数3/3,12/12结论：G(s)在极点重数=中负指数之和绝对值结论：G(s)在零点重数=中正指数之和第10章传递函数矩阵的状态空间实现10．1实现的基本概念和基本属性定义10．1[实现]对真或严真连续时间线性时不变系统，称一个状态空间描述或简写为(A,B,C,E)是其传递函数矩阵G(s)的一个实现，如果两者为外部等价即成立关系式：C(sI－A)-1B+E=G(s)结论10．1[实现维数]传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,E)的结构复杂程度可由其维数表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维数，即有实现维数=dimA结论10．2[不惟一性]传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,E)满足强不惟一性。即对传递函数矩阵G(s)，不仅其实现结果为不惟一，而且其实现维数也为不惟一。结论10．3[最小实现]最小实现定义为传递函数矩阵G(s)的所有实现(A,B,C,E)中维数最小的一类实现。实质上，最小实现就是外部等价于G(s)的一个结构最简状态空间模型。1/5,1/39结论10．4[实现间关系]对传递函数矩阵G(s)，其不同实现间一般不存在代数等价关系，但其所有最小实现间必有代数等价关系。结论10．5[实现物理本质]物理直观上，传递函数矩阵G(s)的实现就是对具有“黑箱”形式的真实系统在状态空间领域寻找一个外部等价的内部假想结构，内部假想结构对真实系统的可否完全表征性依赖于系统的是否能控和能观测。结论10．6[实现形式]传递函数矩阵G(s)的实现形式取决于其真性或严真性属性。当G(s)为严真，其实现对应地具有形式(A,B,C)即E=0；当G(s)为真，其实现对应地具有形式(A,B,C,E)即E≠0，且有结论10．7[其他实现构造]设状态空间描述(A,B,C,E)为传递函数矩阵G(s)的一个实现，dimA=n，则对任一nn非奇异阵T，状态空间描述(TAT-1，TB，CT-1，E)必也为G(s)的一个同维实现。2/5,2/39能控类实现和能观测类实现是两类基本的典型实现定义10．2[能控类实现]称状态空间描述(A,B,C,E)为传递函数矩阵G(s)的一个能控类实现，当且仅当C(sI－A)-1B+E=G(s)(A,B)能控且有指定形式定义10．3[能观测类实现]称状态空间描述(A,B,C,E)为传递函数矩阵G(s)的一个能观测类实现，当且仅当C(sI－A)-1B+E=G(s)(A,C)能观测且有指定形式最小实现是传递函数矩阵G(s)的一类最为重要的实现。最小实现是G(s)的所有实现中结构为最简的实现，即从外部等价的角度实现中不包含任何多余的部分，因此通常也称最小实现为不可简约实现。结论10．8设(A,B,C)为严真传递函数矩阵G(s)的一个实现，则其为最小实现的充分必要条件是(A,B)完全能控，(A,C)完全能观测[最小实现判据]3/5,3/39结论10．10[实现最小维数]对严真传递函数矩阵G(s)，其幂级数表达式为：为马尔柯夫(Markov)参数矩阵，并基此组成汉克尔(Hankel)矩阵则G(s)的状态空间实现的最小维数为nmin=rankH结论10．9[最小实现广义惟一性]严真传递函数矩阵G(s)的最小实现为不惟一但满足广义惟一性。即若(A,B,C)和为G(s)的任意两个n维最小实现，则必可基此构造出一个nn非奇异常阵T使成立：4/5,4/39结论10．11[实现最小维数]对qp传递函数矩阵G(s)，rankG(s)=r，其史密斯—麦克米伦形为其中，U(s)和V(s)为qq和pp单模阵。那么，G(s)的状态空间实现的最小维数为5/5,5/3910.2标量传递函数的典型实现不失一般性，考虑真标量传递函数g(s)，并通过严真化先将其表为常数e和严真有理分式n(s)/d(s)之和，即有那么，对g(s)的各类典型实现就归结为对严真传递函数n(s)/d(s)导出相应的实现，而常数e为各类实现中的输入输出直接传递系数。1/5,6/39几点讨论真标量传递函数g(s)的能控规范形实现实现形式惟一性维数非最小性(Ac，bc，cc)为最小实现条件：结论10．12[能控规范形实现]标量传递函数g(s)的严真部分n(s)/d(s)的能控规范形实现具有形式：2/5,7/39n(s)与d(s)互质结论10．18[能观测规范形实现]标量传递函数g(s)的严真部分n(s)/d(s)的能观测规范形实现具有形式：几点讨论真标量传递函数g(s)的能观测规范形实现实现形式惟一性维数非最小性(Ac，bc，cc)为最小实现条件：结论10.24[对偶性]严真标量传递函数n(s)/d(s)的能控规范形实现（Ac，bc，cc）和能观测规范形实现（A0，b0，c0）满足对偶关系，即有A0=AcT，b0=ccT，c0=bcT

3/5,8/39n(s)与d(s)互质结论10.25[并联形实现]设传递函数g(s)及其严真部分n(s)/d(s)，极点为λ1(μ1重)，λ2（μ2重），…λm(μm重)，表则严真传递函数n(s)/d(s)的并联形实现为4/5,9/39几点解释并联形实现为约当型规范形实现并联形实现在构成上的难点：对极点中包含共轭复数情形的处理：非奇异复变换实数化求留数fik，i=1…m,k=1,…,μi

表n(s)/d(s)为则严真传递函数n(s)/d(s)的串联形实现为几点解释(1)串联形实现的优点：简单直观，便于分析(2)串联形实现在构成上的难点：确定极点与零点(3)对极零点中包含共轭复数情形的处理：非奇异复变换实数化5/5,10/39[串联形实现]10.3基于有理分式矩阵描述的典型实现：能控形实现和能观测形实现考虑以有理分式矩阵描述给出的真qp传递函数矩阵G(s)G(s)=(gij(s))，i=1,…,qj=1,…,q进而，表G(s)为“严真qp传递函数矩阵”和“qp常阵E”之和，即G(s)=(gij(s))=(eij)+(gijsp(s))=E+Gsp(s)且有E=G(∞)。再表Gsp(s)诸元即G(s)诸元的最小公分母d(s)为d(s)=sl+αl-1sl-1+…+α1s+α0基此，严真qp传递函数矩阵Gsp(s)可进而表为其中，Pk(k=0,1,…,l-1)为qp常阵1/3,11/39结论10.35[能控形实现]对以有理分式矩阵描述给出的严真传递函数矩阵Gsp(s)，其能控形实现具有形式而真传递函数矩阵G(s)的能控形实现为2/3,12/39第一步应证明第二步证明系统能控其中，Pk(k=0,1,…,l-1)为qp常阵结论10.36[能观测形实现]对以有理分式矩阵描述给出的严真传递函数矩阵Gsp(s)，其能观测形实现具有形式而真传递函数矩阵G(s)的能观测形实现为3/3,13/3910.4基于矩阵分式描述的典型实现：控制器形实现和观测器形实现右MFD的控制器形实现不失一般性，考虑qp右MFD和D(s)为qp和pp的多项式矩阵，设D(s)为列既约首先，对真导出其严真右MFD。其中，qp常阵E为“商阵”，qp多项式矩阵N(s)为“余式阵”。下面的问题就是，对qp严真右MFDN(s)D-1(s),D(s)列既约构造其控制器形实现。1/22,14/39(1)控制器形实现的定义定义10.4[控制器形实现]对qp严真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既约，表列次数δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，称一个状态空间描述为其控制器形实现，其中如果满足：Cc(sI－Ac)-1Bc=N(s)D-1(s)(AC,BC)为完全能控且具有特定形式2/22,15/39Dhc为D(s)的列次系数，且detDhc≠0DLc为D(s)的低次系数阵NLc为N(s)的低次系数阵结论10.37[构造(AC,BC,CC)的结构图]对qp严真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既约，表列次数δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，再引入列次表达式：D(s)=DhcSc(s)+DLcΨC(s)

N(s)=NLcΨC(s)其中3/22,16/39那么，基此可导出构造(AC,BC,CC)的结构图称Ψc(s)Sc-1(s)为核心右MFD-uyu0y0图10.5结论10.38[构造(AC,BC,CC)的思路]给定qp严真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既约，则在图10.5所示构造(AC,BC,CC)的结构图基础上，对(AC,BC,CC)的构造可分为两步进行：首先，对核心右MFD之Ψc(s)Sc-1(s)构造实现(Ac0,Bc0,Cc0),称其为N(s)D-1(s)的核实现。进而，用核实现置换图10.5所示结构图中的核心右MFD，再通过结构图化简导出N(s)D-1(s)的控制器形实现。4/22,17/39(p×1)(p×p)(q×n)(q×1)(p×p)(p×n)(n×p)(p×p)(3)核实现(Ac0,Bc0,Cc0)的构造先来引入积分链组模型。相对于qp右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既约，列次数δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，其积分链组的组成如图所示。图中，为使组成表达整齐起见，已经非实质性地假定列次数满足非降性，即成立kc1≤kc2≤…≤kcp。积分链组的输入uch取为积分链组的输出ych取为各个积分链的输出构成的向量5/22,18/396/22,19/39结论10.40[积分链组的状态空间描述]相对于qp右MFDN(s)D-1(s)的积分链组模型，取状态Xch﹑输出Ych和输入uch为7/22,20/398/22,21/39（4）控制器形实现的构造结论10.42[控制器形实现]对真qp右MFD，其严真右MFD为N(s)D-1(s)，D(s)列既约，列次数δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，再引入列次表达式：D(s)=DhcSC(s)+DLcΨc(s)N(s)=NLcΨc(s)且知核MFDΨc(s)Sc-1(s)的实现为(Ac0,Bc0,Cc0)，则严真N(s)D-1(s)的控制器形实现(AC,BC,CC)的系数矩阵为Ac=Ac0－Bc0Dhc-1DLc，Bc=Bc0Dhc-1，Cc=NLc

而真右MFD的控制器形实现为(AC,BC,CC,E)Bc0∫Cc0NLcD-1hcD-1hcDLcAc09/22,22/39例10．1

定出给定2×2右MFDN(s)D-1(s)的控制器形实现(Ac,Bc,Cc)，其中容易判断，D(s)为列既约，且N(s)D-1(s)为严真，进而，定出列次数kc1=δc1D(s)=2，kc2=δc2D(s)=3基此，又可定出10/22,23/39核实现可导出控制器形实现11/22,24/39控制器形实现的性质结论10.43[控制器形实现]对严真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既约，由核实现(Ac0,Bc0,Cc0)的结构所决定，其控制器形实现(AC,BC,CC)具有形式：12/22,25/39(2)控制器形实现和列次表达式在系数阵间的对应关系结论10.44[对应关系]对严真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既约，控制器形实现系数矩阵(AC,BC,CC)和D(s)列次表达式系数阵之间具有直观关系Ac的第i个*行＝－Dhc-1DLc的第i行Bc的第i个*行＝Dhc-1的第i行其中，i=1,2,…,p。例10．2

定出给定2×2右MFDN(s)D-1(s)的控制器形实现(Ac,Bc,Cc)，其中容易判断，D(s)为列既约，且N(s)D-1(s)为严真，进而，定出列次数kc1=δc1D(s)=2，kc2=δc2D(s)=313/22,26/39基此，又可定出结论10.45[不完全能观测属性]对严真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既约的控制器形实现(AC,BC,CC)，(AC,BC)为完全能控，但(AC,CC)一般为不完全能观测。14/22,27/39结论10.46[系数矩阵间关系]对严真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既约，其控制器形实现(AC,BC,CC)和N(s)D-1(s)在系数矩阵之间具有关系：15/22,28/39证明：容易看出，需证明的关系式中对应项相等结论10.47[系数矩阵行列式间关系]对严真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既约，其控制器形实现(AC,BC,CC)和N(s)D-1(s)在系数矩阵行列式之间具有关系：det(sI-Ac)=(detDhc)-1detD(s)dim(Ac)=deg(detD(s))结论10.48[实现和N(s)关系]对严真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既约，其控制器形实现(AC,BC,CC)和MFD分子矩阵N(s)之间具有关系结论10.49[联合能控能观测条件]对严真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既约，其控制器形实现(AC,BC,CC)联合能控和能观测的一个充分条件为，对所有s∈ξ，qp矩阵N(s)为列满秩即rankN(s)=p左MFD的观测形实现

考虑真qp左MFD为多项式矩阵，为行既约。为对真导出严真左MFD，引入矩阵左除法可以得到其中，DL-1

(s)NL(s)为严真左MFD。下面的问题就是，对qp严真左MFDDL-1

(s)NL(s)，DL(s)行既约，构造观测器形实现定义10.5[观测器形实现]对qp严真左MFDDL-1(s)NL(s)，DL(s)行既约，表行次数δrjDL(s)=krj，j=1，2…，q，则称一个状态空间描述16/22,29/39(2)核实现(A00B00C00)对严真DL-1(s)NL(s),行次数δrjDL(s)=krj，j=1，2…，q,引入行次数表达式DL(s)=Sr(s)Dhr+Ψr(s)DLrNL(s)=Ψr(s)NLr其中Dhr为DL(s)的行次系数矩阵，且detDhr≠0DLr为DL(s)的低次系数阵NLr为N(s)的低次系数阵17/22,30/39结论10.51[核实现]对qp左MFDDL-1

(s)NL(s)，其核心MFDSr-1(s)Ψr(s)的实现即DL-1(s)NL(s)的核实现为严真DL－1(s)NL(s)的观测器形实现(A0,B0,C0)的系数矩阵关系式为A0=A00－DLr(s)Dhr-1C00

B0=NL,C0=Dhr-1C00

18/22,31/39观测器形实现的性质结论10.53[观测器形实现]对严真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既约，其观测器形实现(A0,B0,C0)具有形式：19/22,32/39结论10.54[对应关系]对严真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既约，观测器形实现(A0,B0,C0)系数矩阵和DL(s)列次表达式系数矩阵之间具有直观关系：A0的第j个*列=－DLrDhr-1的第j列C0的第j个*列=Dhr-1的第j列j=1，2，…，q。结论10.55[不完全能控属性]对严真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既约，则其观测器形实现(A0,B0,C0)中，(A0，C0)为完全能观测，但(A0，B0)一般为不完全能控。20/22,33/39结论10.56[系数矩阵间关系]对严真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既约，其观测器形实现(A0,B0,C0)和DL－1(s)NL(s)在系数矩阵之间具有直观关系：结论10.57[系数矩阵行列式间关系]对严真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既约，其观测器形实现(A0,B0,C0)和DL－1(s)NL(s)在系数矩阵的行列式之间具有直观关系：det(sI-A0)=(detDhr)-1detDL(s)dim(A0)=degdetDL(s)结论10.58[实现和NL(s)关系]对严真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既约，其观测器形实现(A0,B0,C0)和MFD的分子矩阵NL(s)之间具有关系：21/22,34/39结论10.59[联合能控能观测条件]对严真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既约，其观测器形实现(A0,B0,C0)联合能控和能观测的一个充分条件为，对所有s∈ξ，qp矩阵NL(s)为行满秩即rankNL(s)=q。结论10.60[对偶性]设(A0,B0,C0)为“严真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既约”的观测器形实现，(Ac,Bc,Cc)为“严真右MFDN(s)D－1(s)，D(s)列既约”的控制器形实现，则(A0,B0,C0)和(Ac,Bc,Cc)形式为对偶，即A0(=)AcT，C0(=)BcT

22/22,35/3910.5基于矩阵分式描述的典型实现：能控性形实现和能观测性形实现基于矩阵分式描述的实现按“右或左MFD”和“分母矩阵列既约或行既约”共有四种可能的组合。上节已就“右MFDN(s)D－1(s)，D(s)列既约”和“左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既约”构造“控制器形实现”和“观测器形实现”。本节讨论“右MFDN(s)D－1(s)，D(s)行既约”和“左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)列既约”构造对应的“能控性形实现”和“能观测性形实现”。1/1,36/3910.6不可简约矩阵分式描述的最小实现最小实现也称为不可简约实现。最小实现是传递函数矩阵的维数最小即结构最简约的一类实现。结论10.78[不可简约右MFD最小实现]对qp严真右MFDN(s)D－1(s)，设n=degdetD(s)表(Ac,Bc,Cc)为“N(s)D－1(s)，D(s)列既约”的n维控制器形实现，则有(Ac,Bc,Cc)为最小实现<=>N(s)D－1(s)不可简约表(Aco,Bco,Cco)为“N(s)D－1(s)，D(s)行既约”的n维能控性形实现，则有(Ac0,Bc0,Cc0)为最小实现<=>N(s)D－1(s)不可简约结论10.79[不可简约右MFD最小实现]对qp严真右MFDN(s)D－1(s)，D(s)列或行既约，表(A，B，C)为其任意形式的n维实现，n=degdetD(s)，则有(A，B，C)为最小实现<=>N(s)D－1(s)不可简约1/3,37/39需要指出，尽管上述结论为由右MFD确定最小实现提供了一条易于计算的途径，但这并不意味着由右MFD的最小实现只可能有控制器形或能控形的形式。下面，给出右MFD的最小实现的更具普遍性的结论。结论10.80[不可简约左MFD最小实现]对qp严真左MFDDL－1(s)NL(s)，设n=degdetDL(s),表(A0,B0,C0)为“DL－1(s)NL(s)，DL(s)行既约”的n维观测器形实现，表(A0b,B0b,C0b)为“DL－1(s)NL(s)，DL(s)列既约”的n维能观测性形实现，则(A0,B0,C0)为最小实现<=>DL－1(s)NL(s)不可简约(A0b,B0b,C0b)为最小实现<=>DL－1(s)NL(s)不可简约结论10.81[不可简约左MFD最小实现]对qp严真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行或列既约，表其任意形式的n维实现，n=degdetDL(s)，则有为最小实现<=>DL－1(s)NL(s)不可简约结论10.82[狭义惟一性]尽管严真不可简约右MFD或严真不可简约左MFD的最小实现为不惟一，但其特定形式最小实现则为惟一，如控制器形最小实现、观测器形最小实现、能控性形最小实现和能观测性形最小实现等。结论10.83[不惟一性]对严真传递函数矩阵G(s)，由不可简约MFD的不惟一性所决定，上述基于MFD的特定形式最小实现也为不惟一。结论10.84[维数惟一性]对严真传递函数矩阵G(s)，不管表为哪种类型的不可简约MFD，也不管导出的为哪种类型的最小实现，最小实现的维数均为相同，且有最小实现维数＝MFD分母矩阵行列式的次数2/3,38/39结论10.85[代数等价性]对严真传递函数矩阵G(s)或矩阵分式描述MFD，其各种形式的最小实现之间为代数等价。结论10.86[确定最小实现途径]对严真可简约MFD，确定最小实现的途径可有频率方法和时间域方法两类。频率途径为：严真可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约=>导出不可简约MFD，分母矩阵列既约或行既约=>导出“控制器形实现/能控性形实现”或“观测器形实现/能观测器性形实现”=>所得实现为最小实现，且维数等于分母矩阵行列式的次数时间域途径为：严真可简约MFD，分母矩阵为列既约或行既约=>导出能控能观测部分(Aco，Bco，Cco)=>导出能观测能控部分(Aoc，Boc，Coc)=>最小实现即为(Aco，Bco，Cco) 3/3,39/39第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述

11.1多项式矩阵描述多项式矩阵描述(polynomialmatrixdescriptions)简称为PMD，是对线性时不变系统引入的具有更广普遍性的一类内部描述多项式矩阵描述的形式现在，推广讨论一般形式的多输入多输出线性时不变系统，定义那么，可以导出系统的多项式矩阵描述为PMD和其他描述的关系结论11.1[PMD的传递函数矩阵]对线性时不变系统，由给出的PMD的传递函数矩阵G(s)为G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)1/6,1/22结论11.2[状态空间描述的PMD]给定线性时不变系统的状态空间描述：其中，E(p)为多项式矩阵，p=d/dt为微分算子，x(0)=0，且E(p)的存在反映系统的非真性。那么，状态空间描述的等价的PMD为其中，为n×1广义状态，PMD的各个系数矩阵为P(s)=(sI-A),Q(s)=B,R(s)=C,W(s)=E(s)结论11.2[状态空间描述的PMD]给定线性时不变系统的状态空间描述：其中，E(p)为多项式矩阵，p=d/dt为微分算子，x(0)=0，且E(p)的存在反映系统的非真性。那么，状态空间描述的等价的PMD为其中，为n×1广义状态，PMD的各个系数矩阵为P(s)=(sI-A),Q(s)=B,R(s)=C,W(s)=E(s)结论11.3[MFD的PMD]给定q×p线性时不变系统的右MFDN(s)D-1(s)+E(s)和左MFDDL-1(s)NL(s)+E(s)，其中N(s)D-1(s)和DL-1(s)NL(s)为严真MFD，E(s)为多项式矩阵。那么，等价于N(s)D-1(s)+E(s)的PMD为其中，为p×1广义状态，PMD的各个系数矩阵为P(s)=D(s),Q(s)=I,R(s)=N(s),W(s)=E(s)2/6,2/22等价于DL-1(s)NL(s)+E(s)的PMD为其中，为q×1广义状态，PMD的各个系数矩阵为P(s)=DL(s),Q(s)=NL(s),R(s)=I,W(s)=E(s)不可简约PMD

不可简约PMD是线性时不变系统的最为基本和应用最广的一类PMD。定义11.1[不可简约PMD]称(P(s),Q(s),R(s),W(s))为不可简约PMD,当且仅当{P(s),Q(s)}左互质，{P(s),R(s)}右互质把可简约PMD化为不可简约PMD是复频率域方法中经常面临的一个问题。3/6,3/22情形Ⅰ

{P(s),R(s)}右互质，{P(s),Q(s)}非左互质结论11.5[构造不可简约PMD]对“{P(s),R(s)}右互质，{P(s),Q(s)}非左互质”型可简约PMD，表m×m多项式矩阵H(s)为非左互质{P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，再取则可简约PMD的一个不可简约PMD为情形Ⅱ

{P(s),R(s)}非右互质，{P(s),Q(s)}左互质结论11.6[构造不可简约PMD]对“{P(s),R(s)}非右互质，{P(s),Q(s)}左互质”型可简约PMD，表m×m多项式矩阵F(s)为右互质{P(s),R(s)}的任一最大右公因子，再取即有则可简约PMD的一个不可简约PMD为4/6,4/22情形Ⅲ

{P(s),R(s)}非右互质，{P(s),Q(s)}非左互质结论11.7[构造不可简约PMD]对“{P(s),R(s)}非右互质，{P(s),Q(s)}非左互质”型可简约PMD，表m×m多项式矩阵H(s)为非左互质{P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，取m×m多项式矩阵为的任一最大右公因子，取则可简约PMD的一个不可简约PMD为5/6,5/22结论11.8[不可简约PMD不唯一性]设(P(s),Q(s),R(s),W(s))为线性时不变系统的一个不可简约PMD,P(s)为m×m多项式矩阵，Q(s)、R(s)和W(s)为m×p、q×m和q×p多项式矩阵。表U(s)和V(s)为任意两个m×m单模阵，取则也为系统的一个不可简约PMD6/6,6/2211.2多项式矩阵描述的状态空间实现

PMD的实现

考虑线性时不变系统，其多项式矩阵描述即PMD为其中，P(s)为m×m多项式矩阵；Q(s)、R(s)和W(s)为m×p、q×m和q×p多项式矩阵。定义11.2[PMD的实现]称状态空间描述为PMD（P(s),Q(s),R(s),W(s)）的一个实现，如果两者的传递函数矩阵为相等，即成立：R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)=C(sI-A)-1B+E(s)其中，E(s)=E(p)︱p=s

注PMD的实现具有强不唯一性，即不仅实现的结果不唯一，且实现的维数也不唯一。1/1,7/2211.3多项式矩阵描述的互质性和状态空间描述的能控性与能观测性

左互质性与能控性

考虑线性时不变系统，其多项式矩阵描述为其中，P(s)为m×m多项式矩阵，Q(s)、R(s)和W(s)为m×p、q×m和q×p多项式矩阵。系统的状态空间描述即PMD的一个实现为其中，A为n×n常阵，B和C为n×p和q×n常阵，E（p）为q×p多项式矩阵。下面，给出能控性和左互质性间关系的结论结论11.16[左互质性和能控性]对线性时不变系统的PMD及其状态空间实现，有（P(s),Q(s)）左互质〈==〉(A,B)完全能控结论11.17[右互质性和能观测性]对线性时不变系统的PMD及其状态空间实现有（P(s),R(s)）右互质〈==〉(A,C)完全能观测1/4,8/22结论11.18[不可简约PMD的最小描述性]对线性时不变系统，如同称（A,B）完全能控和（A,C）完全能观测的状态空间描述（A,B,C,E(p)）为最小描述一样，也称(P(s),Q(s))左互质和(P(s),R(s))右互质的不可简约PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))为最小描述。结论11.19[MFD右互质性和能观测性]考虑线性时不变系统的右MFD为严真，其能控类实现为其中，dim(Ac)=degdetD(s)。则有{D(s),N(s)}右互质〈==〉(Ac,Cc)完全能观测2/4,9/22结论11.20[MFD左互质性和能控性]考虑线性时不变系统的左MFD为严真，其能观测类实现为其中，dim(A0)=degdetDL(s)。则有{DL-1(s),NL(s)}左互质〈==〉(A0,B0)完全能控结论11.21[状态空间描述的互质性]考虑线性时不变系统，其状态空间描述为（A,B,C,E(p)），传递函数矩阵G(s)的关系式为G(s)=C(sI-A)-1B+E(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)则由PMD左右互质性和状态空间描述能控性能观测性的等价关系，可知{sI-A,B}左互质〈==〉(A,B)完全能控{sI-A,C}右互质〈==〉(A,C)完全能观测3/4,10/22结论11.22[SISO系统互质性]考虑单输入单输出即SISO线性时不变系统，表其传递函数g(s)为其中，P(s)为m×m多项式矩阵，r(s)和q(s)为1×m和m×1多项式项量， W(s)为多项式，φ(s)为P(s)的最小多项式。则有{P(s),r(s)}右互质〈==〉φ(s)和r(s)H(s)不含相消因子{P(s),q(s)}左互质〈==〉φ(s)和H(s)q(s)不含相消因子{P(s),r(s)}和{P(s),q(s)}均互质〈==〉g(s)严真部分不含零点－极点对消4/4,11/2211.4传输零点和解耦零点

PMD的极点

考虑线性时不变系统的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其传递函数矩阵为G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)定义11.3[PMD的极点]对PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，定义：PMD的极点＝“R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)”的极点结论11.23[PMD的极点]表（A,B,C,E(p)）为PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))的一个最小实现，则有PMD的极点＝“det(sI-A)=0”的根结论11.24[PMD的极点]若PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))为不可简约，则有PMD的极点＝“detP(s)=0的根”定义11.4[PMD的传输零点]对PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其传递函数矩阵为G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)，则定义：PMD的传输零点＝“R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)”的零点1/2,12/22结论11.25[PMD的传输零点]表（A,B,C,E(p)）为PMD(P(s),Q(s),R(s)，W(s))的任一最小实现，则有PMD的传输零点＝使降秩的s值结论11.26[PMD的传输零点]若PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))为不可简约，则有PMD的传输零点＝使降秩的s值2/2,13/2211.5系统矩阵

考虑线性时不变系统，其多项式矩阵描述为其中，P(s)为m×m非奇异多项式矩阵；Q(s)、R(s)和W(s)为m×p、q×m和q×p多项式矩阵。进而，表上式为增广变量方程形式，有定义11.8[PMD系统矩阵]线性时不变系统PMD的系统矩阵定义为其增广变量方程（11.143）的系数矩阵，即结论11.35[状态空间描述系统矩阵]线性时不变系统状态空间描述的系统矩阵为1/4,14/22结论11.36[MFD系统矩阵]对q×p线性时不变系统的 MFD，右N(s)D-1(s)的系统矩阵为左DL-1(s)NL(s)的系统矩阵为结论11.37[判断不可简约性]线性时不变系统PMD的系统矩阵为S(s)，有PMD不可简约〈==〉S(s)的前m行和前m列分别满秩，结论11.38[PMD的极点零点]线性时不变系统PMD的系统矩阵为S(s)，若PMD为不可简约，则有PMD的极点＝使S(s)左上方m×m块矩阵降秩s值PMD的传输零点＝使S(s)降秩s值2/4,15/22增广系统矩阵通常，一个线性时不变系统的不同类型描述的系统矩阵在维数上为不同。进而，同一类型不同描述的系统矩阵在维数上也常为不同。增广系统矩阵正是为克服由此而引起的不便而在系统矩阵基础上导出的一类广义系统矩阵。定义11.9[PMD增广系统矩阵]线性时不变系统PMD的增广系统矩阵定义为其中，β为正整数且可按需要任取结论11.42[不可简约性相同]对线性时不变系统的系统矩阵S(s)及其增广系统矩阵Se(s)，有Se(s)不可简约〈==〉S(s)不可简约结论11.43[互质性相同]对线性时不变系统的系统矩阵S(s)及其增广系统矩阵Se(s)，有{Pe(s),Qe(s)}左互质〈==〉{P(s),Q(s)}左互质{Pe(s),Re(s)}右互质〈==〉{P(s),R(s)}右互质3/4,16/22结论11.44[极点和传输零点相同]对线性时不变系统的不可简约系统矩阵S(s)及其增广系统矩阵Se(s)，有Se(s)的极点＝S(s)的极点Se(s)的传输零点＝S(s)的传输零点结论11.45[解偶零点相同]对线性时不变系统的可简约系统矩阵S(s)及其增广系统矩阵Se(s)，有Se(s)的输入解偶零点＝S(s)的输入解偶零点Se(s)的输出解偶零点＝S(s)的输出解偶零点结论11.46[传递函数矩阵相同]线性时不变系统的系统矩阵S(s)及其增广系统矩阵Se(s)具有相同的传递函数矩阵，即有Re(s)Pe-1(s)Qe(s)+W(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)结论11.47[分母矩阵行列式相同]线性时不变系统的系统矩阵S(s)及其增广系统矩阵Se(s)具有相同的分母矩阵行列式，即有detPe(s)=detP(s)结论11.48[特性关系属性相同]对线性时不变系统，引入增广系统矩阵Se(s)代替系统矩阵S(s)以讨论不同描述间关系，不会损失不同描述在特性上的关系属性，如互质性、能控性能观测性、稳定性等。4/4,17/2211.6严格系统等价

对线性时不变系统，考虑相同输入和相同输出的两个PMD的系统矩阵S1(s)和S2(s)，它们既可属于同一系统也可属于不同系统，并表S1(s)和S2(s)分别为其中，Pi(s)为mi×mi非奇异多项式矩阵，Ri(s)、Qi(s)和Wi(s)为mi×p、q×mi和q×p多项式矩阵，i=1,2。进而，不妨设m1＝m2＝m。定义11.10[严格系统等价]称两个PMD型系统矩阵S1(s)和S2(s)为严格系统等价，当且仅当存在m×m单模阵U(s)和V(s)，以及q×m和m×p多项式矩阵X(s)和Y(s)，使成立：并且，记为S1(s)～S2(s)1/5,18/22三点说明:1:严格系统等价是一种变换关系2:严格系统等价变换是一类特定的左右单模变换3:严格系统等价变换满足对称性、自反性和传递性对称性：若S1(s)～S2(s)，则S2(s)～S1(s)。自反性：S1(s)～S1(s)。传递性：若S1(s)～S2(s)，S2(s)～S3(s)，则S1(s)～S3(s)。严格系统等价变换的性质

线性时不变系统的两个PMD型系统矩阵S1(s)和S2(s)，若S1(s)～S2(s)即严格系统等价，则两者分母矩阵P2(s)和P1(s)具有等同的不变多项式，即有detP2(s)=β0detP1(s)其中，β0为非零常数严格系统等价变换下传递函数矩阵保持不变2/5,19/22对线性时不变系统，表两个多项式矩阵描述其系统矩阵为S1(s)和S2(s)，再令（A1,B1,C1,E1(p)）＝PMD1的任一能控类或能观测类实现（A2,B2,C2,E2(p)）＝PMD2的任一能控类或能观测类实现若S1(s)～S2(s)即严格系统等价，则两个同类实现具有相同维数和相同特征多项式，即有dim(A1)=dim(A2)det(sI-A1)=det(sI-A2)严格系统等价变换下系统同类实现在维数和特征多项式上的等同性3/5,20/22左互质性和右互质性在严格系统等价变换下的不变性对线性时不变系统，PMD的互质性在严格等价变换下保持不变若S1(s)～S2(s)即严格系统等价，则有{P2(s),Q2(s)}左互质〈==〉{P1(s),Q1(s)}左互质{P2(s),R2(s)}右互质〈==〉{P1(s),R1(s)}右互质能控性和能观测性在严格系统等价变换下的不变性“状态空间描述代数等价”和“系统矩阵严格系统等价”的等价性对线性时不变系统，表两个状态空间描述为（A1,B1,C1,E1(p)）和（A2,B2,C2,E2(p)）系统矩阵为则有（A2,B2,C2,E2(p)）代数等价（A1,B1,C1,E1(p)）〈==〉S2(s)～S1(s)4/5,21/22传递函数矩阵的所有不可简约MFD的严格系统等价对线性时不变系统的q×p传递函数矩阵G（s），且不要求为严真，则G(s)的所有不可简约MFD必都为严格系统等价结论11.57[不可简约PMD的严格系统等价]对线性时不变系统的q×p传递函数矩阵G（s），G(s)的所有不可简约PMD为严格系统等价严格系统等价描述在结构性质和运动行为上的等同性由严格系统等价性保证，在不可简约的前提下，线性时不变系统的三类描述即状态空间描述、右或左MFD以及PMD在用于系统的分析和综合时的结果为完全等价，不会出现丢失系统结构信息的情况。5/5,22/22第12章线性时不变系统的复频率域分析12.1并联系统的能控性和能观测性

并联系统并联系统是以“输入相同”和“输出相加”为特征的一类组合系统首先，给出对子系统的两个基本假定。一是，S1和S2可由其传递函数矩阵G1(s)和G2(s)完全表征，即其相应的状态空间描述为完全能控和完全能观测。二是，子系统传递函数矩阵Gi(s)，i=1,2为qi×pi有理分式矩阵。且表为不可简约右和左MFD：Gi(s)=Ni(s)Di-1(s)=DLi-1(s)NLi(s)，i=1,2S1S2u=u1=u2，y=y1+y2

p1=p2=p，q1=q2=q结论12.1[能控性条件]由线性时不变子系统S1和S2组成的并联系统Sp，若取G1(s)=不可简约右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可简约右MFDN2(s)D2-1(s)则有Sp完全能控<=>{D1(s)，D2(s)}左互质1/2,1/15结论12.2[能观测性条件]线性时不变子系统S1和S2组成的并联系统Sp，若取G1(s)=不可简约左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可简约左MFDDL2-1(s)NL2(s)则有Sp完全能观测<=>{DL1(s)，DL2(s)}右互质结论12.3[不可简约性条件]由线性时不变子系统S1和S2组成的并联系统Sp，若取G1(s)和G2(s)为“不可简约右MFDN1(s)D1-1(s)与N2(s)D2-1(s)”和“不可简约左MFDDL1-1(s)NL1(s)与DL2-1(s)NL2(s)”，则有Sp不可简约，即可用G1(s)+G2(s)完全表征<=>{D1(s)，D2(s)}左互质，{DL1(s)，DL2(s)}右互质结论12.4[能控性和能观测性条件]由线性时不变子系统S1和S2组成的多输入多输出并联系统Sp，则Sp保持完全能控和完全能观测的一个充分条件是，q×p传递函数矩阵G1(s)和G2(s)不包含公共极点。结论12.6[能控性和能观测性条件]由线性时不变子系统S1和S2组成的单输入单输出并联系统Sp，则Sp保持为完全能控和完全能观测的充分必要条件是，标量传递函数g1(s)和g2(s)不包含公共极点。2/2,2/1512.2串联系统的能控性和能观测性串联系统是由子系统按串联方式顺序联接的组合系统首先，对子系统引入两个基本假定。一是，S1和S2可由其传递函数矩阵G1(s)和G2(s)所完全表征，即其状态空间描述为完全能控和完全能观测。二是，Gi(s)，i=1,2,为qi×pi有理分式矩阵，且表为不可简约右和左MFD：Gi(s)=Ni(s)Di-1(s)=DLi-1NLi(s)，i=1,2S1S2uu1y1u2y2y进而，由子系统的S1－S2串联特征，可以给出系统组成上的相应约束条件为u=u1，y1=u2，y=y2

p1=p，q1=p2，q2=q结论12.7[能控性条件]由线性时不变子系统S1和S2组成的串联系统ST，若取G1(s)=不可简约右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可简约右MFDN2(s)D2-1(s)则有ST完全能控<=>{D2(s)，N1(s)}左互质1/4,3/15结论12.8[能控性条件]由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的串联系统ST，若取G1(s)=不可简约右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可简约左MFDDL2-1(s)NL2(s)则有ST完全能控<=>{DL2(s)，NL2(s)N1(s)}左互质结论12.9[能控性条件]由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的串联系统ST，若取G1(s)=不可简约左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可简约右MFDN2(s)D2-1(s)则有ST完全能控<=>{DL1(s)D2(s)，NL1(s)}左互质结论12.10[能观测性条件]由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的串联系统ST，若取G1(s)=不可简约左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可简约左MFDDL2-1(s)NL2(s)则有ST完全能观测<=>{DL1(s)，NL2(s)}右互质2/4,4/15结论12.11[能观测性保持条件]由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的串联系统ST，若取G1(s)=不可简约左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可简约右MFDN2(s)D2-1(s)则有ST完全能观测<=>{DL1(s)D2(s)，N2(s)}右互质结论12.12[能观测性保持条件]由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的串联系统ST，若取G1(s)=不可简约右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可简约左MFDDL2-1(s)NL2(s)则有ST完全能观测<=>{D1(s)，NL2(s)N1(s)}右互质结论12.13[能控性条件]由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的多输入多输出串联系统ST，设p=p1≥q1=p2，传递函数矩阵G1(s)为满秩，则ST保持完全能控的一个充分条件是，没有G2(s)极点等同于G1(s)传输零点3/4,5/15结论12.15[能观测性条件]由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的多输入多输出串联系统ST，设p2=q1≤q2=q，传递函数矩阵G2(s)为满秩，则ST保持完全能观测的一个充分条件是，没有G1(s)极点等同于G2(s)传输零点。结论12.17[能控性条件]由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的单输入单输出串联系统ST，则ST保持完全能控的充分必要条件是，没有g1(s)零点为g2(s)极点所对消。结论12.18[能观测性条件]由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的单输入单输出串联系统ST，则ST保持完全能观测的充分必要条件是，没有g1(s)极点为g2(s)零点所对消。结论12.19[完全表征条件]由线性时不变子系统按S1－S2顺序组成的单输入单输出串联系统ST，则ST可用g2(s)g1(s)完全表征的充分必要条件是，g1(s)和g2(s)没有极点零点对消现象。4/4,6/1512.3状态反馈系统的能控性和能观测性

结论12.21[状态反馈系统复频率域形式]对线性时不变受控系统，状态反馈系统复频率域结构基本形式如图所示，并被采用作为复频率域方法中分析和综合状态反馈的基本模型。Dhc-1Ψ(s)S-1(s)NLcDhc-1DLcKD-1(s)N(s)KΨ(s)结论12.22[状态反馈系统的MFD]复频率域结构图表征的线性时不变状态反馈系统，闭环传递函数矩阵的右MFD为GK(S)=N(s)DK-1(s)闭环分母矩阵DK(s)为DK(s)=DhcS(s)+(DLc+K)Ψ(s)1/2,7/15结论12.23[能控性]复频率域结构图表征的线性时不变状态反馈系统∑K和开环受控系统∑0有∑K完全能控<=>∑0完全能控结论12.24[能观测性]复频率域结构图表征的线性时不变状态反馈系统∑K和开环受控系统∑0，∑0完全观测不能保证∑K必为完全能观测。2/2,8/1512.4输出反馈系统的能控性和能观测性考虑图示结构组成的线性时不变输出反馈系统∑F。首先对输出反馈系统∑F引入三个基本约定：(i)子系统S1和S2为真或严真，且可由传递函数矩阵G1(s)和G2(s)分别