2023年学生版高中数学必修直线与圆的位置关系知识点总结经典例题与习题

高中数学必修2直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．(1)圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹)叫做圆,定点叫做圆心,定长就是半径;(圆心是定位条件,半径是定型条件)(2)圆的标准方程:；圆心，半径为；圆的一般方程：;圆心,半径为；【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例,其他形式,则可化为标准式后按同样方法解决）设与圆；若到圆心之距为；①在在圆外；②在在圆内；③在在圆上；【三】、直线与圆的位置关系：设直线和圆，圆心到直线之距为,由直线和圆联立方程组消去(或）后,所得一元二次方程的判别式为,则它们的位置关系如下:相离；相切;相交;注意：这里用与的关系来鉴定，称为几何法,只有对圆才实用,也是最简便的方法；运用鉴定称为代数法,对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。【四】、两圆的位置关系:（1)代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组;若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交;若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切;若无实数解,两圆相离。（２）几何法:设圆的半径为,圆的半径为①两圆外离;②两圆外切;③两圆相交；④两圆内切⑤两圆内含；(五)已知圆C：(x-a)2＋(y-b)2=ｒ2(ｒ>0)，直线L:Aｘ+Ｂy＋C=0ﻫﻫ１.位置关系的鉴定:ﻫ鉴定方法1:联立方程组得到关于x（或y)的方程ﻫ(1)△＞０相交;

(２）△＝0相切;

(3)△<0相离。ﻫ

鉴定方法2:若圆心(a,b)到直线L的距离为dﻫ(1）ｄ＜r相交;

(２)d=ｒ相切;

(3)d>r相离。

例1、判断直线Ｌ:(1＋m)ｘ+（1-m）y+2ｍ－1=0与圆O:x2+y2=９的位置关系。

例2、求圆x2+y２=1上的点到直线3x+４y＝２5的距离的最大最小值ﻫﻫ１.切线问题：

例3:ﻫ（1)已知点Ｐ（x０,y0)是圆Ｃ：x２＋y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程;（ｘ0x+ｙ0y=ｒ2)ﻫﻫ例4、求过下列各点的圆C:x２+y2－2ｘ＋4y－４=0的切线方程：

（1)；（2)B(4，5)

ﻫﻫ(2）已知圆O：ｘ2＋y2＝16,求过点P（４,6)的圆的切线PT的方程。

注:ﻫ(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法,但运用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。(２)过圆外一点向圆引切线,应有两条;过圆上一点作圆的切线，只有一条。例６、从直线L：2x－ｙ+１０=0上一点做圆O：x2+ｙ2=４的切线,切点为A、Ｂ，求四边形PＡOB面积的最小值。

例７、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆Ｏ：ｘ2+y2=r2的切线，切点为Ａ、B，求直线AB的方程。ﻫ

２、弦长问题ﻫ例８、

(1)若点P(2,-1)为圆(ｘ－1)2+y2=２5的弦ＡB的中点,求直线AＢ的方程。ﻫ

(2）若直线y＝2x+ｂ与圆x2+y2=4相交于A、Ｂ两点,求弦ＡB的中点M的轨迹。

(3）通过原点作圆ｘ2+y2+２x-４ｙ+4=0的割线ｌ,交圆于Ａ、B两点,求弦AB的中点Ｍ的轨迹。ﻫ

精选习题:

1在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ﻩ）A.ﻩ ﻩB.ﻩ ﻩ C． ﻩﻩ D.2直线同时要通过第一第二第四象限，则应满足（)Ａ．ﻩＢ． Ｃ.ﻩD．3直线与圆的位置关系是（ﻩ)Ａ．相交且过圆心ﻩﻩＢ.相切 ﻩC.相离ﻩﻩ D.相交但但是圆心4过两点的直线在x轴上的截距是（ﻩ）A.ﻩ ﻩ Ｂ． ﻩ ﻩＣ. ﻩﻩﻩD．25.若直线ax+ｂｙ=1与圆x2+y2=１相交，则点Ｐ（a，b)的位置是_＿＿_

A．在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上皆有也许

6．已知点，则线段的垂直平分线的方程是(）A．B.C.D.７.若三点共线则的值为（)A．Ｂ.C.Ｄ.8.直线在轴上的截距是()A.ﻩＢ．ﻩC. Ｄ.９.直线,当变动时，所有直线都通过定点()Ａ.ﻩB. C．ﻩD．10．直线与的位置关系是()A.平行 B.垂直 C.斜交ﻩD.与的值有关11.直线与平行，则它们之间的距离为（）A．ﻩB. Ｃ. Ｄ．12、若直线的倾斜角为,则()A、B、Ｃ、D、不存在13．通过圆的圆心C,且与直线垂直的直线方程是（)Ａ．B.C．D．14(安徽文）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D.１５、通过点Ａ(1，2）,且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（)A、1条B、2条Ｃ、３条D、４条1６、方程表达的图形是（)A、两条相交而不垂直的直线B、一个点C、两条垂直直线D、两条平行直线1７、下列说法对的的是若直线与的斜率相等，则∥;B、若直线∥，则与的斜率相等；Ｃ、若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交;D、若直线与的斜率都不存在,则∥8动点在圆上移动时,它与定点连线的中点的轨迹方程是( )A. ﻩＢ.C． ﻩ D．

19.直线l过点A(0，２)且与半圆C：（x-1)2＋y2＝1(ｙ≥0）有两个不同的交点,则直线l的斜率的范围是＿_＿_

２0已知点在直线上，则的最小值为21、m为任意实数时,直线（ｍ-１)x＋（2ｍ-1)y=m－5必过定点。22．若圆ｘ2＋y2-４x-5=0上的点