第2部分 高考11大高频考点例析

高考11大高频考点例析考点六考点五考点四考点三考点二考点一考点七第2部分模块综合检测考点八考点九考点十考点十一考查方式新定义下的试题在近几年高考中时有出现，本考点中采用新定义的形式使集合中元素满足新条件，从而“构造”出新的集合.题型多以选择题的形式出现，难度不大．备考指要处理新定义下的题目，关键是抓住新定义的本质，紧扣新定义进行推理论证.[考题印证]

[例1]

(2011·广东高考改编)设S是整数集Z的非空子集，如果任意a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且任意a，b，c∈T，有abc∈T；任意x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是(

)A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的

[解析]

取T＝{x|x∈(－∞，0)，且x∈Z}，V＝{x|x∈(0，＋∞)，且x∈Z}∪{0}，可得T关于乘法不封闭.又取T＝{奇数}，V＝{偶数}，可得T，V关于乘法均封闭，故排除B、C、D.[答案]

A[跟踪演练]1．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集．给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号)．解析：①中的图形，只需连接最上方的两上顶点，即可知不满足凸集的定义，故①中的图形不是平面上的凸集；②中的图形上任意两点的连线必定在此线上，故②中的图形是平面上的凸集；③中的图形上任意两点的连线必定在该图形上，故③中的图形是平面上的凸集；④中的图形，只在两圆内各取一点，即可知不满足凸集的定义，故④中的图形不是平面上的凸集．答案：②③2．定义集合运算A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为

(

)A．0

B．6C．12 D．18解析：x＝0时，z＝0；x＝1时，z＝1×2×(1＋2)＝6或z＝1×3×(1＋3)＝12.∴A⊙B＝{0,6,12}．∴A⊙B中所有元素之和为18.答案：D考查方式主要考查集合关系的判断，两集合相等，确定已知集合子集个数及已知子集关系确定参数范围(值)等．题型为选择题或填空题．备考指要要理解集合之间包含与相等的含义，从集合的元素入手，明确集合元素的属性，必要时要简化集合，对于比较复杂的集合要借助数轴和Venn图分析．同时，还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏.[考题印证]

[例2]

(2011·北京高考)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是 (

)

A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)

C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析]

由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}．由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，∴－1≤a≤1.[答案]

C[跟踪演练]3．集合A＝{x|0≤x＜3，且x∈N}的真子集的个数是(

)A．16 B．8C．7 D．4解析：A＝{0,1,2}，故真子集的个数为23－1＝7个．答案：C4．已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为 (

)A．1 B．－1C．1或－1 D．0或1或－1答案：D5．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：∵log2x≤2＝log24，∴0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}，B＝(－∞，a)．又A⊆B，∴a>4.又a的取值范围是(c，＋∞)，∴c＝4.答案：4考查方式以考查概念和计算为主．考查集合的交集、并集、补集运算；从考查形式上看，主要以选择题、填空题的形式出现．常联系不等式的解集与不等关系，考查数形结合、分类讨论等数学思想方法，题型以选择题和填空题为主．备考指要首先要明确集合中的元素，理解交、并、补集的含义，正确进行交集、并集、补集的运算，有时借助数轴或Venn图解题更直观、简捷，因此分类讨论及数形结合的思想方法是解决此类问题的常用方法.[考题印证]

[例3]

(1)(2011·大纲全国卷)设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U(M∩N)＝ (

)

A．{1,2} B．{2,3}

C．{2,4} D．{1,4}

(2)(2011·北京高考)已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁UP＝

(

)

A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)

C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]

(1)∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，∴M∩N＝{2,3}．又∵U＝{1,2,3,4}，∴∁U(M∩N)＝{1,4}．(2)∵x2≤1⇔－1≤x≤1，∴∁UP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案]

(1)D

(2)D[跟踪演练]6．(2011·安徽高考)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩(∁UT)等于 (

)A．{1,4,5,6} B．{1,5}C．{4} D．{1,2,3,4,5}解析：S∩(∁UT)＝{1,4,5}∩{1,5,6}＝{1,5}．答案：B7．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝(

)A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}，∴A∩（∁RB）＝{x|1≤x≤2}．答案：D答案：A9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.解析：依题意得A＝{0,3}，因此有0＋3＝－m，m＝－3.答案：－3考查方式对函数的三要素考查以基础题为主．对定义域、值域考查多与二次函数、指数函数、对数函数相联系，而对解析式的考查多与函数的单调性、奇偶性相联系，题型以选择题、填空题为主．备考指要(1)求定义域一般是化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间表示．(2)求值域要掌握常用的方法：单调性法、配方法、换元法、图象法．(3)求解析式要掌握待定系数法、换元法或配凑法，求得解析式后要注明函数的定义域.[考题印证]

(2)已知函数f(x)＝2x＋1与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝g(x)的解析式为________．[答案]

(1)C

(2)g(x)＝9－2x[跟踪演练]答案：C答案：C12．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B(4,0)，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________．解析：由题意知a<0，设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为x＝1.当x＝1时，ymax＝－9a＝9，a＝－1，∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.答案：y＝－x2＋2x＋8考查方式分段函数是近年来一些省份的考查热点，主要考查求函数值、已知函数值求自变量的值以及函数的性质等，题型以选择题和填空题为主．备考指要解决这类题的最基本原则是先分后合，即解题时先在各段上分别求解，最后整合得结论.这一过程相当于分类讨论.[考题印证]A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16[答案]

D[跟踪演练]答案：D解析：法一：当a＞0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，可见不存在实数a满足条件.当a＜0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．法二：由指数函数的性质可知：2x＞0.又因为f(1)＝2，所以a＜0.所以f(a)＝a＋1，即a＋1＋2＝0，解得a＝－3.法三：验证法，把a＝－3代入f(a)＝a＋1＝－2.又因为f(1)＝2，所以f(a)＋f(1)＝0，满足条件．答案：A答案：－216．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分钟)的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．考查方式主要考查判断已知函数的单调性，或利用函数单调性求函数的最值、比较两个数的大小及求参数范围．对于比较数的大小，多构造指数、对数函数，同时应注意底数是否大于1.题型既有选择题、填空题，也有解答题．备考指要函数单调性的判断可利用定义法、图象法，应明确函数的单调性与“区间”相联系，但在写单调区间时，对于“∪”要慎用.[考题印证](2)(2011·新课标高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是 (

)

A．y＝x3 B．y＝|x|＋1

C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|[答案]

(1)A

(2)B[跟踪演练]17．若函数f(x)的单调增区间为(－2,3)，则y＝f(x＋3)的单调递增区间为 (

)A．(1,6) B．(－5,0)C．(－2,3) D．(0,3)解析：∵f(x)的增区间为(－2,3)，∴y＝f(x＋3)是增函数时－2<x＋3<3.解得－5<x<0,即y＝f(x＋3)的递增区间为(－5,0)．答案：B18．(2011·江苏高考)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．答案：A20．不等式x2＋2x－a>0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，则a的取值范围是________．解析：令f(x)＝x2＋2x，x∈[1，＋∞)．

f(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，f(x)取最小值f(1)＝3.∵x2＋2x－a>0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，∴3－a>0，即a<3.答案：(－∞，3)考查方式对函数的奇偶性主要考查判断函数的奇偶性，利用奇偶性求函数式中参数的值，有时也利用奇偶性求解析式；还有奇偶性与其他性质结合命题，其难度较大，题型主要以选择题、填空题的形式出现，也有与其他知识综合以解答题的形式出现．备考指要函数的奇偶性是函数的整体性质，是研究在函数定义域上互为相反数的x和－x的函数值的关系式．定义域关于原点对称是函数为奇偶函数的首要条件，然后利用f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)进行判断.解题时熟记奇偶性的常用运算性质，如奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇等，可以快速处理以选择题、填空题的形式出现的函数奇偶性问题.[考题印证]

[例7]

(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(

)

A．f(x)＋|g(x)|是偶函数

B．f(x)－|g(x)|是奇函数

C．|f(x)|＋g(x)是偶函数

D．|f(x)|－g(x)是奇函数

[解析]

由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x).由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|为偶函数，所以f(x)＋|g(x)|为偶函数．

[答案]

A[跟踪演练]答案：B22．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则x<0时，f(x)＝________.解析：设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.又函数为奇函数，故f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.答案：x3＋x－123．(2011·浙江高考)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.答案：024．定义域为R的奇函数f(x)对任意实数x1，x2(x1≠x2)都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则使不等式f(x＋2)＋f(3)>0成立的x的取值范围是________．解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1，x2∈R，知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．再由f(x＋2)＋f(3)>0且f(x)为奇函数，得f(x＋2)>f(－3)，∴x＋2>－3，x>－5.答案：(－5，＋∞)考查方式函数图象的考查涉及的知识面广，形式灵活，是每年高考必考内容，主要考查函数图象的选择、图象的变换及图象应用.题型以选择题、填空题的形式出现．备考指要在判断函数图象时，要充分利用特殊点以及图象的对称关系来判断.对于图象的应用，作图要准确，否则结论易出错.[考题印证][答案]

B[跟踪演练]答案：D26．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．考查方式主要考查对数式和指数式直接运算，利用换底公式进行运算，通过运算的转化来进行大小比较．题型多为选择题．备考指要解决这类问题首先要熟练掌握指数式、对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如N＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算.[考题印证][答案]

－20[跟踪演练]27．计算：(1)2log122＋log123；(2)lg500－lg5.考查方式本考点的考查主要表现