2023年基于动态规划的面试时间优化模型

20２3年天津商业大学数学建模竞赛承诺书我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(涉及电话、电子邮件、网上征询等）与队外的任何人（涉及指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，假如引用别人的成果或其他公开的资料(涉及网上查到的资料）,必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严厉解决。我们参赛选择的题号是(从A/Ｂ中选择一项填写）：Ｂ参赛队员(打印并署名)：１.叶恒扬２.施艺敏３.张一鸣日期：20２3年４月基于动态规划的面试时间优化模型摘要现代信息社会中,求职面试已经成为就业的一个重要环节。科学有效的组织和安排无论对面试者还是对组织单位、用人单位都是省时省力、节略成本的。因此如何紧凑、高效、省时地安排面试者按顺序完毕面试具有重要研究意义。本文综合运用运筹学、记录学、经济学、平面设计、计算机软件等知识，通过建立数学模型来求解面试的最短时间,进一步规划最优的面试流程。针对问题一,通过度析给定的面试阶段顺序和不允许插队等特性，为满足面试时间最短,建立了求解最短时间的0-１非线性规划模型（见公式（1)),然后运用Lingo11.0程序（见附录1),求解出最短面试时间为１00分钟，最佳安排顺序为:，同学最早9:４０一起离开。接着运用AｕtｏＣAＤ２02３分别绘制出同学和面试官的面试过程时间图（见图1~2)。在此基础上，运用Eｘｃeｌ20２３制作出同学的具体面试流程表:秘书副主管主管经理开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻同学4８:008：08８:０88:188:１8８：338:338:４1同学18:088:2１8：２１8：3６8：36８:5６8：5６9:01同学2８:2１8：318:3６8:568:569:149:149：20同学５8:318:4５8:5６9:079:１49：２2９:229:31同学３８:４５9:０５９:079:２39:239:33９:33９:40针对问题二，同样满足给定的面试阶段顺序、不允许插队和同学们约定一起离开等特性,对于未知的m名同学和n个阶段构成的面试时间矩阵,以最后一名同学面试的结束时间最早为目的函数,以不允许插队和同一面试官同一阶段只能面试一个同学为约束条件,建立求解面试最短时间的动态规划模型(见公式(15)),并由Ｍａtｌab生成随机面试时间矩阵（面试由５名同学和5阶段组成）和(面试由6名同学和5阶段组成）,由Lingo程序（见附录3、5)求解出最短面试时间分别为101分钟和13５分钟，比未经优化按原始顺序面试的１1０分钟和１42分钟分别缩短9分钟和7分钟，接着运用AutｏCAＤ２０２3分别绘制出优化前后的面试过程时间图（见图3~１3）。同样,运用Eｘcel２023制作出同学的具体面试流程表(见表3~6）。优化后的面试时间较未优化的面试时间有所缩短,验证了模型的对的性,也是对模型的检查。针对问题三,基于第一问和第二问的建模思想,同时进一步考虑到同学和面试官的等待过程是对时间成本的极大消耗,摒弃现有面试模式中同学同时到达再一起离开这一传统模式，建立无论是对于同学还是面试官只要完毕自己的面试便可离开的新模式,基于问题一的已知面试时间矩阵,绘制出同学和面试官的面试时间图(图1和图１1）,并分别绘制同学和面试官的具体面试时间流程表（见表７～8)，同学和面试官可根据时间流程表提前安排行程和合理运用等待时间,节约时间见下表:【关键字】面试时间,排序,动态规划，优化模型，lｉｎgｏ软件一、问题的提出与重述现代信息社会中，求职面试已经成为就业的一个重要环节。在面试的组织实行过程中，一个常见的基本问题是如何紧凑、高效、省时地安排面试者按顺序完毕面试，科学有效的组织和安排无论对面试者还是对组织单位、用人单位都是省时省力、节略成本的。面试过程的安排无疑要根据面试者的基本情况、用人单位的规定与面试设立项目有直接关系。比较典型的情况是用人单位或组织单位设立了几个阶段的面试,参与面试的人员必须逐个完毕各个阶段的面试才干录取,此外由于面试者各自的学历、专业背景等因素的差异,每个面试者在每个阶段的面试时间也有所不同。对上述面试情况,作简化和抽象后可描述为以下数学问题。问题一某高校毕业生中有5名同学到一家公司参与四个阶段的面试。面试程序上,规定每个同学都必须从第一阶段面试开始，然后进行第二阶段面试,…，最后进行第四阶段的面试，并且在任何一个阶段5名同学的顺序是同样的,假定开始面试时间是上午８：００，建立的数学模型,求出他们最早离开公司的时间。问题二假设该高校毕业生中有ｍ名同学到一家公司应聘,按类似于问题１的面试规则需要参与该公司人事部门组织的ｎ个阶段的面试。由于m名同学的专业背景不同，所以每人在每个阶段的面试时间也不同，这m名同学约定他们所有面试完以后一起离开公司。请建立数学模型，以此讨论他们最早何时能离开该面试的公司？问题三试设计一种更科学、更公平、更合理的面试模式，并给出理由。基本假设1．假设面试者从一个阶段到下一个阶段参与面试的时间间隔为0；２.假定面试者都能在8：０0准时到达面试地点;3.假定可以任意排列面试者的面试顺序;4．假定面试者均会参与每个阶段的面试,并且没有半途退场的情况出现；5.假设参与面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关。三、重要变量的符号说明为了便于描述问题,本文将问题中涉及的重要变量用下表符号来表达:表一重要变量符号说明一览表符号表达的意义完毕所有面试所花费的最少时间第名同学参与第阶段面试的开始时刻第名同学参与第阶段面试需要的时间第名同学参与第阶段面试的开始时刻第名同学是否排在第名同学前面(１表达是，0表达否)面试时间矩阵四、问题分析问题是“面试如何安排才干尽早结束”,根据题意可知,由于面试者各自的学历、专业背景等因素的差异,每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同,这样就导致了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完毕，即当面试正式开始后,在某个面试阶段，某个面试者会由于前面的面试者所需时间长而等待，也也许会由于自己所需时间短而提前完毕。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个拟定面试顺序下所有面试者按序完毕面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有也许情况则取决于面试者的面试顺序的所有排列数。从而原问题可等价于:求所有也许的面试顺序中，使花费总时间最少的那种顺序，并求出所花费的总时间。就问题一而言，事实上，这个问题就是要安排５名面试者的面试顺序，使完毕所有面试所花费的时间最少。通过度析给定的面试阶段顺序和不允许插队等特性,为满足面试时间最短，可建立求解最短时间的0－1非线性规划模型,然后运用lingo11．0程序求解出最短面试时间以及最佳安排顺序。最后根据模型结果可得出同学最早离开面试地点的时间。此外我们可以运用AutoCAＤ20２３分别绘制出同学和面试官的面试过程时间图,在此基础上,还可以运用Eｘｃel２0２3制作出同学的具体面试流程表;就问题二而言,事实上就是要安排m名面试者的面试顺序,使完毕所有面试阶段ｎ所花费的时间最少。同样满足给定的面试阶段顺序、不允许插队和同学们约定一起离开等特性,我们可以尝试建立求解面试最短时间的动态规划模型，并可由Matlaｂ生成随机面试时间矩阵，然后由Lingo程序求解出最短面试时间，再运用AuｔｏCAD2０２3分别绘制出优化前后的面试过程时间图。同样，可运用Excel2023制作出同学的具体面试流程表。最后可以比较一下优化后的面试时间较未优化的面试时间的改变,从而验证模型的对的性，也是对模型的检查。就问题三而言，需要我们从科学性、公平性、合理性三个方面对面试模式进行改善。我们可以通过查阅资料了解当前面试模式中存在的普遍性不合理现象，然后针对不合理现象进行面试模式的改善。五、模型的建立与求解问题一建模和求解（1）模型建立记为第名同学参与第阶段面试需要的时间（已知）,令表达第名同学参与第阶段面试的开始时刻(不妨记早上8：００面试开始为０时刻)为完毕所有面试所花费的最少时间。则有优化目的为:（1）面试时间矩阵:约束条件:①对时间先后顺序进行约束,即每人只有参与完前一个阶段的面试后才干进入下一个阶段：（２)②每个阶段同一时间只能面试1名同学,用0-1变量表达第名同学是否排在第名同学前面（1表达是，0表达否),则:,（3）,（4）可以将非线性的优化目的改写为如下线性优化目的:（5）(6）(7）(８)(9）这个问题的0-1非线性规划模型[１]为:(10)，(1１),(12），(１3)，(14）模型求解根据以上所建的模型,我们可编出Ｌingo程序（详见附录1)，部分运营结果见图1（具体结果请见附录2)：图1问题一部分运营结果结果分析由变量的最优解值为10０.00000,知最短时间为100分钟,即5名同学一起离开公司的时间是9:40。

由变量Y（S1，S2)的最优解值为0．０0０0０0,知ｓｔｕdent1排在ｓtudeｎt2之前,即1号同学排在２号同学之前。

由变量Ｙ(S1,S3)的最优解值为0.0０0000,知ｓtｕｄｅnｔ1排在stuｄent3之前,即1号同学排在3号同学之前。

由变量Y(S1，S4）的最优解值为1.00０000，知ｓｔudｅｎt4排在ｓｔudent1之前,即4号同学排在1号同学之前。由变量Y(S1,S5）的最优解值为0.000００0,知sｔuｄent１排在ｓtuｄent5之前，即１号同学排在5号同学之前。ﻫ由变量Y(Ｓ2，S3)的最优解值为0.000000，知stｕｄｅnt2排在sｔudent３之前,即２号同学排在3号同学之前。ﻫ由变量Y(Ｓ2,S4)的最优解值为１．０0００00，知student4排在stuｄent2之前,即4号同学排在２号同学之前。由变量Y（Ｓ2,S5）的最优解值为0.０0000０,知sｔｕdｅnt2排在studenｔ5之前，即2号同学排在５号同学之前。ﻫ由变量Y(S３,Ｓ4)的最优解值为1.０000０0,知sｔudent４排在stｕdent3之前,即4号同学排在3号同学之前。由变量Y（S３，Ｓ５)的最优解值为1.00０0０0,知stｕｄent5排在sｔｕdeｎt3之前，即５号同学排在３号同学之前。由变量Y(S4，S５)的最优解值为0.00００00,知sｔｕdeｎt4排在stuｄent5之前，即4号同学排在5号同学之前。根据模型得出的结果,我们可以作出整个面试过程的图解如下：图2整体面试过程（同学)图３整体面试过程(面试官）根据图解,我们可做出这五位同学的具体面试安排如下（不妨设８:00为0时刻):ﻫ第一个进行面试的是4号同学。４号同学在０时刻开始秘书面试,用时8分钟；秘书处面试结束后去副主管处进行面试,用时1０分钟；接着去主管处面试，用时１5分钟;最后去经理处面试,用时8分钟；最终,４号同学在8:41完毕整个面试过程。ﻫ第二个进行面试的是1号同学。1号同学在8分钟时刻开始秘书面试，用时１3分钟，此时4号同学已经完毕副主管面试;１号同学直接进行副主管面试,用时15分钟，此时4号同学已经完毕主管面试;1号同学直接进行主管面试，用时2０分钟，此时4号同学已经完毕经理面试;1号同学开始经理面试,用时5分钟;最终,1号同学在9：01完毕整个面试过程。第三个进行面试的是2号同学。2号同学在21分钟时刻开始秘书面试，用时10分钟完毕秘书面试,此时1号同学尚未完毕副主管面试;２号同学等待5分钟后进行副主管面试,面试用时20分钟,此时1号同学刚好结束主管面试;2号同学直接进行主管面试，用时1８分钟，此时1号同学已经完毕经理面试;２号同学直接进行经理面试,用时6分钟。最终,2号同学在９:20完毕整个面试过程。第四个进行面试的是5号同学。5号同学在31分钟时刻开始秘书面试，用时１4分钟完毕秘书面试，此时2号同学尚未完毕副主管面试；５号等待1１分钟后进行副主管面试，面试副主管用时11分钟，副主管面试完，2号同学尚未完毕主管面试；5号同学等待7分钟后开始主管面试,用时８分钟，此时２号同学已经完毕经理面试;5号同学直接进行经理面试，用时9分钟。最终,5号同学在9:31完毕整个面试过程。最后进行面试的是3号同学。３号同学在4５分钟时刻开始秘书面试,用时２0分钟完毕秘书面试，此时５号同学尚未完毕副主管面试;3号同学等待2分钟后开始面试副主管,用时1６分钟,此时5号同学已经完毕主管面试；３号同学直接开始主管面试,用时1０分钟,此时5号同学已经完毕经理面试；３号同学直接进行经理面试，用时7分钟,最终,３号同学在9:4０完毕整个面试过程。为了更加直观地表达整个面试过程的时间安排，我们作出面试的时间安排表如下:表2面试时间安排表秘书副主管主管经理开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻同学48:008:08８:088:1８８：188:３3８:338:41同学18:０88:218:21８：3６８:368:568:569:０1同学28：２1８:318:３６8:56８:５６９：14９:1４9:20同学５8：３18:458：569:0７9：14９:2２9：22９:３1同学３8:459:059:０７9:239：２３９:339:339:4０至此，模型所得五位同学的面试顺序为，以此顺序依次进行面试,总计用时最短，为100分钟,即这五位同学最早可在9：40离开公司。问题二建模和求解对于问题一,所建立的数学模型是针对具体面试者与面试阶段的特定模型。而问题二需要针对面试者与面试阶段不拟定建立相应的数学模型,进而求出最短面试时间。为此，借助问题一的建模思想,将模型进一步推广，假设有m名面试者,n个面试阶段,建立求解最小面试时间的数学模型。（１)模型建立事实上，这个问题就是要安排m名面试者的面试顺序,使完毕所有面试所花费的时间最少。面试时间矩阵:优化目的：(15)约束条件：时间先后顺序约束(每人只有参与完前一个阶段的面试后才干进入下一个阶段)（16）每个阶段j同一时间只能面试1名同学:用0－1变量表达第名同学是否排在第名同学前面(1表达是,0表达否）,则,(１7），(18）可以将非线性的优化目的改写为如下线性优化目的:(19）s．t.(2０）（21)……(22)则这个问题的０－1非线性规划模型为:（23）s.t.,（2４),(25）,(2６），(2７)模型求解根据模型，我们可编写ＬＩNGO程序如下：Modeｌ:SETS:！Person=被面试者集合，Stａge=面试阶段的集合;Persｏｎ/1..m／;Stａge/1..n/;!T=已知的面试所需要的时间,X=面试开始时间;ＰXS（Pｅrsｏn,Stagｅ):T,X;!Y(i,k)=１：k排在i前,0：否则；ＰXP(Person,Peｒson）|＆1#LT#&2：Y;ENＤＳETSDATＡ:T=;EＮＤDAＴA[obj]ｍin＝MＡXT;！MAXＴ是面试的最后结束时间;MＡXT>=＠mａｘ（ＰXS(i,ｊ)|j#ＥQ#@sｉze（staｇe):ｘ（ｉ,j)＋t(i,j）)；！只有参与完前一个阶段的面试后才干进入下一个阶段;@fｏｒ(ＰXS（ｉ,j)|ｊ#LT#@sｉze(sｔage）：［ORＤEＲ]x(i,j)＋t（ｉ,j)＜x(i,j+1）);!同一时间只能面试１名同学；＠for(Stａgｅ（j):@fｏr(PＸP（i,k）:[SOＲT1］ｘ（i，j）＋t(i,j）-ｘ(k,j)<MAXＴ*Y(i,ｋ))；@for(PXP(ｉ,k):[SORＴ2]x(ｋ,j)+ｔ（ｋ，j)－x(i,ｊ)<MAXT＊(１－Y(i,k))）；);@ｆor(PXP:＠ｂin(y）);End具体情况中，只需将面试人数m、面试阶段n以及初始时间矩阵的具体值代入程序即可得最优面试顺序以及最短面试时间。(3）结果分析依照题设规定,我们运用Ｅxｃel随机生成５人面试５阶段的面试时间和6人面试5阶段的面试时间进行模型结果分析,并对随机产生的面试顺序得出的结果与模型计算得出的面试顺序所得的结果进行对比分析说明，具体内容如下：A．５名同学进行5个阶段的面试。面试程序上,每个同学都必须从第一阶段面试开始，然后进行第二阶段面试，…，最后进行第五阶段的面试,并且在任何一个阶段5名同学的顺序是同样的。用Mａtlaｂ[2］随机生成面试时间矩阵即具体的面试时间如表三所示:表3具体面试时间表(Ａ)同学编号第一阶段第二阶段第三阶段第四阶段第五阶段19１5171１122１67912８310814１７１441166７６5１7151569按照原始同学编号排序进行面试;根据随机排列的顺序我们可计算出每个面试者的面试时间和等待时间,以及每阶段面试的面试官的等待时间，并作出面试时间图分别如下:图4面试时刻（同学)图5面试时刻（面试官)由图可知，整个面试过程共花费１1０分钟,同学累计等待时间为５0分钟,面试官累计等待时间为40分钟。下面我们将应用所建模型求解,进行比较。按照模型排序进行面试根据以上所建模型,用Linｇo［３］软件运营（程序请见附录3)可得最优面试顺序为，部分结果如下图（详见附录4）:图6Lingｏ部分运营结果（Ｂ)根据模型所得结果,我们可计算出每个面试者的面试时间和等待时间，以及每阶段面试的面试官的等待时间，并作出面试时间图分别如下：图7A.面试时刻（同学）图8Ａ.面试时刻(面试官)由图可知,整个面试过程共花费1０1分钟,比随机生成面试顺序得到总时间减少9分钟,同学累计等待时间为2３分钟,比随机生成面试顺序同学累计等待时间减少27分钟;面试官累计等待时间为2２分钟，比随机生成面试顺序面试官等待时间减少１8分钟。根据结论，我们可作出最优面试时间安排表如下:表4最优面试时间安排表第一阶段第二阶段第三阶段第四阶段第五阶段开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻面试者38:00８:10８:108:１88:１88：３28:3２8:4９8:４99:03面试者18:108：１98:198：3４８:３4８:5１8:5１9:029:０39：１5面试者５8:198:３68:36８:５18:５19：０69:06９:１29：159：2４面试者28:３68:５2８：52８:599：06９：159:159:２7９:2７9:３５面试者48:５29:039：039：０99:15９:２19:279：３49:3５9：41至此可知,这五位同学最早可于9:４1离开该面试公司。Ｂ．6个面试者进行５个阶段的面试;面试程序上,每个同学都必须从第一阶段面试开始,然后进行第二阶段面试,…,最后进行第5阶段的面试,并且在任何一个阶段5名同学的顺序是同样的。用Ｍaｔlａb随机生成面试时间矩阵即具体的面试时间如下表所示：表5B.具体面试时间表同学编号第一阶段第二阶段第三阶段第四阶段第五阶段1９612８7251６81７1838１７９１0１24147919１8591781915６1１13141918按照原始同学编号排序进行面试根据随机排列的顺序我们可计算出每个面试者的面试时间和等待时间，以及每阶段面试的面试官的等待时间，并作出时刻表分别如下:图9B.面试时刻(同学)图１0Ｂ．面试时刻(面试官)由图可知,整个面试过程共花费１42分钟，同学累计等待时间为7０分钟,面试官累计等待时间为47分钟。下面我们将应用所建模型求解,进行比较。按照模型排序进行面试根据以上所建模型，用Lingｏ软件运营(程序请见附录5)可得最优面试顺序为,部分结果如下图(详见附录６）:图１１B．Liｎgo软件部分运营图根据模型所得结果，我们可计算出每个面试者的面试时间和等待时间，以及每阶段面试的面试官的等待时间,并作出面试时间图分别如下:图1２B．面试时刻(同学）图13B.面试时刻(面试官)由图可知,整个面试过程共花费135分钟，比随机生成面试顺序得到总时间减少7分钟，同学累计等待时间为1１9分钟，比随机生成面试顺序同学累计等待时间增长4９分钟；面试官累计等待时间为1５分钟,比随机生成面试顺序面试官等待时间减少32分钟。根据结论,我们可作出面试时刻安排表如下：表6B.面试时刻安排表第一阶段第二阶段第三阶段第四阶段第五阶段开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻面试者28:00８:０５8:058:218:218:298:2９8：４68：469:0４面试者48:0５8：１98:2１8:288:2９８:３88:469:059:059:23面试者３8：1９８:２７８:2８8:458:45８:549:059:159：239:35面试者68:278:３88:４58:5８8:５89:129:１59:34９:359:53面试者5８:388：4７8:5８９:159：1５9：２39:349:５3９:５31０：08面试者1８:478:5６9:１59:219:２3９:3５9:５３10:01１0:0８1０:１５问题三建模和求解通过查阅大量的文献及数据,我们发现，当前大部分面试的组织实行过程中均存在着一些不科学、不公平、不合理的面试模式,一个常见的基本问题是如何紧凑、高效、省时地安排面试者按顺序完毕面试。科学有效地组织和安排无论对面试者还是对组织单位、用人单位都是省时省力、节略成本的。面试过程的安排无疑要根据面试者的基本情况、用人单位的规定与面试设立项目有直接关系。比较典型的情况是用人单位或组织单位设立了几个阶段的面试，参与面试的人员必须逐个完毕各个阶段的面试才干录取，此外由于面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间也有所不同。如何来合理有效地安排类似这种情况的一场面试以充足运用时间、节约双方成本，是现在面试过程面临的最重要的问题。通过问题一和问题二的建模我们很容易发现，假如在面试过程中规定面试者在所有面试完以后一起离开公司无疑是浪费面试者的时间,并且对于面试官来说,由于面试者必须按阶段面试，所以面试官在面试过程中也存在等待时间。为了节约双方的时间成本，我们基于问题一的结果，对面试过程进行了更科学、更公平、更合理的规划。基于问题一的结果，我们可以作出五个同学参与整个面试过程（涉及等待时间）的时间表,如下表所示表7同学面试时刻表到达时刻秘书面试等待时间副主管面试等待时间主管面试等待时间经理面试离开时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻开始时刻结束时刻同学48:008:008：080分钟8:08８:１8０分钟8：188:330分钟8:338:418：41同学18：088:088:210分钟8:21８:３60分钟８:368:560分钟8:５６9:019:01同学28:218:218:315分钟8:3６８:５６０分钟8:５６９：140分钟９:149:２09：20同学58：31８:３18:4５1１分钟８:569：0７7分钟9:149:220分钟9：229:３19:３１同学3８:458：4５９：052分钟９:０79:23０分钟９:23９：33０分钟９：339：４０９:４０由表7可以看出，当每个同学在自己面试的时刻到面试地点以及在结束面试之后就离开面试地点的话,同学４节约时间59分钟，同学１节约时间47分钟，同学２节约时间41分钟，同学5节约时间40分钟，同学3节约时间４5分钟，整体节约时间232分钟,即近４个小时,平均每人节约46分钟。并且，在他们等待面试过程中,假如他们知道自己下一阶段面试的开始时刻，就可以运用等待时间作为机动时间来做一些其他事情。对于面试官来说，由于面试者必须按阶段面试,所以面试官在面试过程中也存在等待时间，基于问题一的结论,我们可以作出关于面试官在面试过程中档待时间的图解如下：图１4面试官等待时间根据图１4,我们整理出了面试官的面试时间表如下：表8面试官工作时间表到达时刻离开时刻休息时间休息时间段秘书8:009:050分钟无副主管8：089:233分钟8:1８-8：21主管8:189：333分钟８：33-8：36经理8:339:40３2分钟8:41-8:5６，9:01－9:１4，9:２0-９：22,9：3１-９：３3根据上表我们可以看出，面试官在需要自己进行面试的时刻到面试地点以及在结束面试之后就离开面试地点的话,秘书可以节约时间３5分钟，副主管可以节约时间２５分钟，主管可以节约时间25分钟，经理可以节约时间3３分钟,整体节约时间118分钟,即近2小时，并且，在他们等待面试者的过程中,假如他们知道每名面试者的开始、结束时间，他们就可以合理运用等待时间进行休息或其他活动。由此分析可知，对于面试公司安排面试模式时,可以预算时间,根据本文模型进行面试者的排序，然后分别作出面试者与面试官的面试时刻表，从而告知面试者和面试官在指定面试时刻到达面试地点即可，还可以告知他们合适是休息时间，以此便建立了一个更加科学、公平、合理的面试模式，在此面试模式中,可以减少面试者与面试官更多的时间成本,而在节约下来的机会成本中,他们可以发明更多的价值。六、模型评价与推广1.模型的优点（1)优化模型中将面试时间最短转化为最后一名同学面试结束时刻最早,将复杂问题极大简化，增长模型的实用性和可靠性。（２）所建立的最短面试时间模型具有一般性,对任意给定的面试时间矩阵均可使用,并编写了求解最短面试时间的lingo程序，具有较大的应用价值。2.模型的局限性：模型均是建立在不可插队和顺序面试等特性下，也许不是全局最优。3.模型的推广:在这种模型可以应用于某工厂用n种原料通过s个阶段生产出不同的产品，并且是一种原料生产必须通过第一个阶段,然后通过第二个阶段直到第s个阶段才干生产出一种产品,并且一种原料在第ｋ个阶段生产的时候，其他原料不能进行第k个阶段的生产。原料i在j阶段生产的时间为c(i,j）i＝1到ｎ，ｊ＝1到s。问如何安排这n种原料的生产顺序?使这n种产品在最短的时间内生产出来七、参考文献[1］谭代伦,刘益，张世禄.多阶段有序面试问题的数学模型与算法研究[Ｊ].人类工效学,２０23.[2]王正林,刘明.精通MAＴLAB［Ｍ]．北京:电子工业出版社,２02３.[3]谢金星,薛毅.优化建模与ＬINDO/ＬIMＧO软件[M］.北京:清华大学出版社,2０23.附录1问题一模型的Linｇo程序Ｍodｅl:SEＴS：!Pｅｒsｏn=被面试者集合,Sｔagｅ＝面试阶段的集合;Ｐerson/1..５/；Ｓtagｅ／１．.４／;!Ｔ=已知的面试所需要的时间，X=面试开始时间;PXS(Pｅrson,Staｇe）：T，Ｘ；!Y（i,ｋ）=１:k排在i前，０：否则;PXP（Perｓon，Perｓon)|＆1#LT#&2:Y;ＥNＤSＥＴSＤＡTA：T=1３15２０51０２0１862０１610781015８141189;ＥNDDATA[obj］miｎ=MAＸT;!ＭAXT是面试的最后结束时间;MＡXＴ>=@mａx(ＰＸＳ(i,ｊ)|ｊ#EQ#@sizｅ(stage）：x（i,j)＋t(i,j));!只有参与完前一个阶段的面试后才干进入下一个阶段；＠ｆor(ＰXS（i,j)|j#LT#@sｉze（stage）:［ORDER］ｘ(i，ｊ)+t(ｉ,j)<ｘ(i,j+1));!同一时间只能面试１名同学;@for（Sｔage(j）:@ｆor（PXP(i，k):[SＯＲT1]ｘ(i,j)＋t(ｉ,j)-x(k,j)<MAXT*Y（ｉ,k))；@foｒ(PXP(i,k):[SORT2]x(ｋ,j)＋t（k，j)-x(i，j)<MAXT＊(1-Ｙ（i,k）)););@foｒ(PXP:＠ｂin(y));Ｅnd附录２问题一Lｉngｏ运营结果Loｃalopｔiｍalsolutionfoｕnd.Objecｔｉveｖａlｕe:１00.０000Objectiveｂｏund:1０0.0000Iｎfeａsｉbilities：0．０0０0０0Exteｎdeｄsｏlｖｅrｓteps:117Totalsolveriteratｉons:1１９43Ｅlapsedruntimｅsｅｃｏnｄｓ：５.４4ＭodelClａｓs:MINLPTｏtａlvariables:31Noｎlｉneａrvariabｌes:1６Integervariableｓ:１0Ｔotalcoｎsｔraｉｎts:97Nonlinearconstraiｎts:8１Totalnｏnｚerｏs:3５7Nonｌｉnearnonzｅｒoｓ:165VariaｂｌeValueRｅdｕceｄCｏstMAXT１00.000０0.000000T（１,1)１3.0０0００0.0000０0T（1,２)15.0０0000.0000０0T(１,3)20.000０00.000000T（１,4）5．００00000．00００00T(２,1）1０.0００00０.00０00０T(２，2）20．0000０0.00０000T（2，3）18.００0000.000００0T(2，4）6.0０0000０.000０00T(３,1)2０．00００00.0０0000Ｔ(3,２)１6.0０００00.０00０0０T(3,3)10.0000０0.0０0000T(3,4)7.0０0０００0．000000T(4,1)8．0０00000.００0000T(４,2)１０.000０００.０000０0T（4，3)１5.0０0０００．00０00０Ｔ(4,4)8．0000000．００000０T（５，1)14.000000.00０00０T(５,2）11.00０0０0.0００000T(５,３）８．000000０.0０00０0T(5,4)９.000０0０0．0０00０0X（1,1)8.000０000.0000００X（1，2）２１.000０0０.0000００X(1,3）3６.000000.０00000X(1,4)5６.000００0．000０00X（2,1)２3.000０00.０0０0００Ｘ(2,2)36．０0０0０0.000000X(2,３)56.000000．００0000X（2,４）74.０00000.000000Ｘ(3，1)４7.00０000．0０00０0X(3,2)67．0０0000.000000X(３,3)８3.000000.０0０000Ｘ(３,４)93.00000０.00000０X(4，1)0．００００000．999９960X(4,2)８.６0000０0．0０0000X(4,3)21.0０0０00.0０0000X(4，４)４8．0００000．0０0000Ｘ(5,1)33.00０000．0００000X(5,２)56.０0０000.000000X(５，3)74．000000.００0０００X(5,4)84.０000０0.000０0０Y（1，2)０．000０００-9９.999２0Y(1,３)0.００00000．00０000Ｙ（1,４)１．00０00099.99９20Ｙ(1,5)０.0000000.0０0０００Ｙ(2,3)0.00000０0.０000０0Y（2，4)1.000０００0.00０000Y(2,５)０.00000０-99.99920Y(3，４)1.0０0０0００.000000Y(3,５)１.0000009９.９99２０Y（4，5）０.000000０.000000RoｗSｌａckorSｕrｐｌuｓＤｕaｌＰriceOBJ100．０00０-1.0000０020.００0000-0.9９999６０OＲDER(１,1)0.０00０００0.99999６０OＲDＥＲ（1,2）０.００00000.000000OＲDEＲ(1,3)0.０000０00．00０000OＲDEＲ(2,1)3．000０000．０00000OＲDEＲ(2,2)0.０00０00０.0００0０0ORDEＲ（２,3)０．0０000００.0０0000ＯRDER（3,１）0．0000000．00000０ＯRＤER(３，2)0.０000000.9９９9９60ＯRDER（3,3)0.000０000.９９99９６0OＲDＥR(4,1)0．６0０00000.000000ORDER(4,2)２.４0000０0.000000OＲDER(4,3)1２.000００0.0００00０ORDER(5，１)9.０000000.0０0000ORＤEＲ(5,2)７.000０00０.０0000０ORＤEＲ(5，３)2.０000000．000０00SORT1(1,1,2)2.0000000.0０００00ＳＯRT１（1，1，３)26.000000.00000０ＳORT1(1,1，４）79.000000.000０00SORT1(1,1,5)１2．0000００．0００000SOＲT1(１,2，3)14.00000０.0０0０00SＯRT１(1,2,4)6７.０00００0.００000０SORT1(１，2，５)0．00００000.000000SOＲＴ１（1,3,４)33.000000.000000SORＴ1(1,3,５)66.00０00０.0０00０0ＳＯRＴ1(1,4,5）２5.０00000.0０0０00SORT2(1，1,２）７5.０00000.000000SOＲT2(1,1,3)41．0０000０．00００0０SORＴ2(１，1，4)０.0０00000．9999９６0SＯＲＴ2（1,1,5)6１.００000０．0000０0SORT2(1，2,3)５６.０00000.０00000SORT２(1,２,4)15.000000.00００0０SORT2(1，2,5)76.０0０000．000000ＳＯRＴ２(1,3,４）3９.00０0０0.0000０0SORＴ2(1,3，5)0．０00000０．000000SORT2(1,4，5)53.００0０00．0０0０00SORT１（2,1，2)0．００0０000.9999960SＯRT1（2，１,3）31.000000．000０00SＯRＴ1(2,１,4)７2.600000.0000０0SＯRＴ1（2,1,5)２0.00００00.0000００SOＲT１（2,2,3)１１.0000０0．00０000ＳＯRT1(2,2,4)５2.６000０0．0０0000ＳORT1（2,2，５)0．000０000.999996０SORＴ1（２,3,4）２5．６0000０.000000SORT１(２，3,5)73.000000.０00０００SORT１（２，４,5)37.４00０00.０000００SＯRT2(2,1，2）６5.０000０0.0００00０SＯRT2(２，1,3)3８．000000．0000０0SＯＲT2(２,１，４)2.4０0000０.000000SORＴ２(２，1,5)54.000０0０.0０0０00SOＲＴ２(2,2,3)53.00０００0.000００0SORT2（2，2,4)１7.４000０0.0０0000SＯRT2(２，2,5）6９.００0０0０.00０000SORT2(２，3,4)48.４000０0．000０0０SＯRT2(２，3,５)0.0００0000．9９99960ＳORT2(２,4,５）41.６００000.000００0ＳOＲT1(3，1,2）０.000０0０0.０00000ＳＯRT1(3，1，3)27.00000０.００００0０SORＴ１(3,1,４)65.00000０.000000ＳORＴ1(3，1，5)18.0０00０0．0０0000ＳORT1(3,2,3）9.０00００00.００0000SOＲT1(３，2,4)47.00０000.０00000SＯRT1(3,2,5)0.00000０0.0００00０SORT1(３,３，4)２8.0００0０0.000０00SORT1(3，3，5）８1．000000．000000SORT１(3,4,5)3８.０0０0０0.０00０00ＳORT２(３,1,2)62.0000０0.000000SＯRT2(3，１，3）4３.0００0０0.000000SORＴ2(3，1,4)０.000０0０0．000００0SＯRＴ2(3,1，５）54.00000０.00０00０SOＲＴ2(3,2,3)63.00000０．０0０000SORT2(3，2,4）20．０000０0.０0０0０0ＳOＲT2(3，2,5)74．０00000.000０00SOＲT2(3,3,４)４7.００0000.00０000ＳORT2（３,3，5)1.00０0０00.000000SORT2(3,４,5)3９.0０00０0.0０0000ＳORT1(４，１,２)13.００00０0.００0０0０ＳORT１(4,1,3）32.0000００．0000０0SORＴ1(4,1,4)87．000000.000000SORT1(４,１,５)23.０0000０.００000０SORT1(4，２，3)13．000０0０．０00000ＳＯＲT1(4，2,4)６8.０0０000.0０0000SＯRT1(4,2,5)4.00000０0.000０00SORT1(4,3,4)4８.000000.000000SORT1(4,3,5)８4.０00000．００0000ＳORT1（4，4,５)28.０0０000.000000SORＴ2（4，1,2）76.0000０0．０00000SORＴ2（4,1，3）5６.000０00.０00０00ＳＯRT２(4,1,4)０.00０00００．０0000０SＯRT2(４,1，５）６3.000000．00０000ＳORT2（4,２,３）７４.000000.０00000SＯRT2(4,2，４)18.000000.０00000ＳORT2（4,2,5)8１．0００000.００0000SＯRT2(4,3，4)３7．000０00.０00000SＯRT2(4,3，5)0.00０0000.000000SORT2(4,4,5）5５．０0０000．0００0０0附录3问题二A的Ｌinｇｏ程序Moｄｅl:SETＳ:!Person=被面试者集合,Stage＝面试阶段的集合；Person/1..5/；Stagｅ/1.．5/;!T＝已知的面试所需要的时间，X＝面试开始时间;PXＳ（Pｅrson，Ｓtage):T,X；!Y(i，k)=１:ｋ排在i前，0:否则；ＰXＰ(Ｐersoｎ,Ｐerｓｏｎ）|&１#LT#&２:Y；EＮＤSＥTSＤAＴA:T=９15171１121６791２81081４171411６6７６１715156９;ENDDAＴA[oｂj]mｉｎ=MＡXT;！MAＸT是面试的最后结束时间；MAXT>=@ｍａx(PXＳ(ｉ,ｊ)｜j#EQ#@ｓiｚe(staｇe):x(i,ｊ）+t(i,ｊ)）;!只有参与完前一个阶段的面试后才干进入下一个阶段;@for(ＰＸS(i,j）|j#LT#@size(ｓtage)：[OＲDER］ｘ（i,ｊ)＋t(ｉ,j)<x(i，j+1));！同一时间只能面试１名同学;@ｆor(Ｓtaｇｅ(j):＠fｏr（PXＰ（i，k):[SOＲT1]x(i，ｊ）+ｔ(i,j)-x（k,j)<MAXT*Y(ｉ,k）);@for(PＸP(i,ｋ):[ＳＯＲT2]ｘ(k,j）＋t(k,j)－x（i,j)＜MＡXT*(1-Y（i,ｋ))）;);＠foｒ(ＰXP:@biｎ(ｙ));Eｎｄ附录4问题二A.Liｎgo运营结果Lｏｃaloｐtｉｍalsolutｉonfound.Objｅｃtivｅｖalｕe:１01.0000Obｊectivｅｂound:10１.0000Infeasibiｌitｉeｓ:０.０000００Eｘtｅnｄedｓolveｒstｅps：５7Ｔｏtalｓolvｅriｔeraｔionｓ：77０7Elａpｓedｒuntiｍeseconｄs:9.6１MｏdｅlClass:ＭINLPTｏtaｌｖarｉａｂｌes:3６Nｏnlinearｖarｉaｂlｅs:1６Integervarｉaｂlｅs:1０Toｔalcｏnstraｉnts:１22Nonliｎeaｒｃｏnｓtｒaｉnts:1０１Toｔalｎoｎzeroｓ:44７Noｎｌｉneａrnonｚerｏｓ:205VａrｉablｅVaｌｕeReｄuceｄCostＭＡＸT1０１．0０0０0．00００00T(1，1）９.０00００00.000０00Ｔ（１,２)