概率论与数理统计11

概率论与数理统计主讲：李健，工北408-1地点：讲堂四时间：双周二89，周四89成绩评定规则：平时作业10%

课堂表现，研讨10%

期中考试20%

期末考试60%考核方式概率统计是研究随机现象数量规律的数学学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速.目前,不仅高等学校各专业都开设了这门课程,而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门重要课程.1、重要的专业基础课：跟通信、信号处理，自动控制和数据处理有关的课程都要用到概率论。2、考研的重要内容：考研的数学试卷150分，其中概率论与数理统计内容约40分。3、今后工作的重要工具：工作中遇到的大量问题，要用数理统计的方法去处理。学习《概率论与数理统计》的意义国内有关经典著作1.《概率论基础及其应用》

王梓坤著科学出版社1976年版2.《数理统计引论》陈希儒著科学出版社1981年版国外有关经典著作1.《概率论的分析理论》P.-S.拉普拉斯著

1812年版2.《统计学数学方法》H.克拉默著1946年版概率论的最早著作数理统计最早著作概率统计专业首位中科院院士本学科的概述

概率(或然率或几率)——随机事件出现的可能性的量度——其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”(即得分问题).概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学分支学科.对客观世界中随机现象的分析产生了概率论；使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家JocobBernoulli；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后.第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科.统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系.本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.例如1.气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与《概率论》紧密相关；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到《假设检验》；4.电子系统的设计,火箭卫星的研制及其发射都离不开《可靠性估计》;

3.寻求最佳生产方案要进行《实验设计》和《数据处理》；5.处理通信问题,需要研究《信息论》；6.探讨太阳黑子的变化规律时,《时间序列分析》方法非常有用;7.研究化学反应的时变率，要以《马尔可夫过程》来描述;8.生物学中研究群体的增长问题时，提出了生灭型《随机模型》，传染病流行问题要用到多变量非线性《生灭过程》；9.许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知识就是《排队论》.目前,概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展.在社会科学领域,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用《概率统计方法》.法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为.安德雷·柯尔莫哥洛夫（1903－1987）现代概率论创始人——

1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德等国的外籍院士及皇家学会会员.为20世纪最有影响的俄国数学家.俄国数学家柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡献.他建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础.他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括:20年代关于强大数定律、重对数律的基本工作;1933年在《概率论的基本概念》一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题)30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程;用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论;40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与遍历理论K系统;50年代中期开创了研究函数特征的信息论方法,他的工作及随后阿诺尔德的工作解决并深化了希尔伯特第13问题——用较少变量的函数表示较多变量的函数;60年代后又创立了信息算法理论;1980年由于它在调和分析,概率论,遍历理论及动力系统方面出色的工作获沃尔夫奖;他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括盖尔范德,

阿诺尔德,西奈依等人.他还非常重视基础教育,亲自领导了中学数学教科书的编写工作.JianLiXiangdongYeAnatolyMikhailovichStepinFelixAleksandrovichBerezinIsrailMoiseivichGelfandAndreiNikolayevichKolmogorov来源：http:///id.php?id=166541课程结构概率论数理统计随机过程基本概念与古典概率一维随机变量二维随机变量随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理数理统计基本概念参数估计假设检验方差分析回归分析非参数检验确定性现象随机现象——

每次试验前不能预言出现什么结果每次试验后出现的结果不止一个在相同的条件下进行大量观察或试验时，出现的结果有一定的规律性

——称之为统计规律性

第一章概率论的基本概念1.随机试验对某事物特征进行观察,统称试验.

基本术语

若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示可在相同的条件下重复进行试验结果不止一个,但能明确所有的结果试验前不能预知出现哪种结果样本空间——随机试验E所有可能的结果组成的集合称为样本空间记为样本空间的元素,即E

的直接结果,称为随机事件

——的子集,记为A,B,…它是满足某些条件的样本点所组成的集合.样本点(or基本事件)

常记为，={}2.样本空间和随机事件其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度观察某地区每天的最高温度与最低温度观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间投一枚硬币3次，观察正面出现的次数例1给出一组随机试验及相应的样本空间基本事件

——

仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.

必然事件——全体样本点组成的事件,记为,每次试验必定发生的事件.随机事件发生

——组成随机事件的一个样本点发生不可能事件——不包含任何样本点的事件,记为,每次试验必定不发生的事件.A

随机事件的关系和运算类似于集合的关系和运算

事件的关系和运算维恩图(Venndiagram)——

A

包含于B事件A发生必导致事件B

发生AB且1.事件的包含2.事件的相等或

事件A与事件B

至少有一个发生发生的和事件——

的和事件——

——

A

与B

的和事件3.事件的并(和)

或事件A与事件B

同时发生发生的积事件

——

的积事件——

——

A

与B

的积事件

4.事件的交(积)发生事件

A发生，但

事件B不发生

——

A

与B

的差事件5.事件的差——

A

与B

互斥A、

B不可能同时发生AB两两互斥两两互斥6.事件的互斥(互不相容)——

A

与B

互相对立每次试验A、

B中有且只有一个发生A称B

为A的对立事件(or逆事件)，记为注意：“A

与B

互相对立”与“A

与B

互斥”是不同的概念7.事件的对立8.完备事件组若两两互斥，且则称为完备事件组或称为的一个划分

吸收律

幂等律

差化积

重余律运算律对应事件运算集合运算

交换律

结合律

分配律

反演律运算顺序：逆交并差，括号优先B

CABA

CA

分配律

图示