直线和面的投影3

第三章

点、直线和平面的投影1

将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂直，进而确定主视图的投影方向整体和局部都要符合三视图的投影规律可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用线绘制，当虚线与实线重合时画实线特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系4、三视图的绘制2●●aaax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a●●aaaxazaz解法一:通过作45°线使aaz=aax解法二:用分规直接量取aaz=aaxa●3特殊位置点：4

d’

d

e

e’

f’

f’’

e’’

f

d’’zxYW

YH0例：已知点的两投影，求其第三投影

d

a

a’

a’’5各种位置点的投影空间点点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其三个投影都不在投影轴上。投影面上的点

点的某一个坐标为零，其一个投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影轴上。投影轴上的点

点的两个坐标为零，其两个投影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点

点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。

6四、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x坐标值大的在左

▲y坐标值大的在前▲

z坐标值大的在上B点在A点之前、之右、之下。baa

abb●●●●●●XYHYWZ7

已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求A点的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

9858两点左右位置关系，Ｘ大者在左方。两点的上下位置关系，Ｚ大者在上方。两点前后位置关系，Ｙ大在前方。两点的相对位置的判定方法9重影点：10重影点及可见性判别若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。重影点在三对坐标值中，必定有两对相等。从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。112.3直线的投影投影面平行线平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线投影面垂直线垂直于一个投影，平行于另二个投影面的直线一般位置直线倾斜于三个投影面的直线。直线相对投影面的种类12

两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●aaabbb●●●●●●131、投影面平行线水平线正平线侧平线14baababbaabba①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβbaaabb152、投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线16反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)173、一般位置直线18投影特性：三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。abbaba19二、直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线(∥)投影面垂直线(⊥)正平线（平行于Ｖ面）H面反映实形侧平线（平行于Ｗ面）W面反映实形

水平线（平行于Ｈ面）H面反映实形一般位置直线(∠)与三个投影面都倾斜的直线,具有类似性侧垂线（垂直于Ｗ面）W面积聚为点正垂线（垂直于V面）W面积聚为点铅垂线（垂直于H面）W面积聚为点20正平线

(1)a＇b＇=AB,反映α、γ角

(2)ab//OX轴,a"b"//OZ轴

水平线

(1)cd=CD,反映β、γ角

(2)c＇d＇//OX轴,c"d"//OYW轴

投影面平行线的投影特性

21侧平线(1)e"f"=EF,反映α、β角(2)e＇f＇//OZ轴，ef//OYH轴

投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短22名称

轴测图投影图投影特性正垂线

(1)a＇b＇'积聚成一点

(2)ab垂直OX轴，

a"b"垂直OZ轴，

ab=a"b"=AB

铅垂线

(1)cd积聚成一点(2)c＇d＇垂直OX轴，

c"d"垂直OYW轴，

c＇d＇=c"d"=CD

投影面垂直线的投影特性

23侧垂线

(1)e"f"积聚成一点(2)e＇f＇垂直OZ轴，

ef垂直OYH轴，

e＇f＇=ef=EF

投影面垂直线的投影特性：

1.直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚成一点

2.直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长

24|zA-zB

|ABABbbaaCXO1）求直线的实长及对水平投影面的夹角角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab25ABbbaaCXO2）求直线的实长及对正面投影面的夹角

角|YA-YB|aXabbabABABab|YA-YB||YA-YB|AB|YA-YB|26XZYO3）求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角ABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB||XA-XB|27已知线段的实长AB，求它的水平投影。a|zA-zB|abab|yA-yB|ABAB|zA-zB|bXabAB282.4直线与点及两直线的相对位置一、直线与点的相对位置29

若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：

若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。点在直线上的判别方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理30直线上的点具有两个特性：

1从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。

2定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=ac:

cb=ac

:

cb

ABbbaaXOccCc31点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abcabc①c②abcab●点C在直线AB上投影点在同名投影线上也符合定比定律32例2：判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在a

b上，故点K不在AB上。应用定比定理abkabk●●另一判断法?

a’k’/k’b≠ak/kb33例题3已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHV用定比定律34bbXaaBC例题4已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC

的实长等于已知长度L。cLABzA-zBcab35二、两直线的相对位置平行相交交叉垂直相交36⒈两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbda37abcdcabd例1：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①38bdcacbaddbac对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断？39HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉两直线相交判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点40●●cabbacdkkd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影41dbaabcdc’1(2)3(4)⒊两直线交叉★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。12●●3

4●●两直线相交吗？42例题判断两直线的相对位置baacddcbX11d1c1两直线交叉43判断两直线重影点的可见性XOBDACbbaaccdd(3)41(2)43341212判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。44例题判断两直线重影点的可见性bbcddcXaa3(4)34121(2)454、两直线垂直相交（或垂直交叉）

若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。设直角边BC//H面因BC⊥AB,同时BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直线在H面上的投影互相垂直即∠abc为直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHacbabc.证明：46dabcabc●●d例：过C点作直线与AB垂直相交。AB为正平线,正面投影反映直角。.47eee'e'c'c'例已知直线AB的两面投影和C点的水平投影,试过C点作一条直线CE垂直于AB,求直线CE的两面投影。cbab'a'OX48小结★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。★点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。★定比定理。★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。重点掌握：49一、各种位置直线的投影特性⒈一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。⒉投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。⒊投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。50二、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。三、两直线的相对位置⒈平行⒉相交⒊交叉（异面）同名投影互相平行。同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。512.5平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcabc不在同一直线上的三个点●●●●●●abcabc直线及线外一点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线●●●●●●abcabc平面图形1、用几何元素表示平面522、平面的迹线表示法53VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ54平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----真实性★

平面垂直投影面-----积聚性★平面倾斜投影面-----类似性⒈平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影特性55⒉平面在三投影面体系中的投影特性投影面垂直面投影面平行面一般位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面561）投影面垂直面铅垂面正垂面侧垂面57VWHPPH铅垂面投影特性：1、abc积聚为一条线2、abc、abc为ABC的类似形3、abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小

ABCacbababbaccc58VWHQQV正垂面投影特性：1、abc积聚为一条线2、abc、abcABC的类似形3、abc与OX、OZ的夹角反映α、角的真实大小

αababbacccAcCabB59VWHSWS侧垂面投影特性：1、abc积聚为一条线2、abc、abc为

ABC的类似形3、abc与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小

CabABcabbbaaαβccc60abcacbcba类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。γβ是什么位置的平面？612）投影面平行面水平面正平面侧平面62VWH水平面投影特性：

1、abc、abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性

2、水平投影abc反映

ABC实形

CABabcbacabccabbbaacc63正平面VWH投影特性：

1、abc

、abc积聚为一条线，具有积聚性

2、正平面投影abc反映

ABC实形

cabbacbcabacabcbcaCBA64投影特性：

1、abc

、abc积聚为一条线，具有积聚性

2、侧平面投影abc

反映

ABC实形

侧平面VWHabbbacccabcbacabcCABa65abcabcabc积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。663）一般位置平面67一般位置平面投影特性

1、abc、abc

、abc均为ABC的类似形

2、不反映、、

的真实角度

abcbacababbaccbacCAB68判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。⒈平面上取任意直线三、平面上的直线和点6970abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有多少解？有无数解。71例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。nmnm10cabcab唯一解！有多少解？72⒉平面上取点73先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①accakb●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abca’bkcdk●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解74例题2

已知

ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。ddabcabcee75bckadadbcadadbckbc例3：已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。解法一解法二763、平面上的投影面平行线一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。7778abcbac例题已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。mnnm79例：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下15mm、在点A之前20mm处。802.6圆的投影圆的投影特性：1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；812.7直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题

直线与平面平行平面与平面平行⒈直线与平面平行定理：若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。82n●●acbmabcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？83正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面

ABC。c●●bamabcmn唯一解n84例题3试判断直线AB是否平行于定平面fgfgbaabcededc结论：直线AB不平行于定平面85⒉两平面平行①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef86例题1试判断两平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行87例题2已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkk88二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。8990abcmncnbam⑴平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。k●1(2)作图k●●2●1●9192km(n)b●mncbaac⑵直线为特殊位置空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。1(2)k●2●1●●作图用面上取点法93⒉两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①求两平面的交线方法：只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。94可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●如何判别？例：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴9596bcfhaeabcefh1(2)空间及投影分析平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m、bc与fh的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作图m●●n●2●n●m●1●⑵97cdefababcdef⑶投影分析

N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n●m●k●m●k●互交98

小结

重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的两组相交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线。解题思路：★空间及投影分析

目的是找出交点或交线的已知投影。★判别可见性尤其是如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，尤其是特殊