D3-4单调性极值与最值

第四节一、函数单调性的判定法机动目录上页下页返回结束二、函数的极值及其求法函数的单调性与极值

第三章三、最大值与最小值问题观察机动目录上页下页返回结束能否用导数的符号来判断函数的单调性?问一、函数单调性的判定法机动目录上页下页返回结束定理证例1.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为机动目录上页下页返回结束说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,机动目录上页下页返回结束说明:机动目录上页下页返回结束讨论函数单调性的步骤:P131例2.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且证证明目录上页下页返回结束例3：证明令则从而即证明思考与练习上则或的大小顺序是()提示:

利用单调增加,及B1.

设在机动目录上页下页返回结束二、函数的极值定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点

,称为函数的极小值

.极大值点与极小值点统称为极值点

.注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或

不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如为极大点,是极大值是极小值为极小点,定理2

(第一充分条件)且在空心邻域内有导数,(1)(2)(3)自证例4.

求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为定理3(第二充分条件)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一充分条件知(2)类似可证.例5.

求函数的极值.解:

1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.定理4

(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.证:利用在点的泰勒公式,可得例如

,

例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理2~

定理4)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理2~定理4的条件.机动目录上页下页返回结束例6：机动目录上页下页返回结束解:所以是原方程所确定函数的极小值点三、函数的最值则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)

最大值最小值例7.

求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:

显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.机动目录上页下页返回结束因此也可通过例7.

求函数说明:求最值点.与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.机动目录上页下页返回结束情形1:

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)(小)

当在一个区间(有限或无穷,开或闭)内可导且只有一个驻点且是的极值点,情形2:

对应用问题,有时可根据实际意义判别可导函数确有最大(小)值,且一定在定义区间内取得.这时如果在定义区间内部只有一个驻点可断定是最大值或最小值.例8.

做半径为R的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时其体积最小，最小值是多少？解:

球的外切正圆锥如图，设圆锥底半径为r，高为h,其体积为Rrh例11.一顶角为解:

设t时刻水深为h(t),(如图）水面上升得最快，的正圆锥形容器，顶在下，底面处在水平位置，里面有b升水，从某一时刻开始往容器中注水，从开始经过t秒，注入的水量为升，（a,b为正常数），问何时水面上升的速度最快？h(t)t时刻容器内水的体积内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广(Th.4)定理3目录上页下页返回结束最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.

设则在点a

处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:

利用极限的保号性.机动目录上页下页返回结束2.

设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:

利用极限的保号性.机动目录上页下页返回结束3.

设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A机动目录上页下页返