幕指对函数模型增长的差异性

幕指对函数模型增长的差异性第一页，共二十二页，2022年，8月28日问题提出

1.指数函数y=ax(a>1)，对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间（0，+∞）上的单调性如何？

2.利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？第二页，共二十二页，2022年，8月28日探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异

对于函数模型：y=2x,y=x2,y=log2x,

其中x>0.思考1:观察三个函数的自变量与函数值对应表,这三个函数增长的快慢情况如何？

第三页，共二十二页，2022年，8月28日xY=2xY=x21.1490.61.01.80.041.5160.36Y=log2x-2.322212.64.84910.5666.06311.5686.761.962.21.40.22.6393.4824.5953.43.243.01.766-0.73700.4850.8481.1381.3791.585第四页，共二十二页，2022年，8月28日xyo1124y=2xy=x2y=log2x都是增函数但增长速度不同第五页，共二十二页，2022年，8月28日x012345678y=2x1248163264128256y=x201491625364964思考2:对于函数模型y=2x和y=x2，观察下列自变量与函数值对应表：

当x>0时，你估计函数y=2x和y=x2的图象共有几个交点？第六页，共二十二页，2022年，8月28日思考:根据图象，不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的x的取值范围分别如何？思考:上述不等式表明，这三个函数模型增长的快慢情况如何？xyo1124y=2xy=x2y=log2x第七页，共二十二页，2022年，8月28日

11.10E+12xY=2xY=x20102016009001004001.05E+06102401.15E13E+1525001.07E+0930 40506070 1.18E+21第八页，共二十二页，2022年，8月28日

随着X的增大，函数Y=X2与函数Y=2X的增长速度相比较，几乎微不足道，所谓“指数爆炸”，真是名副其实；而Y=log2X增长速度越来越慢，最后图像几乎与X轴平行。由教材P100图3.2-6及上表可知：第九页，共二十二页，2022年，8月28日探究（二）：一般幂、指、对函数模型的差异思考1:对任意给定的a>1和n>0，在区间(0,+∞)上ax是否恒大于xn?ax是否恒小于xn?思考2:当a>1，n>0时，在区间(0,+∞)上,ax与xn的大小关系应如何阐述？第十页，共二十二页，2022年，8月28日思考3:随着x的增大,ax增长速度的快慢程度如何变化?xn增长速度的快慢程度如何变化？思考4:当x充分大时,ax(a>1)与xn(n>0)谁的增长速度相对较快？ax越来越快，xn增长速度可能越快或越慢ax的增长速度远远快于xn的增长速度第十一页，共二十二页，2022年，8月28日思考5:一般地，指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况是如何变化的？

一般地，在区间（0,+∞）上，无论n比a大多少，尽管在x一定的变化范围内，ax

会小于xn

但由于ax的增长速度快于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会有ax>xn第十二页，共二十二页，2022年，8月28日思考4:对任意给定的a>1和n>0，在区间(0,+∞)上,logax是否恒大于xn?logax是否恒小于xn?（图）思考5:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如何变化?xn增长速度的快慢程度如何变化？思考6:当x充分大时,logax(a>1)与xn(n>0)谁的增长速度相对较快？第十三页，共二十二页，2022年，8月28日思考7:一般地，对数函数=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况如何是如何变化的？xyo1y=logaxy=xn第十四页，共二十二页，2022年，8月28日一般地，在区间（0,+∞）上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐与x轴平行，尽管在x一定的变化范围内，logax可能会大于xn

但由于logax的增长速度慢于xn的增长，因此总存在一个x0,当x>x0时，就会有logax

<xn第十五页，共二十二页，2022年，8月28日小结：对于指数函数y=ax(a>1)，对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，随着X的增大，指数函数的增长速度越来越快，远远大于幂函数的增长速度，对数函数的增长速度越来越慢，远远小于幂函数的增长速度。即总存在一个x0，使x>x0时，

ax,logax,xn三者的大小为

ax>xn>logax,第十六页，共二十二页，2022年，8月28日思考9:

指数函数y=ax

(0<a<1)，对数函数y=logax(0<a<1)和幂函数y=xn(n<0),在区间(0,+∞)上衰减的快慢情况如何？随着X的增大，对数函数的衰减速度越来越快，远远大于指数函数的衰减速度，幂函数的衰减速度越来越慢，远远小于指数函数的衰减速度，即必有：当x>x0时,,xn>

ax

>logax第十七页，共二十二页，2022年，8月28日xyo1y=axy=xny=logaX

第十八页，共二十二页，2022年，8月28日理论迁移

例在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(°C)随着时间t(分钟)的变化情况，由微机处理后显示出如下图象，下面的哪些说法是正确的？yot5101、前4分钟温度增加的速度越来越快2、前4分钟温度增加的速度越来越慢3、4分钟后温度保持匀速增加。4、4分钟后温度保持不变。2与4对第十九页，共二十二页，2022年，8月28日对于指数函数y=ax(a>1)，对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，随着X的增大，