ch3-模糊控制系统

1第三章模糊控制系统(FuzzyLogicControl)2主要内容3.2模糊集合与模糊推理3.3模糊控制3.1概述3

模糊控制在一定程度上模仿了人的控制，它不需要准确的控制对象模型，因此它是一种智能控制的方法。3.1概述4生活中，经常听到这样的话“他很高”、“他很年轻”、“数量很大”、“温度偏高”等等，其中的“高”、“年轻”、“很大”、“偏高”都是模糊的概念。5

如何描述模糊的概念，并对它们进行分析、推理，正是模糊集合与模糊数学所要解决的问题。Zadeh提出的模糊集合的概念，突破了19世纪德国数学家康拓创立的经典集合论中属于或不属于的绝对关系。这一开创性的工作，标志着数学的一个新的分支——模糊数学的诞生。6

模糊集合是一种特别定义的集合，它可用来描述模糊现象。有关模糊集合、模糊逻辑等的数学理论，称之为模糊数学。7

模糊性也是一种不确定性，但它不同于随机性，所以模糊理论不同于概率论。

模糊性通常是指对概念的定义以及语言意义的理解上的不确定性。主要是人为的主观理解上的不确定性。

随机性主要反映的是客观上的自然的不确定性，或者是事件发生的偶然性。8

模糊数学是研究模糊现象的，概率论是研究随机现象的，两者都属于不确定性数学。但不可认为模糊数学是模糊的概念，它是完完全全精确的，是借助定量的方法研究模糊现象的工具。9

模糊集合理论，是对复杂系统或过程建立一种语言分析的数学模式，使自然语言能直接转化为计算机所能够接受的算法语言。于是，模糊控制应运而生。101965年Zadeh首先提出了模糊集合的概念,由此开创了模糊数学及其应用的新纪元。1974年英国教授马丹尼(E.H.Mamdani)首先将模糊集合理论应用于加热器的控制，其后产生了很多模糊控制的应用。11

在模糊控制的应用方面，日本走在了前列。日本率先将模糊控制应用到日用家电产品的控制，如照相机、吸尘器、洗衣机等。在日本，模糊控制的应用已经相当普及。12

模糊控制理论具有一些明显的特点：（1）模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控制是以人对被控对象的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被控对象的数学模型。（2）模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。13

（3）模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心是控制规则，模糊规则是用语言来表示的，如“今天气温高，则今天天气暖和”，易于被一般人所接受。（4）构造容易。模糊控制规则易于软件实现。（5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。14主要内容3.2模糊集合与模糊推理3.3模糊控制3.1概述15一、模糊集合的概念与运算二、模糊集合的隶属函数三、模糊关系及其运算四、模糊推理3.2模糊集合与模糊推理161.模糊集合的概念一、模糊集合的概念与运算[例3.1]到苹果园去摘“大苹果”，这里“大苹果”就是一个模糊的概念。如果将“大苹果”看作是一个集合，那么“大苹果”就是一个模糊集合。如果认为比2两重的苹果称为“大苹果”，

2.5两的苹果毫无疑问地属于“大苹果”，对此加以量化，可设其属于的程度为1。

2.1两的苹果属于“大苹果”的程度假如为0.7；

2两的苹果属于的程度为0.5；

1.9两的苹果属于的程度为0.3等等。17

以后称属于的程度为隶属度函数，其值可在0~1之间连续变化。可见，隶属度函数反映了模糊集合中的元素属于该集合的程度。

若模糊集合“大苹果”用A表示，隶属度函数用μ表示。A中的元素用x表示，则便表示x属于A的隶属度，对于前面的例子可写为：18[例3.2]设论域U={张三，李四，王五}，评语为“学习好”。设三个人学习成绩总评分是张三得95分，李四得90分，王五得85分，三人都学习好，但又有差异。若采用普通集合的观点，选取特征函数19

此时特征函数分别为(张三)=1，(李四)=1，(王五)=1。这样就反映不出三者的差异。假若采用模糊子集的概念，选取[0，1]区间上的隶属度来表示它们属于“学习好”模糊子集A的程度，就能够反映出三人的差异。20

采用隶属函数，由三人的成绩可知三人“学习好”的隶属度为(张三)=0.95，(李四)=0.90，(王五)=0.85。用“学习好”这一模糊子集A可表示为：

其含义为张三、李四、王五属于“学习好”的程度分别是0.95，0.90，0.85。21设给定论域U,U到[0,1]闭区间的任一映射

都确定U的一个模糊子集A,映射

称为μ对于A的隶属度。

模糊子集的定义22

支集支集截集23

截集设A∈U,0≤λ≤1①②称Aλ为A的λ截集，λ称为置信水平。称Aλ为A的λ强截集，也称为开截集。24

凸模糊集

设A为论域U上的模糊集（U由全体实数组成），A的隶属函数为μA(x)，若对任意实数a<x<b都有μA(x)≥

min[μA(a)，μA(b)]，则称A为凸模糊集。25①若A和B都是凸模糊集，则A∩B也是凸模糊集。②凸模糊集的截集必定是区间，截集均为区间的模糊集必为凸模糊集。

由此可以看出，凸模糊集实质上就是隶属函数具有单峰特性。凸模糊集具有以下性质：262.模糊集合的表达方式Zadeh表示法

1）当U为有限集{u1,u2,…,un}时，有以下几种表达方式。

27式中“+”号——在论域U上，组成模糊集合A的全体元素ui(i=1,2,...,n)间排序与整体间的关系。

A(ui)/ui——并不表示“分数”，而是表示将各项汇总所形成的模糊集合在论域U上的整体。28

序偶表示法

若将论域U中的元素ui与其对应的隶属度值组成序偶也可将A表示为29

向量表示法

若单独地将论域U中所对应的元素ui(i=1,2,…,n)隶属度值,由按序写成的向量形式来表示模糊子集A，则可以是注意，在向量表示法中隶属度为0的项不能省略，必须依次写。30

例：设U={x1,x2,x3,x4,x5},xi表示同学，对每位同学的学习刻苦程度在[0，1]间打分，便得到了从U到[0，1]的映射，记A=“学习刻苦”。

A(x1)=0.3,A(x2)=0.55,A(x3)=0.7,A(x4)=0.4,A(x5)=0.931用序偶表示法表示为用向量表示法表示为用Zadeh法表示为32

隶属函数解析式表示法

以年龄为论域，取x=[0,100]。Zadeh给出了“年轻”的模糊集Y，其隶属函数为33

2）当U是有限连续域时，Zadeh给出如下记法

式中，“∫”不表示“积分”，也不是“求和”记号，而是表示论域U上的元素u与隶属度uA(u)对应关系的一个总括。343.模糊集合的运算

模糊集合的基本运算

（1）空集模糊集合的空集为普通集，它的隶属度为0，即

（2）全集模糊集合的全集为普通集，它的隶属度为1，即35

（3）等集两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的隶属函数相等，则A和B也相等。即

（4）子集若B为A的子集，则

例如，设A为“成绩好”的模糊集，某学生属于“成绩好”的隶属度为：则属于“成绩差”的隶属度为：（5）补集为A的补集，则37

（6）并集若C为A和B的并集，则C=A∪B

（7）交集若C为A和B的交集，则C=A∩B3839

[例3.3]

设x={1,2,3}上有两个模糊子集为A=1/1+0.8/2+0.6/3B=0.3/1+0.5/2+0.7/3则A∪

B、A∩

B、A∪B=1/1+0.8/2+0.7/3A∩B=0.3/1+0.5/2+0.6/3

=0/1+0.2/2+0.4/3=0.7/1+0.5/2+0.3/340

模糊集合运算的基本性质1．幂等律

A∪A=A，A∩A=A2．交换律

A∪B=B∪A，A∩B=B∩A3．结合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)414．吸收律

A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A5．分配律

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6．复原律427．对偶律8．两极律

A∪E=E，A∩E=AA∪Ф=A，A∩Ф=Ф43

[例3.4]

设论域u中模糊子集A1=0.1/u1+0.2/u2+0.7/u3,A2=0.3/u1+0.4/u2+0/u3,A3=0/u1+0.1/u2+0.5/u3求S=A1∩A2∩A3和T=(A1∪A2)∩(A3)4445

[例3.5]试证普通集合中的互补律在模糊集合中不成立，即证：设，则46

模糊子集的代数运算代数积：A·B的隶属函数为μA·B

μA·B=μA·μB代数和：A+B的隶属函数为μA+B47环和：的隶属函数为差集：对称差：A

B=(A-B)∪(B-A)常数乘模糊集合λ·A:μλ·A（u)=λ∧

μA(u)48一、模糊集合的概念与运算二、模糊集合的隶属函数三、模糊关系及其运算四、模糊推理3.2模糊集合与模糊推理49Matlab中已经开发出了11种隶属函数，即双S形隶属函数、联合高斯型隶属函数、高斯型隶属函数、广义钟形隶属函数、II型隶属函数、双S形乘积隶属函数、S状隶属函数、S形隶属函数、梯形隶属函数、三角形隶属函数、Z形隶属函数，即：二、模糊集合的隶属函数1.几种典型的隶属函数5051

在模糊控制中应用较多的隶属函数有以下6种隶属函数。（1）高斯型隶属函数高斯型隶属函数由两个参数σ和c确定：其中参数σ通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为

52

(2)广义钟形隶属函数广义钟形隶属函数由三个参数a，b，c确定：其中参数a和b通常为正，参数c用于确定曲线的中心。Matlab表示为53(3)S形隶属函数

S形函数sigmf(x,[ac])由参数a和c决定：其中参数a的正负符号决定了S形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示“正大”或“负大”的概念。Matlab表示为54

（4）梯形隶属函数梯形曲线可由四个参数a，b，c，d确定：其中参数a和d确定梯形的下底边，而参数b和c确定梯形的上底边。Matlab表示为：55(5)三角形隶属函数三角形曲线的形状由三个参数a，b，c确定：其中参数a和c确定三角形的底边，而参数b确定三角形的高。Matlab表示为56

（6）Z形隶属函数这是基于样条函数的曲线，因其呈现Z形状而得名。参数a和b确定了曲线的形状。Matlab表示为

57高斯型广义钟形S形梯形三角形Z形58[例3.6]设计一个三角形隶属函数，按[-3，3]范围七个等级，建立一个模糊系统，用来表示{负大，负中，负小，零，正小，正中，正大}。仿真结果如图所示。三角形隶属函数曲线59[例3.7]设计评价一个学生成绩的隶属函数，在[0，100]之内按A、B、C、D、E分为五个等级，即{不及格，及格，中，良，优}。分别采用五个高斯型隶属函数来表示，建立一个模糊系统，仿真结果如图所示。60高斯型隶属函数曲线61

隶属函数是模糊控制的应用基础。目前还没有成熟的方法来确定隶属函数，主要还停留在经验和实验的基础上。通常的方法是初步确定粗略的隶属函数，然后看它是否符合实际要求，再不断地调整和完善。以下为几种常用的确定隶属函数的方法。2.隶属函数的确定方法62（1）模糊统计法根据所提出的模糊概念进行调查统计，提出与之对应的模糊集A，通过统计实验，确定不同元素隶属于A的程度。对模糊集A的隶属度=63

（2）主观经验法当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度。这种确定隶属函数的方法已经被广泛应用。

（3）神经网络法利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生成隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函数的值。64

（4）例证法主要思想是从已知有限个μA的值，来估计论域U上的模糊子集A的隶属函数。

（5）二元排序法通过多个事物之间两两对比来确定某确定特征下的顺序，由此来确定这些事物对该特征的隶属函数的大致形状。65一、模糊集合的概念与运算二、模糊集合的隶属函数三、模糊关系及其运算四、模糊推理3.2模糊集合与模糊推理66

关系三、模糊关系及其运算1.模糊关系

客观世界中的各种事物之间一般都存在着某种联系,而描述事物间联系的数学模型之一就是“关系”。67

设有两个集合X，Y，从X与Y中各取出一元素x,y，组成序偶(x,y)，所有这样的序偶构成的集合，被称为X与Y的直积，记作X×Y

对于集合X，Y，直积X×Y的子集R称为X与Y之间的二元关系或关系。68

关系R是A与B两集合的直积A×B的一个子集。现将关系R的概念推广到模糊关系。模糊关系一般不仅考虑关系的有无，而且考虑关系的程度。例如，给出几个家庭成员的“相象关系”，这时就很难绝对地说“象”或“不象”，只能评论他们的“相象”程度。为此，引入更广泛的概念“模糊关系”。69

模糊关系

设X，Y是两个论域，由X，Y作出一个新的论域X×Y。X×Y上的模糊集R∈F(X×Y)叫做X与Y之间的模糊关系，即：其中，μR(x,y)称为x与y关于R的关系程度。当X=Y时，称R为X上的模糊关系。70例3.8设有一组同学X，X={张三，李四，王五}，他们的功课为Y，Y={英语，数学，物理，化学}。他们的考试成绩如下表：考试成绩表71

取隶属函数，其中u为成绩。如果将他们的成绩转化为隶属度，则构成一个x×y上的一个模糊关系R，见下表。72将上表写成矩阵形式，得：考试成绩表的模糊化73

该矩阵称作模糊矩阵，其中各个元素必须在[0，1]闭环区间上取值。矩阵R也可以用关系图来表示，如图所示。R的关系图742.模糊关系矩阵的运算

模糊关系是一种特殊的模糊集。因此，对模糊关系同样具有相等、包含、并、交、以及补运算等。另外，由于模糊关系的特殊性，它还有合成运算。模糊关系的运算用模糊关系矩阵表示更为方便。75

设R和S为U上的两个模糊关系，分别表示为：76则模糊关系运算如下：(a)相等

R与S相等，意味着(b)包含

R包含S，意味着77(c)并

R与S并，表示为R∪S，则式中78(d)交

R与S交，表示为R∩S，则式中79(e)补

R的补，表示为，则式中80(f)合成

R与S的合成，表示为R

S81例3.9设则8283例3.10

设模糊关系A和B，分别为则A∪B，A∩B，为848586一、模糊集合的概念与运算二、模糊集合的隶属函数三、模糊关系及其运算四、模糊推理3.2模糊集合与模糊推理87四、模糊推理1.模糊语言

自然语言是人们在日常生活中所使用的语言，它的主要特征就是具有模糊性。

带有模糊性的语言称之为模糊语言。如美丽、善恶、寒冷和勤奋等，都是没有明确界限、带有模糊性的语言。模糊控制中，关于误差的模糊语言有：正大、正小、零等。88

人与人对话需要自然语言，人与计算机对话就需要机器语言。

机器语言是用一系列符号代表计算机的动作和被处理的状态，在形式上起记号的作用，所以又称为形式语言。形式语言具有严格的语法规则和语义，不存在任何的模糊性和歧义，完全具有二值逻辑的特点，这是它与自然语言的显著区别。89

为了让计算机能够处理自然语言，表达和模拟人的智慧，人们将模糊集的概念应用到自然语言，提供了处理模糊概念的系统方法。

单词

表达概念的最小单位，如天、地、人、黑、白、高、低等等。90

词组

单词通过“与”，“或”，“非”等逻辑运算符连接起来就构成词组。

例如[年轻或年老]=[年轻]∨[年老]

[年轻且年老]=[年轻]∧[年老][非年轻]=[年轻]C91

模糊语言算子

指语言系统中的一类修饰字词的前缀词或模糊量词，用来调整词的含义，也称为模糊算子。根据功能不同，通常分为语气算子、模糊化算子和判定化算子。92(a)语气算子

用来表达语言中的词的确定性程度。如“很”、“极”、“略”、“比较”、“微”等修饰词。语气算子定义为：

当λ＞1时，Hλ称为集中化算子，它加强了语气的肯定程度。如H4/3为“有些”，K2为“很”，K4为“极”。93

当λ＜1时，Hλ称为散漫化算子，它能适当的减弱语气的肯定程度。如H1/3为“微”，K1/2为“略”，K3/4为“比较”。

例4.11论域U=[0，200]，A表示“年老”设H1.25为“相当”，H2为“很”，H0.25为“微”，则94[相当老](u)=[很老](u)=[微老](u)=95(b)模糊化算子

把“大概”、“大约”、“近乎”等词加在一个单词的前面，会使该词的确切词义模糊化。因此，它们也是一种算子，称为模糊化算子。(c)判定化算子“属于”、“接近”、“偏向于”、“倾向于”等词是另外一种算子，叫做判定化算子。962.模糊逻辑与模糊推理

模糊逻辑研究模糊命题的逻辑称为模糊逻辑。

模糊命题的取值不是单纯的“真”和“假”，但却反映了真和假的程度。我们把用来表示模糊命题的真假程度的数值称为该命题的真值。模糊命题的真值为[0,1]之间的值，是命题对绝对真的隶属度。97

模糊逻辑建立的理论基础是模糊集合和二值逻辑。由于二值逻辑中的真值只能取“0”，“1”，而模糊逻辑中，真值可取[0，1]区间中的任何值，所以可把模糊逻辑视为由二值逻辑扩展成的连