半导体中载流子的统计分布

第三章半导体中载流子的统计分布§3.1状态密度假设在能带中能量E与E+dE之间的能量间隔dE内有dZ个量子态，则定义状态密度g（E）为：计算状态密度的步骤：

1.单位K空间中的量子态数(即K空间的状态密度)2.dE所对应的K空间体积

3.dE间的量子态数dZ

（1、2项相乘）

4.根据上式求出状态密度g(E)

nx，ny，nz为整数每个允许的能量状态在k空间中与由整数组（nx，ny，nz）决定的一个代表点（kx，ky，kZ

）相对应体积为1/V的一个立方体中有一个代表点，点密度为v相对应在k空间中，如果计入电子的自旋，电子的允许量子态密度是2×V每个量子态最多容纳一个电子kZkykx晶体体积一、球形等能面情况

假设导带底在k=0处，且则导带底状态密度:同理，可推得价带顶状态密度：二、旋转椭球等能面情况：导带底状态密度价带顶状态密度：由此可知：状态密度gC（E）和gV（E）与能量E有抛物线关系，还与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态密度大。§3.2费米能级和载流子统计分布1、费米分布函数电子遵循费米-狄拉克（Fermi-Dirac）统计分布规律。能量为E的一个独立的量子态被一个电子占据的几率为

f(E)电子的费米分布函数k0为波尔兹曼常数EF为费米能级，它与温度、半导体材料的导电类型、杂质的含量以及能量零点的选取有关2、费米能级EF的意义T=0:

fF(E)=1,

当E<EF时

fF(E)=0,当E>EF时T>0:

fF(E)>1/2,当E<EF时

fF(E)=1/2,当E=EF时

fF(E)<1/2,当E>EF时EF01EF的意义EF的位置比较直观地反映了电子占据量子态的情况。即标志了电子填充能级的水平。EF越高，说明有较多的能量较高的量子态上有电子占据。随着温度的升高，电子占据能量小于费米能级的量子态的几率下降，而占据能量大于费米能级的量子态的几率增大二、波尔兹曼（Boltzmann）分布函数费米统计律与波尔兹曼统计律的主要差别在于:

费米统计受泡利不相容原理的限制在E-EF》k0T

时泡利原理失去作用，两者趋于一致当E-EF》k0T时,由于

三、空穴的分布函数f(E)表示能量为E的量子态被电子占据的几率，因而1-f(E)就是能量为E的量子态不被电子占据的几率，也就是被空穴占据的几率，故EF-E》k0T时为空穴的波尔兹曼分布函数，它表明当E远低于EF时，空穴占据能量为E的量子态的几率很小。即这些量子态都被电子占据了。通常，EF位于禁带内，与导带底或价带顶的距离远大于k0T

对导带导带中的电子分布服从波尔兹曼函数。随着能量E的增大，f(E)迅速减小，所以导带中绝大多数电子分布在导带底附近。对价带价带中的空穴分布服从波尔兹曼函数。随着能量E的增大，1-f(E)迅速增大，所以价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近。

服从波尔兹曼分布的电子系统

非简并系统

相应的半导体

非简并半导体服从费米分布的电子系统简并系统

相应的半导体简并半导体四、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度本征载流子的产生和复合：在一定温度T下，产生过程与复合过程之间处于动态的平衡，这种状态就叫热平衡状态。处于热平衡状态的载流子n0和p0称为热平衡载流子。它们保持着一定的数值。

导带中电子浓度的计算步骤：将导带分为无限多的无限小的能量间隔dE间有dz=gc(E)dE个量子态电子占据能量为E的量子态的几率是f(E)在dE间有f(E)gc(E)dE个被电子占据的量子态每个被占据的量子态上有一个电子在dE间有f(E)gc(E)dE

个电子把所有的能量区间中的电子数相加就得到了能带中的电子总数除以半导体的体积，就得到了导带中的电子浓度单位体积的电子数n0和空穴数p0：则上面的推导中利用了积分公式NC为导带的有效状态密度NV为价带的有效状态密度容易看出：Nc∝和Nv∝

由式：（1）当材料一定时，n0、p0随EF和T而变化

EF与T及杂质有关（2）当温度T一定时，n0×p0仅仅与本征材料有关。与EF及杂质无关可得：热平衡状态下的非简并半导体均适用

§3.3本征半导体的载流子浓度在热平衡态下，半导体是电中性的,即：

n0=p0（1）容易得到本征半导体费米能级上式中第二项小得多，故Ef

Ei

在禁带中线处

一般温度下，Si、Ge、GaAs等本征半导体的EF近似在禁带中央Ei，只有温度较高时，EF才会偏离Ei。

磷化铟是个例外由（5）式

可以看到：1、对不同材料，温度一定时，Eg大的材料，ni小；2、对同种材料，ni随温度T增加按指数关系上升。一般半导体器件，载流子主要来源于杂质电离，而将本征激发忽略不计。当温度足够高时，本征激发占主要地位，器件将不能正常工作，因此，每种器件都有一定的极限工作温度。§3.4杂质半导体的载流子浓度一、杂质能级上的电子和空穴杂质能级最多只能容纳某个自旋方向的电子。电子占据施主能级ED的几率

空穴占据受主能级EA的几率施主浓度:ND

受主浓度:NA：

（1）杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA

：（2）电离杂质的浓度nd+和pA-杂质能级与费米能级的相对位置反映了电子和空穴占据杂质能级的情况EF远在ED之下时，施主杂质几乎全部电离EF远在ED之上时，施主杂质基本没有电离当ED

与EF重合时，施主杂质有1/3电离，2/3没电离同理EF远在EA之上时，受主杂质几乎全部电离EF远在EA之下时，受主杂质基本没有电离当EA

与EF重合时，受主杂质有1/3电离，2/3没电离二、n型半导体的载流子浓度

假设只含一种n型杂质。在热平衡条件下，半导体是电中性的,电中性条件为:

则

当温度从低到高变化时，对不同温度还可将此式进一步简化

n型Si中电子浓度n与温度T的关系：本征激发区杂质离化区过渡区1、杂质离化区特征：本征激发可以忽略，p0≌0

导带电子主要由电离杂质提供。电中性条件n0=p0+nD+

可近似为

n0=nD+（1）低温弱电离区：

特征：nD+《NDp0=0弱电离极低温时T→0Klim(TlnT)=0故NC与T有关，杂质含量越高，EF达到极值的温度也越高

费米能级位于导带底和施主能级间的中线处（2）中间电离区温度继续升高，当2NC>ND后，ln(ND

/2NC)<0

费米能级降到(EC+ED)/2以下当温度升高到EF=ED时，则

施主杂质有1/3电离

（3）强电离区：

特征：杂质基本全电离nD+≌ND

电中性条件简化为n0=ND一般代入上式可得室温时硅中施主杂质达到全部电离时的杂质浓度上限令则D-未电离施主占施主杂质数的百分比通常施主杂质全部电离的标准是90%，则D-约为10%D-与温度、杂质浓度、和杂质电离能有关杂质浓度越高，达到全部电离的温度就越高。所谓的室温下杂质全部电离是忽略了杂质浓度的限制例：掺磷的n型硅，室温时杂质全部电离的浓度上限室温时，硅的本征载流子浓度约为1010，则室温时磷浓度在1011~1017范围内，可以认为是以杂质电离为主，而且处于杂质全部电离的饱和区由D-还可确定、ND

一定时，杂质全部电离所需的温度决定杂质全电离

（nD+≧90%ND）的因素：1、杂质电离能；

2、杂质浓度。在室温（RT）时，当杂质浓度≧10ni时，

nD+≌ND施主杂质全部电离时n0=ND载流子浓度与温度无关饱和区：载流子浓度保持等于杂质浓度的温度范围2、过渡区：半导体处于饱和区和完全本征激发之间

电中性条件：n0=ND+p0则显然：n0》p0，这时的过渡区接近于强电离区。多数载流子（多子）n0少数载流子（少子）p03.高温本征激发区

n0》ND电中性条件：n0=p0费米能级接近禁带中线载流子浓度随温度升高而迅速增加，杂质浓度越高，达到本征激发起主要作用的温度也越高掺杂半导体的载流子浓度和费米能级由温度和杂质浓度所决定杂质浓度一定时

随温度的升高，载流子从以杂质电离为主过渡到以本征激发为主，相应地费米能级则从杂质能级附近逐渐移近禁带中线处温度一定时，费米能级的位置由杂质浓度决定在杂质半导体中，费米能级的位置不但反映了半导体的导电类型，而且还反映了半导体的掺杂水平对n型，EF位于禁带中线以上，ND越大，EF越高对p型，EF位于禁带中线以下，NA越大，EF越低EF强p型弱p型本征型弱n型强n型EiEcEv4.少数载流子浓度n型半导体p型半导体少子浓度与成正比，与多子浓度成反比随T增加，少子浓度增加饱和区不变§3.5一般情况下（即杂质补偿情况）的载流子统计分布电中性条件：如果半导体中存在若干种施主杂质和受主杂质，则电中性条件为上式中的变数仅有EF和T，由此可求出EF考虑n型半导体即ND>NA时（1）温度很低时p0=0pA

=0电中性条件为ND=n0+NA+nD极低温时，很小，而NA很大，《NA则得低温下NA<<<<ND当ND<2NC时EF位于ED与EC之间的中线以下当ND>2NC时EF位于ED与EC之间的中线以上（2）温度升高施主电离增加，如果ND>>NA，此时，受主杂质已不产生显著作用，情况与单一掺杂相同（3）当温度升高到使EF降到ED之下，且满足

ED-EF》k0T时施主杂质全部电离，则电中性条件为（4）ND-NA

与ni相近,则电中性条件为n0+NA=p0+ND与联立求解可得§3.6简并（重掺杂）