函数单调性与曲线的凸凹性的判别法

3.3函数单调性与曲线的凸凹性的判别法3.3.1函数单调性的判别法增减证

任取设函数在区间上连续,则函数在区间内单调增加；定理3.3.1(函数单调性的判定定理）在区间内可导，且其导数不变号.(1)若且朗日定理条件，则在上函数满足拉格于是有则函数在区间内单调减少.若(2)(1)若则于是即在内单调增加；(2)若则于是即在内单调减少.注则函数在区间内仍单调增加（或单调减少）.10若(或),但等号仅在个别点成立，20定理中的区间换为其他类型的区间，定理结论仍成立.例1

判定函数在上的单调性.解因为在内有所以在上增加.例2

讨论函数的单调性.解函数的定义域为且在内，所以函数在上单调减少；在内，所以函数在上单调增加；例3

讨论函数的单调性.解函数的定义域为在内，在内，且当时，时不可导.所以函数在上单调减少；所以函数在上单调增加；函数并不一定在其整个定义域内都是单调增加或单调减少,而往往在定义域内的某一部分区间上单增,在另一部分区间上单减.函数的单调递增区间和单调递减区间，统称为函数的增减区间.函数的单调区间的分界点为下列两种类型的点：(1)导数为零的点(驻点)；(2)导数不存在的点(不可导点).确定函数单调区间的方法和步骤:(3)以(2)中所找点为分界点,将定义域分成若干区间,在每一区间上(1)确定函数的定义域;(2)求求出使的点(驻点),及使不存在的点;判断导数的符号，由定理3.3.1得结论，确定函数的增减区间.例4

确定函数的增减区间.解函数的定义域为因所以没有不可导点，令得驻点以为分界点，将定义域分成三个区间，列表如下：可见，函数的递增区间为和递减区间为例5

讨论函数的单调性.解函数的定义域为由于所以，令得驻点以为分界点，将定义域分成三个区间，列表如下：当时，不存在.可见，函数在和上单调增加，在上单调减少.不存在函数的单调性可用来证明不等式.例6

证明：当时，证令则因为在上连续，并且在内因此

在上单调增加，从而当时，有即3.3.2曲线的凸凹性的判别法xyoxoy图形凹图形凸设在区间I上连续.

如果对任意的有则称在区间I上的图形是凹的(或向上凹).

如果对任意的有则称在区间I上的图形是凸的(或向下凹).

定义3.3.1若曲线在区间I上是凹(凸)的，则在区间I上是凸(凹)的.直观观察凹曲线xyo凸曲线xoy递增递减设函数在区间I内二阶导数存在，那么定理3.3.2(1)若在I内,则曲线在

I上是凹的;(2)若在I内,则曲线在

I上是凸的.证(1)若在I内,在

I内任取两点不妨设记由拉格朗日定理得两式相减得因为所以即所以曲线在

I上是凹的.类似地可证(2).若在区间I内,函数的二阶导数注且等号仅在个别点成立,则曲线在区间I上仍是凹(凸)的.例1

判别曲线

在上的凸凹向.解因为在内所以曲线在上是凸的.例2

讨论下列曲线的凸凹性：解这两个函数的定义域均为在内是凸的；所以曲线则在内，在内，曲线在内是凹的.则在内，当时，在点处，的二阶导数不存在.所以曲线在内是凹的.在内，曲线在内是凸的.

由上例看出,有些函数图形在其定义域的不同部分其凸凹性不同.曲线的凸凹区间的分界点为下列两种类型的点：(1)二阶导数为零的点；(2)二阶导数不存在的点.

图形为凸的区间称为曲线的凸区间，图形为凹的区间称为曲线的凹区间.如果函数的图形在经过点时改变了凸凹性，则称点是曲线的一个拐点.设曲线定理3.3.3若点为曲线的拐点，则或不存在.确定曲线的凸凹区间及拐点的方法和步骤：(3)以(2)中所找点为分界点,将定义域分成若干区间,在每一区间上(1)确定函数的定义域；(2)求找出使的点,及不存在的点；的凸凹区间及拐点.判断二阶导数的符号，由定理3.3.2得出结论，从而确定曲线例3

求曲线的凸凹区间及拐点.解函数的定义域为由于可知，函数没有二阶导数不存在的点，令得以为分界点，将定义域分成两个区间，列表如下：拐点凹区间为可见，曲线的凸区间为拐点为例4

讨论曲线的凸凹区间及拐点.解函数的定义域为由于令得以为分界点，将定义域分成三个区间，列表如下：当