一阶电路的过渡过程-暂态分析

第3章一阶电路的过渡过程——暂态分析自动化与电子工程学院徐啟蕾candy_hxu@青岛科技大学*第3章一阶电路的过渡过程

——暂态分析3.1换路定则及其应用3.2RC电路的暂态响应3.3RL电路的暂态响应3.4一阶线性电路暂态分析的三要素法**本章要求：

1.理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状态响

应、全响应的概念，以及时间常数的物理意义。

2.掌握换路定则及初始值的求法。

3.掌握一阶线性电路分析的三要素法。*

稳定状态：电路中电压、电流已达到稳定值，或者是

时间上的周期函数。

当一个稳态电路的结构或元件参数发生改变时，电路原稳态被破坏而转变到另一种稳态所经历的过程，称为电路中的过渡过程。由于过渡过程经历的时间很短，所以又称为暂态过程或暂态。电路暂态分析的内容(1)暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。(2)影响暂态过程快慢的电路的时间常数。*

1.利用电路暂态过程产生特定波形的电信号

如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。2.控制、预防可能产生的危害

暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。

直流电路、交流电路都存在暂态过程,我们讲课的重点是直流电路的暂态过程。研究暂态过程的实际意义3.1换路定则及其应用*1.电路中产生暂态过程的原因电流

i随电压u比例变化。合S后：所以电阻电路不存在暂态过程(R耗能元件)。图(a)：

合S前：tIO

例：(a)S+-UR3R2u2+-*

若开关在t=0时接通，电路中的电流逐渐增加，最终达到I=U/R,这是一种稳态。+－t=0SRLULUSURS打开时，电路中的电流等于零，这是一种稳态。在图示的RL电路中*

产生暂态过程的必要条件：∵

L储能：换路:

电路状态的改变。如：电路接通、切断、短路、电压改变或参数改变不能突变Cu\∵C储能：产生暂态过程的原因：

由于物体所具有的能量不能跃变而造成在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变(1)电路中含有储能元件(内因)(2)电路发生换路(外因)*

设：t=0—表示换路瞬间(定为计时起点)

t=0-—表示换路前的终了瞬间

t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）2.换路定则换路瞬间，电感中的电流和电容两端的电压不能跃变称为换路定则，表示为：电容电路：注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中

uC、iL初始值。电感电路：*3.初始值的确定求解步骤：初始值：电路中各u、i

在t=0+

时的数值。1)先由t=0-的电路求出uC(

0–)

、iL(

0–)；

2)根据换路定则求出uC(0+)、iL(0+)；3)由t=0+的电路求其它电量的初始值：若iL(0+)=iL

(0－)=0，uC(0+)=uC(0－)=0，换路瞬间，电容相当于短路，电感相当于断路。若iL(0+)=iL(0－)≠0，

uC(0+)=uC(0－)

≠0，换路瞬间，电容相当于恒压源，电感相当于恒流源。电路中其它电压电流在换路瞬间，用换路定则、KVL、KCL定律联合求解。*元件特征CLiL(t)t=0+t=0－t=∞uC(t)uC(0+)=0uC(0－)=0uC(0－

)=U0uC(0+)=U0+-开路短路iL(0+)=I0

iL(0－)=I0

iL(0-)=0iL(0+)=0*暂态过程初始值的确定例1．解：(1)由换路前电路求由已知条件知（2）根据换路定则得：已知：换路前电路处稳态，C、L均未储能。

试求：电路中各电压和电流的初始值。S(a)CU

R2R1t=0+-L*,换路瞬间，电容元件可视为短路。,换路瞬间，电感元件可视为开路。(3)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值SCU

R2R1t=0+-L(a)电路iL(0+)U

iC(0+)uC

(0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+)R2R1+++__+-(b)t=0+等效电路iC

、uL产生突变*例2：换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。解：(1)由t=0-电路求uC(0–)、iL(0–)换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；电感元件视为短路。由t=0-电路可求得：42+_RR2R1U8V++4i14iC_uC_uLiLR3LCt=0-等效电路2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34*42+_RR2R1U8V++4i14iC_uC_uLiLR3LCt=0-等效电路(2)由换路定则：t=0+时等效电路4V1A42+_RR2R1U8V+4iC_iLR3i(3)由t=0+电路求iC(0+)、uL(0+)uc(0+)iL(0+)由图可列出带入数据解得*计算结果：电量换路瞬间，不能跃变，但可以跃变。2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34*R1USSCi2iCuC+－R2

已知US=10V，R1=2kΩ，R2=3kΩ，换路前电路已处于稳态，求:t＝0时，S断开后电压电流的初始值。i1A.换路瞬间C相当于短路B.换路瞬间C相当于恒压源C.换路瞬间i1＝i2D.换路瞬间i1＝iC例3：首先请选择：答案：B、D*解：

∵t

＝0－，电路稳态，

C

相当于开路。i1(0－)=i2(0－)=US/(R1+R2)=2mAuC(0－)=i2(0－)R2=6V在S断开的瞬间，根据换路定则有：

uC(0－)=uC(0+)=6V,而i2(0+)=0i1(0+)=iC(0+)=[US－uC(0+)]/R1=2mAR1USSCi2iCuC+－R2i1+－*结论1.换路瞬间，uC、iL

不能跃变,但其它电量均可以跃变。3.换路前,若uC(0-)0,换路瞬间(t=0+等效电路中),

电容元件可用一理想电压源替代,其电压为uc(0+);

换路前,若iL(0-)0,在t=0+等效电路中,电感元件

可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。2.换路前,若储能元件没有储能,换路瞬间(t=0+的等效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。*3.2RC电路的暂态响应一阶电路暂态过程的求解方法1.经典法:

根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。2.三要素法初始值稳态值时间常数求（三要素）

仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。一阶电路求解方法*代入上式得换路前电路已处稳态t=0时开关,电容C经电阻R放电一阶线性常系数齐次微分方程(1)列KVL方程1.电容电压uC的变化规律(t0)

零输入响应:

无电源激励,输入信号为零,仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。图示电路实质：RC电路的放电过程3.2.1RC电路的零输入响应+-SRU21+–+–*(2)解方程：特征方程

由初始值确定积分常数A齐次微分方程的通解：

电容电压uC从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC决定。(3)电容电压uC的变化规律*电阻电压：放电电流:

电容电压:2.电流及电阻电压的变化规律tO3.

、、变化曲线*4.

时间常数

物理意义:令:单位:S当

时时间常数

决定电路暂态过程变化的快慢时间常数等于电压衰减到初始值U0

的所需的时间。τ值越小,暂态过程进行得越快；τ值越大,暂态过程进行得越慢。*当

t=5

时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。暂态时间:理论上认为、电路达稳态工程上认为~

、电容放电基本结束。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U随时间而衰减*3.2.2

RC电路的零状态响应零状态响应:

储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。实质：RC电路的充电过程分析：在t=0时，合上开关s，此时,电路实为输入一个阶跃电压u，如图。与恒定电压不同，其电压u表达式uC(0-)=0sRU+_C+_iuCUtu阶跃电压O*一阶线性常系数非齐次微分方程方程的通解=方程的特解+对应齐次方程的通解1.uC的变化规律(1)

列

KVL方程3.2.2

RC电路的零状态响应(2)解方程求特解

：uC(0-)=0sRU+_C+_iuC*

求对应齐次微分方程的通解通解即：

的解微分方程的通解为特解----确定积分常数A根据换路定则在t=0+时，*(3)电容电压uC的变化规律暂态分量稳态分量电路达到稳定状态时的电压-U+U仅存在于暂态过程中63.2%U-36.8%Uto*3.、变化曲线t当t=

时表示电容电压uC从初始值上升到稳态值的63.2%

时所需的时间。故越大暂态过程变化越缓慢，越小暂态过程变化越快。2.电流

iC

的变化规律4.时间常数的物理意义为什么在t=0时电流最大？U*U0.632U

越大，曲线变化越慢，达到稳态时间越长。结论：当t=5时,暂态基本结束,uC达到稳态值。0.998Ut000.632U0.865U0.950U0.982U0.993UtO*3.2.3RC电路的全响应1.uC

的变化规律

全响应:

电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。根据叠加定理

全响应=零输入响应+零状态响应uC(0-)=U0sRU+_C+_iuC*稳态值零输入响应零状态响应暂态分量结论2：全响应=稳态分量+暂态分量全响应

结论1：全响应=零输入响应+零状态响应稳态分量初始值*3.3RL电路的暂态响应换路前电路已处稳态t=0时开关一阶线性常系数齐次微分方程(1)

列

KVL方程1.电感电流iL的变化规律(t0)

零输入响应:无电源激励,输入信号为零,仅由电感元件的初始储能所产生的电路的响应。UiLuL+－RL+－21*(2)

解方程：特征方程

由初始值确定积分常数A齐次微分方程的通解：

电感电流iL从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由τ

决定。(3)电感电流iL

的变化规律*零状态响应：储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。KVL方程：通解：UiLuL+－RL+－21*全响应：电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。KVL方程：通解：稳态分量零输入响应零状态响应暂态分量U1iLuL+－RL+－21U2+－*新的稳态值初始值3.4一阶线性电路暂态分析的三要素法对于一阶电路，它的时域响应是从初始值开始，按着指数规律变化，最终进入新的稳态值。过渡过程的长短取决于时间常数τ。据经典法推导结果全响应uC(0-)=UosRU+_C+_iuc*：代表一阶电路中任一电压、电流函数式中,初始值--（三要素）稳态值--时间常数--

在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：

利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。

一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得、和的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。*电路响应的变化曲线tOtOtOtO*三要素法求解暂态过程的要点终点起点(1)求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；tf(t)O*

求换路后电路中的电压和电流，其中电容C视为开路,电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。 (1)稳态值的计算响应中“三要素”的确定uC+-t=0C10V5k1

FS例：5k+-t=03666mAS1H*1)由t=0-

电路求2)根据换路定则求出3)由t=0+时的电路，求所需其它各量的或在换路瞬间t=(0+)的等效电路中电容元件视为短路。其值等于(1)若电容元件用恒压源代替，其值等于I0,,电感元件视为开路。(2)若,电感元件用恒流源代替，

注意：(2)初始值的计算*

1)对于简单的一阶电路，R0=R;2)对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。(3)时间常数的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路

注意：在换路后的电路中求得*R0U0+-CR0R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3*例1：解：用三要素法求解电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压

和电流、。(1)确定初始值由t=0-电路可求得由换路定则t=0-等效电路9mA+-6kRS9mA6k2F3kt=0+-CR*(2)确定稳态值由换路后电路求稳态值(3)由换路后电路求时间常数t∞

电路9mA+-6kR

3kt=0-等效电路9mA+-6kR*三要素uC的变化曲线如图18V54VuC变化曲线tO*用三要素法求54V18V2kt=0+++--S9mA6k2F3kt=0+-CR3k6k+-54V9mAt=0+等效电路*例2：由t=0-时电路电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。t=0时S闭合，试求：t≧0时电容电压uC和电流iC、i1和i2

。解：用三要素法求解求初始值+-St=06V123+-t=0-等效电路12+-6V3+-*求时间常数由右图电路可求得求稳态值+-St=06V123+-23+-*(、关联)+-St=06V123+-*

图示电路中，IS=8mA，C=4μF,R1=2kΩ，R2=3kΩ，R3=1kΩ，R=5kΩ，E=10V，换路前处于稳态，在t=0时将S由1打向2，试求uC(t)，画出曲线。SRR2R3R1ISE解:uC(0+)=uC(0－)C

τ=[(R1//R2)+R3]C=8.8×10－3s12例3：*

uC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ

=6V+(12－6)e－114t

V=6V+6