第十二讲卡方检验

第十二讲卡方检验——计数资料的推断比较卡方检验简介单项表的卡方检验双项表的卡方检验四格表的卡方检验练习题卡方检验简介卡方检验是对样本的频数分布所来自的总体分布是否服从某种理论分布或某种建设分布所作的假设检验，即根据样本的频数分布来推断总体的分布。卡方检验处理的是一个因素分为多种类别，或多种因素各有多种类别的资料。卡方值的特点可加性正值性卡方值的大小随实际频数与理论频数差的大小而变化。两者之差越小，说明样本分布与假设的理论分布越相一致；反之，越不一致。卡方值的自由度等于实际频数与理论频数差的组数减去1。把实得的点计数据按一种标准编制成表，就是单向表。对单向表的数据所进行的卡方检验就是单向表的卡方检验。例如，把学生的学习成绩按优、良、中、差分成等级，对于这类数据所进行的卡方检验就是单向表的卡方检验。（1）按一定比例决定理论频数的卡方检验大学某系54位老年教师中，健康状况属于好的有15人，中等的有23人，差的有16人，问该校老年教师健康状况好、中差的人数比例是否为1：2：1？（2）一个自由度的卡方检验从小学生中随机抽取76人，其中50人喜欢体育，26人不喜欢体育，问该校学生喜欢和不喜欢体育的人数是否相等？例如：某区中学共青团员的比率为0.8，现从该区某中学随机抽取20人，其中共青团员有12人，问该校共青团员的比率与全区是否一样？频数分布正态性的卡方检验120个11岁男生身高的频数分布如下表所示，问其总体是否呈正态分布？双向表的卡方检验把实得的点计数据按两种分类标准编制成的表就是双向表。对双向表的数据所进行的卡方检验，就是双向表的卡方检验，即双因素的卡方检验。例如，对于同一批学生既把他们按学习成绩分成优、良、中、差，又把他们按思想品德表现分成甲、乙、丙、丁，对于这类数据所进行的卡方检验，就是双向表的卡方检验。假如把双向表中横行所分的组数用r表示，把纵列所分的组数用c表示，那么双向表的卡方检验也称为rc表的卡方检验。家庭经济状况属于上、中、下的高三毕业生，对于是否愿意报考师范大学有三种不同的态度（愿意、不愿意、未定），其人数分布如下表括号外面的数据所示。问学生是否愿意报考师范大学与家庭经济状况是否有关系？

在双向表的卡方检验中，如果要判断两种分类特征，即两个因素之间是否有依从关系，这种卡方检验称为独立性卡方检验。家庭经济状况对于报考师范大学的态度总和愿意不愿意未定上18（20.53）27（19.43）10（15.03）55中20（22.03）19（20.58）20（16.13）59下18（13.44）7（12.72）11（9.84）36总和565341150在双向表卡方检验中，如果是判断几次重复实验的结果是否相同，这种卡方检验称为同质性卡方检验。从甲、乙、丙三个学校的平行班中，随机抽取三组学生，测得他们的语文成绩如下表括号外面的数据所示。问甲、乙、丙三个学校此次语文测验成绩是否相同？及格不及格总和甲24（17.68）10（16.32）34乙15（18.20）20（16.80）35丙13（16.12）18（14.88）31总和5248100独立样本四格表的卡方检验独立样本四格表的卡方检验就是独立样本双向表中2乘2表的卡方检验。它既可以用缩减公式由实际频数直接计算卡方值，又可以用上述求理论频数的方法计算卡方值。缩减公式卡方值的计算独立样本四格表卡方值的缩减公式为：及格不及格总和甲24（17.68）10（16.32）34乙15（18.20）20（16.80）35丙13（16.12）18（14.88）31总和5248100例如：现对乙、丙两组成绩差异进行显著性检验。组别及格不及格总和乙a=15b=20a+b=35丙c=13d=18c+d=31总和a+c=28b+d=38N=66组别及格不及格总和乙15（14.85）20（20.15）a+b=35丙13（13.15）18（17.85）c+d=31总和a+c=28b+d=38N=66校正卡方值的计算高二40个学生数学测验成绩如下表所示，问男女学生数学成绩有无本质差异？80分以上80分以下总和男a=18b=6a+b=24女c=10d=6c+d=16总和a+c=28b+d=12N=40相关样本四格表的卡方检验124个学生1000米长跑，训练一个月前后两次测验达标情况如下表所示，问一个月的训练是否有显著效果？第二次测验达标未达标第一次测验达标未达标a=61b=19c=33d=11校正卡方值的计算某校将参加课外阅读活动的14个学生与未参加此种活动的14个学生，根据各方面条件基本相同的原则进行配对，测得他们的阅读理解成绩如下表所示，问课外阅读活动对提高阅读能力是否有良好的作用？参加课外阅读活动良非良未参加课外阅读活动良非良a=3b=1c=8d=2某校学生对中学文理分科赞成者占百分之25，不置可否者占百分之35，不赞成者占百分之40，该校某班36名学生中赞成者7人，不置可否者10人，不赞成者19人。问该班学生对文理分科各种态度的人数比例是否与全校一致？大学某系一年级外地学生有42人，本地学生有24人，问全校一年级外地与本地学生的人数是否有显著差异？某小学四年级学生家长不给孩子留家庭作业的占百分之70，该年级某小组16个学生家长不给孩子留作业的有8人，问该组家长不给孩子留作业的人数比率与全年级是否有显著性差异？试检验以下实际频数分布是否符合正态分布？分数360-390-420-450-480-510-540-频数121016171818570-600-630-660-690-720-750-总和1713128321138试检验学生家长的阶层与对新学制的态度是否有关系？家长所属的阶层对某种学制的态度总和赞成反对不定高级知识分子14182052职员22101244工人1271029总和483542125某校高三物理考试成绩如下表所示，问四个平行班的成绩是否有本质差异？班别70分以上70分以下总和一班222345二班211435三班171835四班271744总和8772159甲乙两校某年毕业生考取及未考取大学的人数如下表所示。试用卡方缩减公式来检验两校高考录取率是否有显著性差异。校别考取未考取总和甲42（a）10（b）52（a+b）乙60（c）58（d