第5章 刚体的转动

第五章刚体的转动5.1刚体转动的描述5.2转动定律5.3转动惯量的计算5.4转动定律的应用5.5角动量守恒5.6转动中的功和能海南大学－大学物理电子教案刚体模型无论在多大的外力下，形状和体积均保持不变的理想物体称为刚体。刚体可看成是无数个质点构成的质点系。在刚体内部任意两质点间的距离永远保持不变。理想化模型——可视为一个特殊的质点系。解决刚体动力学问题的一般方法原则:质点系的三个定理利用刚体的特征化简到方便形式(简便好记)序言：海南大学－大学物理电子教案刚体的平动质点模型运用质心运动定理刚体的定轴转动利用刚体的模型(无形变)

化简角动量定理功能原理方便的形式海南大学－大学物理电子教案5.1刚体转动的描述刚体运动的几种形式:刚体的平动如果刚体内任意一条直线在刚体中始终保持它的取向不变，则这种运动称为平动。如升降机的运动，汽缸中活塞的运动。刚体作平动时，刚体上所有的点运动状态完全相同，所以刚体上任意一点的运动就可代表整个刚体的运动，刚体相当于一个质点。海南大学－大学物理电子教案刚体的转动如果刚体上的各个质点在刚体运动中都绕同一直线作圆周运动，则这种运动称为转动，该直线称为转轴。本课程主要研究刚体转轴在空间不移动的转动，即定轴转动。定轴转动的特点：简化转动平面海南大学－大学物理电子教案

线量角量rθΔrΔθvωa刚体中的每一个质点都在各自的转动平面内作圆周运动刚体中的每一个质点都具有相同的角速度、角位移和角加速度。用角量描述比用线量描述方便海南大学－大学物理电子教案任一质点圆周运动的线量和角量的关系OlmCx对于匀加速转动，用角量描述的方程式为海南大学－大学物理电子教案一般运动=(平动)+(转动)原则:随某点(基点)的平动+过该点的定轴转动基点任选。实际:因为对质心存在“质心运动定理”所以：基点就选质心ABDA’B’D’图示基点任选刚体的一般运动海南大学－大学物理电子教案解：已知角位置，求角速度和角加速度，用微分：飞轮作变加速转动例题1：一飞轮在时间t内转过角度式中a、b、c都是常量，求它的角加速度。课本P161例5.1海南大学－大学物理电子教案5.2转动定理刚体这一质点系的角动量变化定理：把上式向z轴投影，得沿z轴的分量式：海南大学－大学物理电子教案刚体对定轴的角动量转动平面刚体上任一质元绕o点转动的角动量其大小即为该质元绕转轴转动的角动量海南大学－大学物理电子教案转动平面刚体对定轴的角动量式中～刚体对轴的转动惯量（刚体对定轴的角动量）海南大学－大学物理电子教案刚体定轴转动定理刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。海南大学－大学物理电子教案（刚体定轴转动定律）定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律应用转动定律解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。海南大学－大学物理电子教案J是一个与m对应的物理量，表示了刚体转动时惯性的大小，称为刚体对给定转轴的转动惯量（简称转动惯量）。5.3转动惯量的计算海南大学－大学物理电子教案若质量连续分布转动惯量的计算dm为质量元，其计算方法如下：质量为线分布质量为面分布质量为体分布其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布面分布体分布海南大学－大学物理电子教案

影响转动惯量的因素质量不连续分布质量连续分布影响转动惯量的要素：计算公式(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置转动惯量的计算例题：刚体转动惯量的计算关键在于积分元——质量元dm的选取海南大学－大学物理电子教案xOl例7、求长为L、质量为m的均匀细棒对通过一端垂直于杆的转动惯量。解:建立如图ox坐标xdx在离坐标原点为x的杆上选一长度元dx该长度元的质量海南大学－大学物理电子教案例8：求半径为R、质量为m的薄圆环对中心轴的转动惯量。薄圆环绕中心轴旋转的转动惯量dmOmR解：环上任取一质量元dm该质量元到转轴的垂直距离为R海南大学－大学物理电子教案例9、求质量为m、半径为R、厚为l的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,lORrdr可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。海南大学－大学物理电子教案例10：求质量m,半径R的球壳对直径的转动惯量解：取离轴线距离相等的点的集合为积分元海南大学－大学物理电子教案例11.求质量m,半径R的球体对直径的转动惯量解：以距中心r，厚dr的球壳为积分元Ro海南大学－大学物理电子教案在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小平行轴定理例如均匀杆：xdxxOl转轴通过一端垂直于杆转轴通过中心垂直于杆海南大学－大学物理电子教案课堂练习A：如图质点系，则该质点系对转轴的转动惯量——————。答案：课堂练习B：右图刚体对经过棒端且与棒垂直的zz/轴的转动惯量—————————————。答案：海南大学－大学物理电子教案5.4转动定律的应用（刚体定轴转动定理）定轴转动定理在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律应用转动定理解题步骤与牛顿第二定律时完全相同。海南大学－大学物理电子教案例5.5、一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？（闸瓦与飞轮间的滑动摩擦系数为0.46）F0解：飞轮制动时有角加速度海南大学－大学物理电子教案又外力矩是摩擦阻力矩：0Nfr由定轴转动定律：海南大学－大学物理电子教案例：一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计。求(1)飞轮的角加速度。(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度。解(1)根据定轴转动定律海南大学－大学物理电子教案(2)隔离m、M，受力分析如图分别应用牛顿第二定律和定轴转动定律海南大学－大学物理电子教案解:隔离m1、M、m2例13：已知定滑轮质量M、半径R，轻绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动，轻绳两端连着质量为m1、m2的物体，设m2>m1。

求：1）物体运动的加速度a；2）绳子的张力T；

3)滑轮转动的角加速度。受力分析如下图海南大学－大学物理电子教案联立解方程即得其解分别应用牛顿运动定律和转动定理海南大学－大学物理电子教案课堂练习：一根长为l、质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置求：（1）刚释放时木棒的角加速度；（2）木棒转到竖直位置时木棒的角加速度。OlmCx解：重力对整个棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩dm木棒下摆时只有重力产生力矩海南大学－大学物理电子教案OlmCxdm可见，木棒在下摆过程中角加速度越来越小，但角速度越来越大。课本P168例5.7均匀细直木棒在竖直平面内转动海南大学－大学物理电子教案例18、一个刚体系统，如图所示，已知转动惯量，现有一水平力作用于距轴为l‘处。求：轴对棒的作用力（也称轴反力）解设轴对棒的作用力为N质点系由转动定律由质心运动定理海南大学－大学物理电子教案打击中心质心运动定理与转动定律联用质点系若海南大学－大学物理电子教案刚体对定轴的角动量定理：（刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率）（刚体对定轴角动量定理的微分式）5.5角动量守恒海南大学－大学物理电子教案（微分式）两边积分（积分式）对转轴的外力矩的时间积累效果，称为冲量矩刚体对同一转动轴的角动量的增量当转轴给定时，作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量——刚体对定轴的角动量定理海南大学－大学物理电子教案对定轴的角动量守恒定律根据若则常数（刚体对定轴的角动量守恒）分以下几种情况：对于转动惯量不变的刚体，若则常数刚体做匀速转动对于转动惯量可变的刚体，若则常数海南大学－大学物理电子教案mmω茹可夫斯基凳演示花样滑冰运动

芭蕾舞演员表演对于由质点、刚体组成的系统，若则常数此情况常用于研究质点与定轴转动刚体的碰撞问题若质点绕周作圆周运动，则质点对轴的角动量：海南大学－大学物理电子教案说明角动量定理和角动量守恒定律，不仅适用于宏观问题，也适用于原子、原子核等微观问题，因此角动量守定律是比牛顿定律更为基本的定律。内力矩可以改变系统内部各组成部分的角动量，但不能改变系统的总角动量。角动量定理和角动量守恒定律只适用于惯性系。海南大学－大学物理电子教案例题14：工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？AACBACB海南大学－大学物理电子教案解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。为两轮啮合后共同转动的角速度，于是以各量的数值代入得海南大学－大学物理电子教案或共同转速为在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为课本P171例5.8海南大学－大学物理电子教案例15：质量为M、半径为R的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一个质量为m的人，在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对转盘匀速走动，如图。求当人在转盘上走一周回到盘上的原位置时，转盘相对于地面转过了多少角度。解：以人和转盘组成的系统为研究对象当人走动时，系统所受外力对铅直轴的力矩为零，故对轴角动量守恒海南大学－大学物理电子教案以j、J分别表示人和盘对轴的转动惯量，并以、分别表示任一时刻人和盘绕轴的角速度其中代入海南大学－大学物理电子教案此时盘相对于地面转过的角度为：人在盘上走一周时海南大学－大学物理电子教案例题16：图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J=2103kgm2，它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。每个喷管的位置与轴线距离都是r=1.5m。两喷管的喷气流量恒定，共是=2kg/s。废气的喷射速率（相对于飞船周边）u=50m/s，并且恒定。问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转。rdm/2dm/2u-uL0Lg解：把飞船和排出的废气看作一个系统，废气质量设为m。海南大学－大学物理电子教案原系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即在整个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为由于废气质量远小于飞船的质量在喷气过程中，以dm表示dt

时间内喷出的气体这些气体对中心轴的角动量为：dm

r(u+v)

方向与飞船的角动量方向相同因u=50m/s远大于飞船的速率v(=r)

，所以此角动量近似地等于dm

ru海南大学－大学物理电子教案当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即为在整个喷射过程中，系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即于是所需的时间为海南大学－大学物理电子教案课堂练习：A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：wA=50rad.s-1,wB=200rad.s-1。已知A圆盘半径RA=0.2m,质量mA=2kg,B圆盘的半径RB=0.1m,质量mB=4kg.试求两圆盘对心衔接后的角速度w.解：以两圆盘为系统，系统角动量守恒海南大学－大学物理电子教案当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。力对P点作功：0‘05.6转动中的功和能转动中的功——力矩的功海南大学－大学物理电子教案因力矩作功：对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。0‘0海南大学－大学物理电子教案例2：一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置求：木棒下摆到竖直位置时重力做的总功。解：OlmCx重力做功即重力对转轴的力矩做功（1）重力对转轴的力矩dmx取棒上一小段，其质量为dm，它所受重力对转轴的力矩整个棒对转轴的力矩海南大学－大学物理电子教案由质心定义OlmCxdmxdmg重力对整个棒的力矩就和全部重力集中作用于质心所产生的力矩一样海南大学－大学物理电子教案xLOMy例3：已知棒长L,质量M，在摩擦系数为的桌面转动(如图)求：转动一周摩擦力做的功。解：摩擦力对转轴的力矩xdx海南大学－大学物理电子教案

转动中的能——刚体的转动动能因此整个刚体的动能刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。则该质点的动能为：设刚体中第i个质点的质量为，速度为,0‘0海南大学－大学物理电子教案——刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的转动动能。（刚体对转轴的转动惯量）所以上式写为海南大学－大学物理电子教案例4：如图，质量为m的四个小球由长为a的轻杆相连，它们组成一正方形的刚体体系。该体系绕y轴转动，角速度为。求：该刚体体系的转动动能。y解：该刚体体系对轴的转动惯量转动动能海南大学－大学物理电子教案定轴转动的动能定理总外力矩对刚体所作的功为：由质点系动能定理对定轴转动刚体——合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。海南大学－大学物理电子教案例5：一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕着细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？mgTMm解：隔离m、M对质点m应用动能定理对刚体M应用动能定理海南大学－大学物理电子教案解得：mgTMm课本P174例5.11海南大学－大学物理电子教案刚体的重力势能hhihcxOmCm一个质元：整个刚体：根据质心定义，此刚体的质心高度应为海南大学－大学物理电子教案机械能守恒对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。hhihcxOmCm其中质点动能mv2/2，势能mgh刚体动能Jw2/2，势能mghc海南大学－大学物理电子教案例6：一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置求：它由此下摆

角时的解法一：由动能定理求解OlmCx木棒在下摆过程中，只有重力产生力矩海南大学－大学物理电子教案解法二：用机械能守恒定律求解木棒在下摆过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒选木棒、地球为研究系统OlmCx海南大学－大学物理电子教案alov解：30°例14：一长为l、质量为M的杆可绕支点o自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为