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文档简介

协方差的定义与性质相关系数的定义与性质

矩的定义与协方差矩阵n维正态分布的概率密度与性质第三节协方差与相关系数

对多维随机变量,随机变量的数学期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映随机变量之间的关系.

协方差是反映随机变量之间依赖关系的一个数字特征.一、协方差的定义与性质

协方差的定义：设（X,Y）为二维随机向量,若一、协方差的定义与性质

依定义，若（X,Y）为离散型随机变量，其概率分布为

则

一、协方差的定义与性质

依定义，若（X,Y）为连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)，则因为

所以

特别地，若X与Y相互独立，有cov(X,Y)=0。计算协方差的简化公式

一、协方差的定义与性质

协方差的性质：（一）协方差的基本性质：

一、协方差的定义与性质

协方差的性质：（二）随机变量和的方差与协方差的关系：

特别地，若X与Y相互独立，则

注（1）：上述结果推广至n维情形，有

一、协方差的定义与性质

例：已知离散型随机向量（X,Y）

的概率分布为，试求cov(X,Y)。解：由计算协方差的简化公式得

因为

所以

一、协方差的定义与性质

例：已知连续型随机变量（X,Y）

的密度函数为f(x,y)，试求cov(X,Y)。

解：由计算协方差的简化公式得

由（X,Y）的密度函数求得X,Y的边缘密度函数分别为

于是

协方差的定义与性质相关系数的定义与性质

矩的定义与协方差矩阵n维正态分布的概率密度与性质第三节协方差与相关系数二、相关系数的定义与性质

协方差是两个随机变量协同变化的度量，其大小在一定程度上放映了随机变量X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响。

例如：kX和kY之间的统计关系与X和Y之间的统计关系应该是一样的，但其协方差却扩大了k2

倍，即有

为了避免随机变量因度量单位不同而影响它们相互关系的度量，可将每个随机变量标准化，即取用

cov(X*,Y*)作为X与Y之间相互关系的一种度量。

二、相关系数的定义与性质

二、相关系数的定义与性质

相关系数的性质：

证明：由方差的性质和协方差的定义知，对任意实数b，有

由于上式对任意实数b均成立，则

二、相关系数的定义与性质

相关系数的性质：

二、相关系数的定义与性质

相关系数的性质：

二、相关系数的定义与性质

解：易知

二、相关系数的定义与性质

解：由于

二、相关系数的定义与性质

解：

因为

又因

因此

协方差的定义与性质相关系数的定义与性质

矩的定义与协方差矩阵n维正态分布的概率密度与性质第三节协方差与相关系数三、矩的定义与协方差矩阵

定义：设X和Y为随机变量，k,l为正整数，称

由定义可以看出：（1）X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩；（2）X的方差D(X)是X的二阶中心矩；（3）协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩。三、矩的定义与协方差矩阵

协方差的定义与性质相关系数的定义与性质

矩的定义与协方差矩阵n维正态分布的概率密度与性质第三节协方差与相关系数四、n维正态分布的概率密度与性质

四、n维正态分布的概率密度与性质n维正态分布的重要性质：

四、n维正态分布的概率密

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