平面一般力系4

第三章平面一般力系◆课节3–1平面一般力系平衡方程◆课节3–2固定端约束均布荷载求力矩◆课节3–3物体系统的平衡◆课节3–4考虑摩擦时构件的平衡◆课节3–1平面一般力系平衡方程1.平面汇交力系

平面汇交力系总可以合成为一个合力FR

。2.平面力偶系

平面力偶系总可以合成为一个合力偶,其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。

3.力线平移定理

力向作用线外任一点平移，得到一个平移力和一个附加力偶。平移力与原力大小相等，附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。OF3F2F1FR12FRM1M2M3MR=AdBF'M'

=FdBAFd旧课复习：△O一、平面一般力系的简化=

◆课节3–1平面一般力系平衡方程

1.主矢FR主矢的大小等于原力系中各分力在坐标轴投影代数和的平方和再开方,作用在简化中心上,其大小和方向与简化中心的选取无关。OF3F2F1CBA简化中心

F3F'2F'1M1M2M3=OFRM0

2.主矩M0结论：主矩的大小等于各分力对简化中心力矩的代数和。其大小和方向与简化中心的选取有关。

平面一般力系向平面一般点简化,得到一主矢FR‘和一主矩Ｍ0

△3.简化结果的讨论例3-1

图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作用F力，试简化该力系。

1）FR≠0Ｍ0≠0主矢FR和主矩ＭO也可以合成为一个合力FR。FABC

解：1.求力系的主矢2.选A点为简化中心，求力系的主矩

简化结果表明该力系是一平面力偶系。

2）FR≠0Ｍ0=0

主矢FR就是力系的合力FR。

3）FR=0Ｍ0≠0

力系为一平面力偶系。在这种情况下,主矩的大小与简化中心的选择无关。

4）FR=0Ｍ0=0力系处于平衡状态。

FFxyM0二、平面一般力系的平衡方程

1.平衡条件2.平衡方程

为使求解简便，坐标轴一般选在与未知力垂直的方向上，矩心可选在未知力作用点（或交点）上。

平面一般力系平衡的必充条件为FR=0Ｍ0=0。即三、应用举例

例3-2

图示杆件AB,

在杆件上作用力F,集中力偶M0=Fa,求杆件的约束力。解：1.取AB为研究对象画受力图

2.建立坐标系列平衡方程aaaFABM0FABM0FBxyFAxFAy

例3-3

图示支架由杆AB、CD组成，A、C、D处均为光滑铰链，在AB上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。

解：1.取AB杆为研究对象画受力图2.列平衡方程求约束力aaABDFCM0=FaaaFBACM0=FaFAxFCFAy

例3-4图示管道架设在三角支架上，已知小管作用于支架的荷载为F；大管为2F。试求A端支座的约束力和CD杆所受的力。

解：1.取AB杆为研究对象画受力图。2.列平衡方程求约束力

FD即为CD杆所受的力，FD指向D铰，说明CD杆受压力。FAx为负值，表明其实际指向与受力图指向相反。

本课节小结主矢的大小等于原力系中各分力在坐标轴投影代数和的平方和再开方,作用在简化中心上。主矩的大小等于各分力对简化中心力矩的代数和。一、平面一般力系的简化平面一般力系向平面任意点简化,得到一主矢FR‘和一主矩Ｍ0

1.平衡条件

平面一般力系平衡的必充条件为FR=0Ｍ0=0。二、平面一般力系的平衡方程

2.平衡方程

为使求解简便，坐标轴一般选在与未知力垂直的方向上，矩心可选在未知力作用点（或交点）上。

课后作业：《建筑力学练习册》练习六一、平衡方程的其它形式

◆

课节3–2固定端约束均布荷载求力矩例3-5

图示支架由杆AB、BC组成，A、C、D处均为光滑铰链，在AB上作用F力，集中力偶M0=Fa，=30°，试求杆件AB的约束力。aaACFBM0解：1.取AB杆为研究对象画受力图aaFABCM0FAxFBFAy

2.平衡方程求约束力一矩式二矩式三矩式△图

(a)所示的钢筋混凝土柱与基础现浇在一起；图

(b)所示钢筋混凝土立柱虽然与基础没有现浇，但立柱与杯形基础之间用细石混凝土紧密填实的，则柱的下端是不能转动的；图

(c)所示的钢柱与基础用底脚螺栓连接。对图

(a)、b)、(c)所示的支座都可简化成图

(d)所示的固定端支座。

图示阳台，既不允许外伸阳台相对固定端的随意移动，又不允许其绕固定端随意转动。这些实例简化的平面力学模型，称为平面固定端约束。

平面固定端约束有两个约束力FAx、FAy和一个约束力偶矩ＭA。

FAxFAyMA二、平面固定端约束FAxFAyMA三、均布荷载

荷载集度为常量的分布荷载称为均布荷载。

xABqlO在构件一段长度上作用均布荷载q(N/m),1.均布荷载的合力FQFQl/2

2.均布荷载求力矩：

由合力矩定理可知，均布荷载对平面上任意点O的力矩等于其合力FQ与分布长度中点到矩心距离的乘积，即

M0(ql)=ql·(x+l/2)

均布荷载的合力FQ的大小等于均布荷载集度q与其分布长度l的乘积，即FQ=ql应用举例

例3-6

图示为悬臂梁的平面力学简图。已知梁长为2l，作用均布荷载q，作用集中力F=ql和力偶M0=ql2,求固定端的约束力。ABqllFM0qABllFM0FAxFAyMA解：1.取AB为研究对象画受力图2.平衡方程求约束力

例3-7

图示为外伸梁的平面力学简图。已知梁长为3a，作用均布荷载q，作用力F=qa/2和力偶M0=3qa2/2,求AB梁的约束力。解：1.取AB为研究对象画受力图DaqABaaM0CFaaaDABCM0qFFDFAxFAy2.平衡方程求约束力

例3-8

图示支架由杆AB、CD组成，A、C、D处均为光滑铰链，在CB上作用均布荷载q，M0=qa2，=45°，试求杆件AB的约束力。

解：1.取AB为研究对象画受力图qM0aaABDCqM0aaDCBAFAxFCFAy

2.列平衡方程求约束力

本课节小结一、平衡方程的其它形式

平面固定端约束有两个约束力FAx、FAy和一个约束力偶矩ＭA。二、平面固定端约束

1.均布荷载的合力FQ

均布荷载的合力FQ的大小等于均布荷载集度q与其分布长度l的乘积，即FQ=ql三、均布荷载一矩式二矩式三矩式

2.均布荷载求力矩：

均布荷载对平面上任意点O的力矩等于其合力FQ与分布长度中点到矩心距离的乘积，即

M0(ql)=ql·(x+l/2)

。

课后作业：《建筑力学练习册》练习七旧课复习

◆课节3–3物体系统的平衡

1.平面汇交力系

2.平面力偶系

3.平面平行力系

4.平面一般力系

平面汇交力系有一组二个独立的平衡方程，解出二个未知数。

平面力偶系有一个独立的平衡方程，解出一个未知数。

平面平行力系有一组二个独立的平衡方程，解出二个未知数。

平面一般力系有一组三个独立的平衡方程，解出三个未知数。

△一、静定与超静定问题的概念

◆课节3–3物体系统的平衡1.静定问题

未知数的个数少于或等于独立平衡方程个数时，全部未知数可由独立平衡方程解出，这类问题称为静定问题。2.超静定问题

未知数个数多于独立平衡方程个数时，全部未知数不能完全由独立平衡方程解出，这类问题称为超静定问题。静定问题超静定问题超静定问题静定问题静定问题超静定问题超静定问题二、物体系统的平衡问题1.物系工程结构都是由若干个构件通过一定约束联接组成的系统称为物体系统，简称为物系。2.外力和内力

系统外物体对系统的作用力称为物系外力，系统内部各构件之间的相互作用力称为物系内力。

3.物系平衡

物系处于平衡，那么物系的各个构件都处于平衡。因此在求解时，既可以选整个物系为研究对象；也可以选单个构件或部分构件为研究对象。

例如求图示结构中AB、BC杆的约束力。

BCAFFFFBACFBxFByF'BxF'ByFAxFAyFCyFCxBFFACFAxFAyFCyFCx例3-9图示为一静定组合梁的平面力学简图。已知l=2m,均布荷载q=15kN/m，力偶M0=20kN·m,

求A、B端约束力和C铰链所受的力。

解：1.分别取AC、CB画受力图lll/2AM0qBCll/2M0qBCFCyFBFCxlACF'CxF'CyFAxFAyMA

2.对CB

3.对AC例3-10图示为一桥梁桁架的平面力学简图，已知F、a和=45°。试求1、2、3杆所受的力。

解：1)取桁架整体画受力图列方程得

FA=F/3ＭB(F）=0-FA×6a+F×2a=02)用截面将桁架1、2、3杆截开，画左半受力图,列平衡方程得ＭCF）=0F3

·a-FA

·2a=0

F3=2FA=

Fy=0-F2

cos45°+FA=0F2=FA/cos45°=

Fx=0F1+F2

sin45°+F3=0

F1=-（F2

sin45°+F3）负号表示杆件受压。

FAFBFAyF1F3F23-1

图示为一静定组合梁的力学简图。作用集中力F，集中力偶M0,

画AC、CB段的受力图。

课堂练习llABCM0F3-2图示结构由AB、BC、DE杆组成。作用集中力F，画AB、BC、DE

杆的受力图。

aaaaABCDEF

本课节小结一、静定与超静定问题的概念1.静定问题

力系中未知数的个数少于或等于独立平衡方程个数，全部未知数可由独立平衡方程解出。二、物体系统的平衡问题

外力和内力系统外物体对系统的作用力称为物系外力，系统内部各构件之间的相互作用力称为物系内力。

物系平衡

物系处于平衡，那么物系的各个构件都处于平衡。因此在求解时，既可以选整个物系为研究对象；也可以选单个构件或部分构件为研究对象。2.超静定问题

力系中未知数个数多于独立平衡方程个数时，全部未知数不能完全由独立平衡方程解出。

课后作业：《建筑力学练习册》练习八一、滑动摩擦的概念

◆课节3–4考虑摩擦时构件的平衡

两物体接触面间产生相对滑动或具有相对滑动趋势时，接触面间就存在有阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，称为滑动摩擦力。

1.静滑动摩擦力

静摩擦力有介于零到临界最大值之间的取值范围，即0<Ff≤Ffmax

。FGF1GFNFf

静摩擦定律

大量实验表明，临界摩擦力的大小与物体接触面间的正压力成正比。F2GFNF'fFljGFNFfmax滑动趋势状态临界状态相对滑动状态

2.动滑动摩擦大量实验表明，动滑动摩擦力Ff的大小与接触面间的正压力FN成正比，即

为静摩擦因数

为静摩擦因数

△三、考虑摩擦时构件的平衡问题

求解考虑摩擦时构件的平衡问题，除列出平衡方程外，还需列出补充方程Ff≤sFN。在临界状态，补充方程Ff=Ffmax=sFN

，故所得结果也将是平衡范围的极限值。解：1.取AB为研究对象画受力图

例3-11

图示重G的梯子AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端放在水平面上，A端摩擦不计，B端摩擦因数为s，试求维持梯子不致滑倒的最小min角。lABGlABGFBFfFA

2.列平衡方程

3.列补充方程

4.联立求解解：1.取锚固墩画受力图

例3-12图示为一钢拉索吊桥的锚固墩，钢索锚固墩内。已知锚固墩重G=5000kN，锚固墩与地面间的静摩擦因数s=0.4，钢索与水平线间的夹角=20，试求钢索能承受的最大拉力FT。

2.列平衡方程及补充方程为

4.联立求解

Fx=0FTcos

-Ffmax=0

Ffmax=

FTcos

Fy=0FN+FTsin

-G=0

FN=G-FT

sin

Ffmax=sFN

3.列补充方程

FTcos=s（G-

FTsin）

所以，钢索能承受的最大拉力FT为1859kN。

解：1.分别取鼓轮、制动杆AB为研究对象画受力图。

例3-12

图示为一制动装置的平面力学简图。已知作用于鼓轮上的转矩为Ｍ，鼓轮与制动片间的静摩擦因数为s，轮径为r，制动杆尺寸为a、b、c。试求