复变函数的积分上课用

第三章复变函数的积分本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质.重点是Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导数公式.1§3.1复变函数的积分1积分的概念2积分存在条件及性质3积分实例21.积分的概念

设C为平面上给定的一条连续曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线。如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,关于实变函数积分定义.3

简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P沿此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.

与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:以后把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.4((56关于积分定义的说明:72.积分存在的条件及积分性质8从形式上可以看成是公式9复变函数的积分与实函数的积分有类似的性质.估值不等式10例1解因此113.积分的计算参数方程求法12例2解积分路径的参数方程为13例3解积分路径的参数方程为14重要结论：积分值与路径圆周的中心、半径无关.15例4解直线方程为16解例5(1)积分路径的参数方程为y=x17(2)积分路径的参数方程为y=x18y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为19注意1注意220§3.2

Cauchy积分定理1.Cauchy积分定理2.复合闭路定理3.典型例题211.Cauchy积分定理首先介绍高等数学中的Green定理:22柯西积分定理说明：该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立；它是复变函数理论的基础。23试着证明

Cauchy积分定理:由Green公式24改进的Green定理:1825年Cauchy建立该定理时，对u,v加了导数连续性条件；Gaursat

去掉了导数连续性的假设。25Cauchy积分定理的证明:由改进的Green公式26注意2

若曲线C是区域D的边界,注意1

定理中的C可以不是简单曲线.27

注意3

定理的条件必须是“单连通区域”.注意4

定理不能反过来用.28解例1根据Cauchy积分定理,有29例2解根据Cauchy积分定理得30312.复合闭路定理那末32证明A1A2A3A4C1C2EFGIH33A1A2A3A4C1C2EFGIH34当n为其它值时，可同样证明。35特殊情况：闭路变形原理由复合闭路原理这就是闭路变形原理36解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.说明：373.典型例题例1解依题意知,38根据复合闭路原理,39例2解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合原理,40例3解41故这一结果很重要。42§3.3Cauchy积分公式

1问题的提出2柯西积分公式3高阶导数公式4典型例题431.问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C

的变化而改变,求这个值.44452.Cauchy积分公式Cauchy积分公式对于f(z),若C围成的点集为多连通域,则成立否?把C换成该多连通域的内外边界,上式也成立.z046例1解由Cauchy积分公式47例2解由Cauchy积分公式48关于Cauchy积分公式的说明:把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.（这是解析函数的一个重要特征）(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)493.高阶导数公式高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.50例3解51524.典型例题例4解由Cauchy积分公式53例5解根据Cauchy积分公式知,54例6解55例6解56由复合闭路定理,得例6解57例7解58根据复合闭路原理59于是60例8解由Cauchy积分定理得由Cauchy积分公式得6162例4解63根据复合闭路原理和高阶导数公式,6465§3.4解析函数的原函数1原函数的概念2积分公式661.原函数的概念原函数之间的关系:67那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:证68根据Cauchy积分定理，可以得到由此结论可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,即：6970(证明略,下面要用到)712.Newton-Leibniz公式说明:

有了以上定理,复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算.72证根据Cauchy积分定理,73例1解例2解74例3解75例4解利用分部积分法可得76

本章主要内容有向曲线复积分积分存在的条件及计算积分的性质Cauchy积分定理原函数的概念复合闭路定理Cauchy积分公式高阶导数公式积分公式及计算77注意1.复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式;

3.复合闭路定理与复积分的计算.78第三章完习题:P99:1,2,5,6;7,9,18,22,30(3),3179练习：80解当时,解答81利用柯西积分公式82因此由柯西积分公式得83841793.7.14生于诺丁汉，1841.5.31卒于剑桥G.Green(格林)简介

童年在父亲的磨坊干活；同时自修数学、物理；32岁，出版了小册子《数学分析在电磁学中的应用》，其中有著名的Green公式。父亲去世后，1833年以自费生的身份进入剑桥大学科尼斯学院学习，1837年获学士学位，1839年聘为剑桥大学教授。在数学物理方面有出色成就。他是第一个沿欧洲大陆的研究方法前进英国数学家，其工作开创了庞大的剑桥物理学派。Stokes,Thomson,Maxwell等851642.12.25生于伍尔索普，I.Newton简介

1661年进入剑桥大学三一学院，自己研究Descartes,Copernicus,Kepler,Galileo,Barrow等的著作。1665年剑桥闹鼠疫回乡两年，微积分、万有引力、光谱分析等发明都萌芽于此。1667年获硕士学位，1669年接替Barrow担任教授。1671年发布“流数术”小册子，1687年出版《自然哲学的数学原理》等著作，1703年皇家学会会长，1705年授予爵士称号；晚年研究神学，1727.3.20去世。861646.7.1生于莱比锡；G.W.Leibniz简介

1661年入莱比锡大学学法律；1663年《论个体原则方面的形而上学争论》获学士学位；1664年《论法