第六章用有限单元法解

04二月2023第六章用有限单元法解平面问题概述1.有限元法(FiniteElementMethod，简称FEM)—是弹力的一种近似解法。首先将连续体变换为离散化结构，然后再应用结力方法或变分法进行求解。（1）具有通用性和灵活性。2.FEM的特点（3）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。（2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。04二月2023

3.FEM简史

FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的概念。1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用和发展。1956年，特纳等人提出了FEM。

20世纪50年代，平面问题的FEM建立，应用于工程问题。1960年提出了FEM的名称。20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和非线性问题，并得到迅速发展。04二月20234.FEM的两种主要导出方法:应用结构力学方法导出。应用变分法导出。5.本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位移求解的方法。且一般都以平面应力问题来表示。04二月2023§6-1基本量和基本方程的

矩阵表示

采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。本章无特别指明，均表示为平面应力问题的公式。基本物理量：体力面力位移函数应变应力结点位移列阵结点力列阵04二月2023物理方程FEM中应用的方程：几何方程其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是对于平面应变问题是04二月2023在FEM中，虚功方程代替平衡微分方程及应力边界条件。虚功方程其中——结点虚位移，

——对应的虚应变。04二月20232.

再应用结构力学方法进行求解。§6-2有限单元法的概念

FEM的概念，可以简述为：用结构力学方法求解弹力问题。1.将连续体变换为离散化结构。以下来导出FEM。1.结构离散化——将连续体变换为离散化结构；结力研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系。FAB12345678904二月2023弹力研究的对象，是连续体。深梁将连续体变换为离散化结构：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓‘离散化结构’。深梁（离散化结构）例如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。桁架的单元是杆件，而深梁的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。04二月2023分析步骤如下：（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量，它们是：称为单元的结点位移列阵（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数，即求出关系式插值公式表示单元中的位移分布形式，称为位移模式，N称为形函数矩阵。04二月2023（3）应用几何方程，由单元的位移函数d，求出单元的应变。（4）应用物理方程，由单元的应变，求出单元的应力。（5）应用虚功方程，由单元的应力，求出单元的结点力。——结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为正。04二月2023——单元对结点的作用力，与数值相同,方向相反，作用于结点。（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功等效原则移置到结点上，化为结点荷载。求解联立方程，得出各结点位移值，并从而求出各单元的应变和应力。作用于结点i上的力有：1、各单元对i结点的结点力；2、各单位移置到i

结点上的结点荷载（7）对每一结点建立平衡方程。04二月2023建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。1.将连续体变换为离散化结构。归纳起来，FEM分析的主要内容：2.应用结构力学方法求解离散化结构,对单元进行分析：求出（1）单元的位移模式（2）单元的应变和应力列阵

（3）单元的结点力列阵（4）单元的结点荷载列阵

整体分析：04二月2023

FEM是取结点位移为基本未知数的。但其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公式求应变、应力时，必须首先解决：如何由单元的结点位移来求出单元的位移函数§6-3

单元的位移模式与

解答的收敛性

应用插值公式，可由求出位移d。这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为位移模式。泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。∴三角形单元的位移模式，可取为04二月2023在i、j、m三个结点，位移函数等于该结点位移值04二月202304二月2023在三角形ijm三的面积为结点i、j、m的次序必须逆时针转向现引用记号同理04二月2023代入（a）式，整理后得：其中或（b）式也可表示如下：其中04二月2023三结点三角形单元的位移模式，略去了二次以上的项，因而其误差量级是且其中只包含了x、y的一次项，所以在单元中Ni

如（a）所示，u、v的分布如图（b）、（c）所示。（a）Ni

的分布图（b）u的分布图（c）v的分布图Ni、Nj、Nm

是坐标的线性函数，反映了单元的位移形态，称为位移的形态函数。简称为形函数。04二月2023

所以当单元趋于很小时，即时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了保证FEM收敛性,位移模式应满足下列条件：

FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。

（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。（2）位移模式必须能反映单元的常量应变。因为当单元为无穷小时，单元中的位移和应变都趋近于基本量——刚体位移和常量位移。将式（a）写成04二月2023与刚体位移相比可见刚体位移项在式（a）中均已反映。常量应变也已反映04二月2023（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。

连续体的位移连续性。在三角形单元内部，位移为连续；

在相邻两单元边界ij上，i点及j点位移相同，公共边界上位移分量也是线性变化，所以两相邻单元在具有相同的位移，也为连续。为了保证FEM的收敛性，（1）和（2）是必要条件，而加上（3）就为充分条件。04二月2023§6-4单元的应变列阵和应力列阵其中，单元中的位移函数已用位移模式表示为

由几何方程，求出单元的应变列阵：04二月2023S——称为应力转换矩阵，写成分块形式为再应用物理方程，求出单元的应力列阵：B

——称为应变矩阵，用分块矩阵表示，04二月2023对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）单元。应变和应力的误差量级是其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。04二月2023§6-5

单元的结点力列阵与

劲度矩阵现在来考虑其中一个单元：在FEM中，首先将连续体变换为离散化结构的模型。（2）单元与周围的单元在边界上已没有联系，只在结点i、j、m互相联系。（1）将作用于单元上的各种外荷载，按静力等效原则移置到结点上去，化为等效结点荷载。故单元内已没有外荷载。04二月2023按虚功方程，在虚位移上，外力的虚功等于应力的虚功。而其内部有应力作用，考察已与结点切开后的单元ijm，则此单元上作用有外力——结点力，应用虚功方程，求单元的结点力：代入虚功方程：在单元中，外力（结点力）在虚位移（结点虚位移）上的虚功，等于应力在虚应变上的虚功，假设发生一组结点虚位移则单元内单元内任一点（x,y）的虚位移为则单元内任一点（x,y）的虚应变为即04二月2023式(b)是由应力求结点力的一般公式。其中与x、y无关，故式(a)成为代入

(b)因为是独立的任意的虚位移得出虚功方程04二月2023式（c）是由结点位移求结点力的一般公式，k—称为单元的劲度矩阵其中再将应力公式代入上式，得对于三角形单元，B矩阵内均为常数，有04二月2023代入B、D，得出k如书中（6-37）及（6-38）所示。（6-37）（6-38）

k是对称矩阵，它与单元的大小无关，放大缩小单元的尺寸，k值不变。04二月2023例：图示在平面应力情况下的等腰三角形单元。求形函数N、单元劲度矩阵K、应变矩阵B和应力矩阵S形函数N04二月2023单元劲度矩阵K04二月2023单元劲度矩阵K04二月2023取，04二月2023应变矩阵B应力矩阵S04二月2023应力矩阵S04二月2023例：试写出图示在平面应力情况下的三角形单元的形函数N、应变矩阵B。04二月202304二月2023应变矩阵B04二月2023§6－6

荷载向结点移置

单元的结点荷载列阵在FEM中，与结力相似，须将作用于单元中的外荷载向结点移置，化为等效结点荷载，（1）刚体静力等效原则——使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也相同。1.移置原则（2）变形体静力等效原则——在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。04二月2023刚体静力等效原则只从运动效应来考虑，得出移置荷载不是唯一的解；∴在FEM中，采用变形体的静力等效原则变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模式下，其结果是唯一的，且也满足了前者条件的。2.集中力的移置公式

原荷载作用于单位厚度单元中任一点（x,y）上；移置荷载作用于结点i、j、m。假设发生一组结点虚位移，则（x,y）点的虚位移为04二月2023使移置荷载的虚功等于原荷载的虚功：即：

应用式(a)，将fPt代之为并在边界上积分，得3.

单元边界Su上面力的移置公式4.单元内体力f的移置公式

应用式(a)，将fPt代之为并在边界上积分，得04二月2023当位移模式为线性函数时，由虚功方程得出的移置荷载，与按刚体静力等效原则得出的结点荷载相同。例：设有均质等厚度的三角形单元受有重力荷载fP，作用在单元重心，求移置到各结点的荷载。利用虚位移原理去除i点在垂直方向的约束，代以Fiy又同理04二月2023去除i点在水平方向的约束，代以Fix又同理例：设有均质等厚度的三角形单元ij边上受有图示均布荷载P，求移置到各结点的荷载。04二月2023§6－7结构的整体分析

结点平衡方程组在单元分析中，从单元的结点位移→求位移分布→求应变→求应力→求结点力，为单元的内力分析；外荷载移置到结点荷载，为单元的外力分析。假设将结点i与周围的单元切开，则围绕i结点的每个单元，对i结点有结点力(）的作用,也有外荷载移置的结点荷载（）的作用。下面考虑整体分析。i

结点的平衡条件为对某一个单元ijm其中是对围绕i

结点的单元求和04二月2023代入（a）式，可表示为在（b）式中i、j、m是单元内部的结点编号，称为局部编号；i=1,2,…,n是整体结构的结点编号，称为整体编号将式（b）按整体结点编号排列，得整个结构的平衡方程组——整体结点位移列阵——整体结点荷载列阵——整体劲度矩阵元素Krs是相同整体编号的单元劲度矩阵元素krs叠加而成04二月2023例图（a）所示的深梁，在跨中受集中力F的作用，试用有限单元法求解跨中的位移。若取F2m1mF1m1m1m图（a）图（b）04二月2023Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II图（c）中，只有两个未知结点位移v1，v2。其余的结点位移均为零。1m1mIII1234xy图（c）图（d）图（e）

未知的结点位移列阵是对应的结点荷载列阵是04二月20231m1mIII1234xy图（c）

下面我们直接来建立对应于未知结点位移的平衡方程式，对于三角形单元，按照结点的局部编号（i、j、m），结点力一般公式是Ii(2)j(3)m(4)04二月2023

Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II图（d）图（e）单元I、II的单元劲度矩阵均为04二月2023

Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II图（d）图（e）单元I结点的局部编号与整体编号的关系是单元III局部编号整体编号整体编号i23j32m41单元I单元II04二月2023

整体结点平衡方程写成每个子块是2×2的矩阵例如的四个元素是结构的结点3沿x或y方向有单位位移而在结点2沿x或y方向的引起的结点力。1m1mIII1234xy04二月2023

整体刚度矩阵的形成1m1mIII1234xy单元I单元II04二月2023

整体刚度矩阵的形成Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II04二月2023

整体刚度矩阵的形成Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II04二月2023

由位移边界条件u1=u2=u3=v3=u4=v4=01m1mIII1234xy04二月20232m2m2m2m2N/m2N/mxyO1N/mxy123456IIIIIIIV设有对角受压的正方形薄板，荷载沿厚度均匀分布，为2N/m。取，04二月2023单元刚度矩阵的建立单元刚度矩阵为单元I1N/mxy123456IIIIIIIVIi(3)j(1)m(2)单元IIIi(5)j(2)m(4)04二月2023单元I1N/mxy123456IIIIIIIVIi(3)j(1)m(2)单元IIIIi(5)j(2)m(4)m(3)i(2)j(5)III单元IIIIVi(6)j(3)m(5)单元IV04二月2023整体刚度矩阵的形成1N/mxy123456IIIIIIIV单元I单元III04二