空间直角坐标系与矢量的线性运算

数量关系

—第7章第一部分矢量代数第二部分空间解析几何

在三维空间中:空间形式

—基本方法

—坐标,方程（组）矢量代数与空间解析几何点,线,面坐标法;向量法7.16.1.1空间直角坐标系6.1.2矢量及其坐标表示6.1.3矢量的线性运算与性质机动目录上页下页返回结束矢(向)量及其线性运算第6章ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ7.1.1空间直角坐标系分别作三条以O为原点且相互垂直的数轴,组成一个空间直角坐标系

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点O,

坐标面

卦限(八个)zox面机动目录上页下页返回结束Ⅰ各轴的正向依右手法则确定，1.原点、坐标轴、坐标面及卦限(右手系)。坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束2.坐标面、坐标轴的表示向径3.空间直角坐标系下点的坐标坐标轴上各点的坐标：坐标面上的各点坐标：点

M特殊点的坐标:有序数组(称为点

M

的坐标）原点O(0,0,0);机动目录上页下页返回结束●P∈x轴Q∈y轴R∈z轴A∈xoy

面B∈yoz

面C∈zox

面O4.空间直角坐标系下两点间的距离设是空间中的两点，过这两点各作三个分别垂直于坐标轴的平面，为对角线的长方体，这六个平面围成以由直角三角形勾股定理得：●●●●机动目录上页下页返回结束例1.

证:即为等腰三角形。是等腰三角形。为顶点的三角形机动目录上页下页返回结束求证以如图所示：例2.

等距离的点。解:

设该点为：解得故所求点为:及思考:

(1)如何求在

xoy

面上与A,B

等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B

等距离之点的轨迹方程?机动目录上页下页返回结束在z

轴上求与两点提示：(1)设动点为利用得且(2)设动点为利用得表示法：矢量的模：矢量的大小,7.1.2

矢（向）量的概念矢(向)量：既有大小,又有方向的量称为矢（向）量。矢径

(向径)：自由矢量：与起点无关的矢量；起点在原点的矢量，单位矢量：模为1的矢量,零矢量：模为0的矢量,有向线段，或机动目录上页下页返回结束1.定义记作：记作：记作：记作：记作：矢量的方向：有向线段所指的方向；（零矢量的方向不定！）规定:零矢量与任何矢量平行;因平行矢量可平移到同一直线上,故两矢量平行又称两矢量共线若k(≥3)个矢量经平移可移到同一平面上,则称此k个矢量共面（或线性相关）

.若两矢量与大小相等方向相同，则称它们相等，记作：记作：‖若矢量与矢量方向相同或相反，则称它们平行，记作：与矢量模相同方向相反的矢量称为矢量的负矢量，（或线性相关）

.2.

矢(向)量的坐标及其模由于定义

:对于矢量必有点A

的坐标称为矢量的坐标（分量），显然，对应坐标（分量）均相等；记作：机动目录上页下页返回结束3.矢(向)量的方向设任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)

为的夹角。与三坐标轴正向的夹角称为矢量矢量的方向角的余弦值机动目录上页下页返回结束定义：设作记作：︿的方向角；称为该矢量的方向余弦。α,β,γ矢量的方向余弦公式为：任意一组与矢量的方向余弦成比例的数的方向数。称为矢量由公式有：机动目录上页下页返回结束7.1.3向量的线性运算与性质1.定义：设为实数，2.性质ⅱ）ⅳ）ⅲ）（交换律）均为常数）ⅴ）（结合律）ⅰ）机动目录上页下页返回结束（分配律）若显然由于矢量是矢量方向上的单位矢量，（的）单位矢量。ⅶ）所以，矢量ⅵ）机动目录上页下页返回结束常简称为定理1.

存在数≠0使得：机动目录上页下页返回结束为两个非零矢量,则设∥与的对应非零分量（坐标）成比例。证明：∥∥取得即3.矢量的（垂直）投影定义:设矢量为任一矢量，︿称为矢量在矢量上的投影（值）;称为矢量在矢量上的投影（矢量）;数值（量）矢量︿机动目录上页下页返回结束由此得：4.

矢（向）量的合成与（垂直）分解令则机动目录上页下页返回结束由矢（向）量的合成与（垂直）分解公式：得机动目录上页下页返回结束对角线的有向线段，三角形法则:矢量的减法:矢量相加的几何法则:机动目录上页下页返回结束将两矢量的起点重合，构成一平行四边形，以此二矢量为邻边由矢量的起点到平行四边形将两矢量首尾相连，从第一个矢量的起点到第二个矢量的终点所构成的有向线段称为两矢量的和矢量。将两夭量的起点重合，以减矢量的终点为起点，为终点所构成的有向线段，平行四边形法则:称为两矢量的差矢量。被减矢量的终点称为两矢量的和矢量。机动目录上页下页返回结束多个矢量相加的几何法则:将相加的各矢量分别一一首尾相连，以第一个加项矢量的起点为起点，例如，最后一个加项矢量的终点为终点构成一有向线段，称此有向线段为此多个矢量的和矢量。计算以下五个矢量的和，设M

为解:ABCD对角线的交点,机动目录上页下页返回结束例

3.试用矢量分别表示如下图所示：例4.和的模、方向余弦和方向角。解:计算矢量机动目录上页下页返回结束已知两点例5.

已知两点和解:求机动目录上页下页返回结束例6.在AB直线上求一点M,解:如图所示及实数得即机动目录上页下页返回结束使得：已知两点设M

的坐标为：说明:由公式：得定比分点公式:点

M为AB

的中点,于是得中点公式:机