平面问题基本理论

平面问题基本理论第一页，共八十七页，2022年，8月28日空间问题中共有15个未知量应力分量：x、y、z、xy、xz、yz应变分量：x、y、z、xy、xz、yz位移分量：u、v、w这15个未知量应满足3个平衡微分方程；6个几何方程；6个物理方程；在边界上还要满足边界条件2.1弹性力学问题的提法第二页，共八十七页，2022年，8月28日空间问题平面问题转化平面应力问题平面应变问题SpatialproblemPlaneproblemPlanestressproblemPlanestrainproblem转化条件：构件的形状荷载性质ParticularshapeParticularforces第三页，共八十七页，2022年，8月28日平面问题中，基本未知量为：x，y，xy，x，y，xy，u，v（八个）求解平面问题的基本方程：平衡微分方程（2个）

DifferentialEquationsofEquilibrium几何方程（3个）

GeometricalEquations物理方程（3个）

PhysicalEquations再考虑边界条件(BoundaryConditions)，即可求出所有未知量。第四页，共八十七页，2022年，8月28日边界条件分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。边值问题的求解：位移法－位移为基本未知量应力法－应力为基本未知量混合法－一部分位移和一部分应力为基本未知量。第五页，共八十七页，2022年，8月28日2.2解的叠加原理及解的惟一性定理1解的叠加原理在小变形和线弹性情况下，作用在物体上的几组荷载产生的总效应等于每一组荷载单独作用的效应总和。第六页，共八十七页，2022年，8月28日1解的惟一性定理（Kirchhoff)定理在给定的荷载作用下处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变的解是惟一的，如果刚体位移受到约束，则位移解也是惟一的。第七页，共八十七页，2022年，8月28日2.3平面应力和平面应变问题空间问题平面问题转化平面应力问题平面应变问题SpatialproblemPlaneproblemPlanestressproblemPlanestrainproblem转化条件：构件的形状荷载性质ParticularshapeParticularforces一、平面应力问题PlaneStress1、构件的形状：薄板：t其它两个方向的尺寸xyozoytThinPlateofuniformthicknesst第八页，共八十七页，2022年，8月28日2、荷载的性质：面力：沿板边，平行于板面，沿厚度不变体力：平行于板面，沿厚度均布薄片两侧没有外荷载xyozoytAlltheforcesbeingparalleltothefacesoftheplateanddistributeduniformlyoverthethickness板面不受力，即：zz=+t/2=0结论：zxz=+t/2=0zyz=+t/2=0第九页，共八十七页，2022年，8月28日因为板很薄，荷载不沿厚度变化，应力是连续分布的，所以可以认为，在整个薄板：z=0zx=0zy=0

平面应力问题有那些应变分量和位移分量？薄板的应力为：xyxy

且与z无关，为x、y的函数,称为平面应力问题Theremainingstresscomponentsx，y，xy，maybeconsideredtobefunctionsofx、yonly，suchaproblemiscalledaplanestressproblem.

第十页，共八十七页，2022年，8月28日二、平面应变问题PlaneStrian1、构件的形状：yzx（1）足够长柱体，两端光滑刚性约束（2）无限长柱体，两端自由Verylongcylindricalorprismaticalbody2、荷载的性质：（1）平行于横截面（2）沿长度不变（任意横截面上的受力是相同的）Alltheforcesbeingparalleltoacrosssectionofthebodyandnotvaryingalongtheaxialdirection.第十一页，共八十七页，2022年，8月28日称为平面应变问题结论：yzx平面应变问题有那些应力分量？（1）应力、应变只是x、y的函数（２）w=0（z＝０），应变分量只有x

yxy

Withanycrosssectionofthebodyasxyplane,thecomponentswillbefunctionsofx、yonly，duetosymmetry,theshearingstresseszx=0,zy=0,andw=0,suchaproblemiscalledaplanestrainproblem.

第十二页，共八十七页，2022年，8月28日归纳：平面问题中，共有八个未知量：xyxyx

y

xy

u

v

求解弹性力学平面问题，就是要根据已知条件（荷载，边界条件）求未知的应力分量、应变分量和位移分量。第十三页，共八十七页，2022年，8月28日本节结束谢谢希望大家提出宝贵的意见和建议！谢谢！第十四页，共八十七页，2022年，8月28日xyO取图示微六面体为隔离体，厚度t=1Isolateelement２.4平面问题的基本方程yyxxyxcXY建立平衡方程FormulateEquilibriumEquations第十五页，共八十七页，2022年，8月28日yyxxyxXYxyoXYcMC=0（1）xy=yxX=0（2）第十六页，共八十七页，2022年，8月28日Y=0（3）（平面应力问题与平面应变问题）Theelasticityproblemisstaticallyindeterminate.Tosolvefortheunknowstresses,wehavetoconsiderthestrainsanddisplacements.DifferentialEquationsofEquilibriumareapplicablebothtoplanestressproblemsandplanestrainproblems.第十七页，共八十七页，2022年，8月28日几何方程GeometricalEquations：（平面应力问题与平面应变问题）GeometricalEquations

areapplicablebothtoplanestressproblemsandplanestrainproblems.第十八页，共八十七页，2022年，8月28日物理方程（应力、应变之间的关系）PhysicalEquationsTherelationsbetweenstressesandstrains完全弹性、各向同性体，HOOK定理：Inanisotropicandperfectlyelasticbody，therelationsbetweenstressesandstrainsbasedonHooke’slaw：第十九页，共八十七页，2022年，8月28日E、G、为常数(threeelasticconstants)，不随坐标、方向而变化其中：EisthemodulusofelasticityorYoung’smodulus，

isthePoisson’sratio，Gistheshearmodulusormodulusofrigidity.第二十页，共八十七页，2022年，8月28日在平面应力问题中z=0zx=0zy=0而且Inaplanestressproblem物理方程

(PhysicalEquations)第二十一页，共八十七页，2022年，8月28日物理方程另一种形式：

第二十二页，共八十七页，2022年，8月28日物理方程

在平面应变问题中z=0zx=0zy=0(Inaplanestrainproblem)(PhysicalEquations)第二十三页，共八十七页，2022年，8月28日将平面应力问题物理方程中的EE/（1-2）；/（1-）就得平面应变问题的物理方程。平面应力问题与平面应变问题两者的物理方程不同。ThePhysicalEquationsofplanestressproblemsandplanestrainproblemsaredifferent.平面应力问题与平面应变问题两者的物理方程虽然不同，但平衡微分方程和几何方程是相同的。PhysicalEquationsaredifferent，DifferentialEquationsofEquilibriumandGeometricalEquationssame.

第二十四页，共八十七页，2022年，8月28日平面问题中，基本未知量为：x，y，xy，x，y，xy，u，v（八个）求解平面问题的基本方程：平衡微分方程（2个）

DifferentialEquationsofEquilibrium几何方程（3个）

GeometricalEquations物理方程（3个）

PhysicalEquations再考虑边界条件(BoundaryConditions)，即可求出所有未知量。第二十五页，共八十七页，2022年，8月28日本节结束谢谢希望大家提出宝贵的意见和建议！谢谢！第二十六页，共八十七页，2022年，8月28日2.5边界条件圣维南原理弹性力学问题平衡微分方程+几何协调方程+物理方程+边界条件或初始条件一、边界条件（BoundaryConditions）a、位移边界条件（displacementboundaryconditions）：BoundaryConditions.

Saint-Venant’sPrincipleAccordingtoBoundaryConditions，elasticityproblemsareclassifiedasdisplacementboundaryproblems，stressboundaryproblems，mixedboundaryproblems.Inadisplacementboundaryproblem，thesurfacedisplacementsofthebodyarespecified.弹性体在边界上的位移是已知的。第二十七页，共八十七页，2022年，8月28日x如：四边固定的板或两端简支的板xbaxaby边界条件如下：us=uvs=v第二十八页，共八十七页，2022年，8月28日b、应力边界条件(stressboundaryconditions)：xyqAXN=lx+mxyYN=my+lxy已知BPyyxxyxsYNXN在边界上，若面力已知，则

XN=XYN=Ylx+mxy=Xmy+lxy=YInastressboundaryproblem，thesurfaceforcesactingonthebodyarespecified.弹性体在边界上所受的面力是已知的第二十九页，共八十七页，2022年，8月28日2xy3141、3边界：l=0m=+1y=Y;xy=X++2、4边界：m=0l=+1x=X;xy=Y++lx+mxy=Xmy+lxy=Y平面问题的应力边界条件stressboundaryconditionsofaplaneproblem特殊边界的应力边界条件Whentheboundaryisnormaltoacoordinateaxis,thestressboundaryconditionsaresimplified第三十页，共八十七页，2022年，8月28日当边界的外法线沿坐标轴的正向时，两者的正负号相同；当边界的外法线沿坐标轴的负向时，两者的正负号相反。Theboundarystresscomponentsareequaltothesurfaceforcecomponents（usepositiveornegatvesignaccordingastheoutwardnormalisalongthepositiveornegativedirectionofthecoordinateaxis）.c、混合边界条件(mixedboundaryconditions)

：一部分边界具有已知的位移，一部分边界具有已知的面力；或同一部分边界既有位移边界条件，又有应力边界条件。Inamixedboundaryproblems，someportionoftheboundaryisspecifiedwithknowndisplacementswhiletheotherportionissubjectedtoknownsurfaceforces.第三十一页，共八十七页，2022年，8月28日解：AB边：y=-q;yx=0BC边：x=0;xy=0CD边：y=0;yx=0AD边：u=0；v=0例1、写出图示悬臂梁的边界条件，板厚为1ABCDyxqxyABCAB边：v=0AC边：x=0；xy=0混合边界条件Forinstance：Mixedboundaryproblem第三十二页，共八十七页，2022年，8月28日解：BC边：x=0;xy=0CD边：y=0;yx=0AD边：u=0；v=0AB边：y=yx=0例2、写出图示悬臂梁的边界条件，板厚为1xABCDyq0l第三十三页，共八十七页，2022年，8月28日解：BC边：y=0;yx=0DE边:AB边：x=-gy;xy=0例3、写出图示结构AB、BC、DE的应力边界条件(水的重度为)ExyABCDNcos(N,x)=cos=lcos(N,y)=cos(90+)=-sin=mlx+mxy=Xmy+lxy=Ycosx-sinxy=0-siny+cosxy=0第三十四页，共八十七页，2022年，8月28日二、圣维南原理(Saint-Venant’sPrinciple)在求解弹性力学问题时，要使应力分量、形变分量、位移分量满足基本方程并不困难，但要完全、精确地满足边界条件，却往往发生很大困难。Insolvinganelasticityproblem,it’srathereasytoobtainthestresses,strainsanddisplacementswhichsatisfyallthebasicequations.Howeverweoftenencounterdifficultiesinhavingalltheboundaryconditionscompletelysatisfied.第三十五页，共八十七页，2022年，8月28日在上述情况下，可利用圣维南原理(Saint-Venant’sPrinciple)来写出近似的边界条件：圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的面力变换成分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著的变化，但远处所受的影响可以忽略。(P30)另外，在工程计算中经常碰到这样的情况：在物体的部分边界上，只知道物体所受面力的合力，面力的分布方式并不明确。Ithappensfrequentlyinthestresscalculationforastructuralormachineelementthatweknowonlytheresultantofsurfaceforcesonasmallportionoftheelement,butnotthedistributionoftheforces.Undersuchcircumstances,Saint-Venant’sprinciplemaybeofmuchhelptous.第三十六页，共八十七页，2022年，8月28日Theessenceoftheprinciplecanbestatedasfollows:Ifasystemofforcesactingonasmallportionofthesurfaceofanelasticbodyisreplacedbyanotherstaticallyequivalentsystemofforcesactingonthesameportionofthesurface,theredistributionofloadingproducessubstantialchangesinthestressesonlyintheimmediateneighborhoodoftheloading,andthestressesareessentiallythesameinthepartsofthebodywhichareatlargedistancesincomparisonwiththelineardimensionofthesurfaceonwhichtheforcesarechanged.By“staticallyequivalentsystems”,itmeansthatthetwosystemshavethesameresultantforceandthesameresultantmoment.第三十七页，共八十七页，2022年，8月28日Forinstance：PPPP/2P/2P/2P/AP/AP第三十八页，共八十七页，2022年，8月28日PPPP/2P/2P/2P/AP/APThesolutionforstressesinthecasedisrathersample,asthestressboundaryconditionsareverysimple.AccordingtoSaint-Venant’sprinciple,itssolutionforthestressescanbeappliedtothecasea,bandc.

Forcasee,wehavedisplacementboundaryconditions.However,itisevidentthatthesurfaceforcesatthefixedendmustbeequilibriumwiththeforceP.AccordingtoSaint-Venant’sprinciple,thesimplesolutionmayalsobeappliedtothiscase.abcde第三十九页，共八十七页，2022年，8月28日注意：（1）用圣维南原理必须满足静力等效条件，若不满足，则计算结果不能用于不同的情况。第四十页，共八十七页，2022年，8月28日本节结束谢谢希望大家提出宝贵的意见和建议！谢谢！第四十一页，共八十七页，2022年，8月28日Forthesolutionofanelasticityproblem,wecanproceedinthreedifferentways:1.Takethedisplacementcomponentsasthebasicunknownfunctions,formulateasystemofdifferentialequationsandboundaryconditionscontainingthedisplacementcomponentsonly,solvefortheseunknownfunctionsandtherebyfindthestraincomponentsbythegeometricalequationsandthenthestresscomponentsbythephysicalequations.

2.6弹性力学问题的解法第四十二页，共八十七页，2022年，8月28日2.Takethestresscomponentsasthebasicunknownfunctions,formulateasystemofdifferentialequationsandboundaryconditionscontainingthestresscomponentsonly,solvefortheseunknownfunctionsandtherebyfindthestraincomponentsbythephysicalequationsandthenthedisplacementcomponentsbythegeometricequation.3.Takesomeofthedisplacementcomponentsandalsosomeofthestresscomponentsasthebasicunknownfunctions,formulateasystemofdifferentialequationsandboundaryconditionscontainingthestresscomponentsonly,solvefortheseunknownfunctionsandtherebyfindtheotherunknownfunctions.第四十三页，共八十七页，2022年，8月28日一位移解法（按位移求解平面问题）平面问题的基本未知量有x，y，xy，x，y，xy，u，v，根据基本方程即可求解。SolutionofPlaneProbleminTermsofDisplacements求解方法有：按位移求解；按应力求解；混合求解按位移求解：以位移分量为基本函数，由只含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量后，再求其他的未知量。Takethedisplacementcomponentsasthebasicunknownfunction，formulateasystemofdifferentialequationsandboundaryconditionscontainingthedisplacementcomponentsonly，solvefortheseunknownfunctionsandtherebyfindthestraincomponentsbythegeometricalequationsandthenthestresscomponentsbythephysicalequations.第四十四页，共八十七页，2022年，8月28日

导出按位移求解的微分方程和边界条件

1、微分方程

(differentialequations)

Formulatethedifferentialequationsandboundaryconditionsforthesolutionofaplaneproblemintermsofdisplacements

几何方程：geometricalequations第四十五页，共八十七页，2022年，8月28日物理方程（平面应力问题）physicalequations（planestressproblem）将几何方程代入物理方程SubstitutionofgeometricEotheseequations第四十六页，共八十七页，2022年，8月28日将上述方程代入平衡微分方程Now,usingtheserelationsinequilibriumequations第四十七页，共八十七页，2022年，8月28日按位移求解的平衡微分方程拉密方程在平面问题中的应用Thedifferentialequationsforthesolutionoftheproblemintermsofdisplacements.第四十八页，共八十七页，2022年，8月28日

2、边界条件(Boundaryconditions)

lx+mxy=Xmy+lxy=Y平面问题的应力边界条件（Stressboundaryconditionsofaplaneproblem）第四十九页，共八十七页，2022年，8月28日按位移求解时的应力边界条件为：用位移表示的应力边界条件。Weobtainthestressboundaryconditionsoftheproblemintermsofdisplacements.第五十页，共八十七页，2022年，8月28日按位移求解时的位移边界条件为：用位移表示的位移边界条件。Weobtainthestrainboundaryconditionsoftheproblemintermsofdisplacements.us=uvs=v第五十一页，共八十七页，2022年，8月28日归纳(Tosumup),

按位移求解平面问题，要使位移分量满足拉密方程和边界条件，求出位移后，可用物理方程求应力，用几何方程求变形。Thedisplacecomponentsu(x,y),v(x,y)inaplanestressproblemmustsatisfythroughoutthebodyconsidered，alsosatisfyonthesurfaceofthebody.us=uvs=vand第五十二页，共八十七页，2022年，8月28日Foraplanestrainproblem,itisnecessaryinaboveequations.对平面应变问题，只许将上述方程中的；将即可。第五十三页，共八十七页，2022年，8月28日二、应力解法（相容方程）SolutionofPlaneProbleminTermsofStresses按应力求解：以应力分量为基本函数，由只含应力分量的平衡微分方程和相容方程及边界条件求出应力分量后，再求其他的未知量。Takethestresscomponentsasthebasicunknownfunction，formulateasystemofdifferentialequationsandboundaryconditionscontainingthestresscomponentsonly，solvefortheseunknownfunctionsandtherebyfindthestraincomponentsbythephysicalequationsandthenthedisplacementcomponentsbythegeometricalequations.含应力分量，需保留Thetwodifferentialequationsofequilibriumcontainthestresscomponentsonlyandmaybeusedfortheirsolution.第五十四页，共八十七页，2022年，8月28日需建立补充方程相容方程Thethirddifferentialequationcanbeobtainedfromthegeometricalandphysicalequations.相容方程（变形协调方程）Compatibilityequation1、平面问题的几何方程Thegeometricalequationsofaplaneproblemare2、将x对y的二阶导数和y对x的二阶导数相加Addingthesecondderivativeofxwithrespecttoyandthesecondderivativeofywithrespecttox,weget

第五十五页，共八十七页，2022年，8月28日相容方程Compatibilityequation第五十六页，共八十七页，2022年，8月28日应变分量x、y和xy必须满足这个方程，才能保证位移分量u，v的存在。若所选的x、y和xy不满足这个方程，那么，由几何方程中的任意两个所求出的位移分量，将不满足第三个方程。例如选x=0，y=0，xy=cxy

不满足相容方程由此应变求位移Thecompatibilityequationforstrainmustbesatisfiedbythestraincomponentsx,yandxytoensuretheexistenceofsingle-valuedcontinuousfunctionsuandvconnectedwiththestraincomponentsbythegeometricalequations.第五十七页，共八十七页，2022年，8月28日第三个方程不能满足，所求u，v不存在第五十八页，共八十七页，2022年，8月28日用应力表示的相容方程CompatibilityequationintermsofstrainByusingphysicalequations,thecompatibilityequationcanbetransformedintoarelationbetweenthestresscomponents.

将物理方程代入

平面应力问题

foraplanestressproblemSubstitutionofthephysicalequationsinto第五十九页，共八十七页，2022年，8月28日简化上述相容方程（利用平衡方程）Totransformthisequationintoadifferentformmoresuitableforuse,weeliminatetheterminvolvingxy

byusingthedifferentialequationsofequilibrium.

第六十页，共八十七页，2022年，8月28日用应力表示的相容方程thecompatibilityequationintermsofstresses.Differentiatingthefirstequationwithrespecttoxandthesecondwithrespecttoy,addingthemupandnotingthatxy=yx,weget(将两式分别对x及y求导，并相加得)(将其代入相容方程，并简化后，得)Substitutingthisintothecompatibilityequationandperformingsomesimplification,weobtain第六十一页，共八十七页，2022年，8月28日平面应变问题的相容方程CompatibilityequationintermsofstrainCompatibilityequationforaplanestrainproblemForaplanestrainproblem,anequationsimilartoaboveequationmaybeobtainedsimplybyTheresultis

第六十二页，共八十七页，2022年，8月28日归纳：1、按应力求解平面问题，要求应力分量必须满足平衡微分方程和相应的相容方程，在边界上还要满足应力边界条件。Inthesolutionofaplaneproblemintermsofstresses，thestresscomponentsmustsatisfythedifferentialequationsofequilibriumandcompatibilityequationinthecaseofplacestrain.Besides,theymustsatisfythestressboundaryconditions.2、由于位移边界条件无法用应力分量或其导数来表示，所以对位移边界条件或混合边界条件，不可能按应力求解得出精确解。Sincethedisplacementboundaryconditionscanbeexpressedneitherintermsofstresscomponentsnorintermsoftheirderivativeswithrespecttothecoordinates,displacementboundaryproblemsandmixedboundaryproblemscannotbesolvedintermsofstresses.第六十三页，共八十七页，2022年，8月28日对应力边界问题，应力分量满足了平衡微分方程、相应的相容方程和应力边界条件，其应力分量就能完全确定？在多连体中，要完全确定位移分量，还必须利用“位移须为单值”这个条件No，还必须考虑弹性体是否单连体Inthesolutionofelasticityproblems，itisnecessarytodistinguishbetweensimplyconnectedbodiesandmultiplyconnectedones.多连体：有两个或两个以上连续边界的物体，如：有孔口的物体单连体：只有一个连续边界的物体simplyconnectedbodies:anarbitraryclosedcurvelyinginthebodycanbeshrunktoapoint,bycontinuouscontraction,withoutpassingoutsideitsboundaries.Otherwise,thebodywillbesaidtobemultiplyconnected.第六十四页，共八十七页，2022年，8月28日Inthecaseofmultiplyconnectedbody,theremightbesomearbitraryfunctionsleadingtomulti-valueddisplacements,whichareimpossibleinacontinuousbody.Then,wehavetoconsidertheconditionofsingle-valueddisplacementstodeterminethestresses.Inplaneproblems,however,wemayalsobrieflydefineasimplyconnectedbodyasonewithonlyonecontinuousboundaryandamultiplyconnectedbodyasonewithtwoormoreboundaries.第六十五页，共八十七页，2022年，8月28日本节结束谢谢希望大家提出宝贵的意见和建议！谢谢！第六十六页，共八十七页，2022年，8月28日2.7弹性力学中的应力函数

体力不随坐标而变化（重力、惯性力）应力分量应满足：

（a）（b）Inmanyengineeringproblems,thebodyforcesareconstant.Ontheconditionofconstantbodyforces,thecompatibilityequationswillreducetothehomogeneousdifferentialequation

第六十七页，共八十七页，2022年，8月28日上述方程中不含材料常数，所以对两类平面问题都适用.Nowthedifferentialequationsofequilibriumandthestressboundaryconditions,aswellasthecompatibilityequation,donotcontainanyelasticconstantandarethesameforbothkindsofplaneproblems.只要弹性体（单连体）边界相同，外载相同，不管是何种材料，也不管是平面应力状态或平面应变状态，应力分布是相同的（位移及变形是否相同？）Inastressboundaryproblemforasimplyconnectedbodywithacertainboundaryandsubjectedtocertainexternalforces,thestresscomponentswillhavethesamedistributioninbothplanecondition.Thisconclusionisveryhelpfulintheexperimentalanalysis.（1）可将某种材料，某种状态下所求的应力分量的结论用于其他材料或其他状态（边界条件，外荷载相同）Wemayuseanymodelmaterialconvenientforstressmeasurementinsteadofthestructurematerialonwhichthemeasurementmightbeimpossible.第六十八页，共八十七页，2022年，8月28日（2）在实验中，可以用便于测量的材料来制造模型；或用平面应力情况下的薄板来代替平面应变情况下的长柱体.Wemayuseamodelinplanestresscondition(athinslice)insteadofoneinplanestraincondition(alongcylindricalbody).第六十九页，共八十七页，2022年，8月28日（a）（b）Thestresscomponentsaredeterminedbythedifferentialequations:（a）

isnonhomogeneousand,therefore,itsgeneralsolutionmaybeexpressedasthesumofaparticularsolutionandthegeneralsolutionofthehomogeneoussystem第七十页，共八十七页，2022年，8月28日考察（a），其解由非齐次方程的特解+齐次方程的通解特解设为：x=-Xx，y=-Yy，xy=0（c）或x=0，y=0，xy=-Xy-Yx或x=-Xx-Yy，y=-Xx-Yy，xy=0只要能满足方程即可取（c）式求齐次方程的通解第七十一页，共八十七页，2022年，8月28日将方程变为(1)(2)满足（1），必存在一个函数A（x，y）使得：Accordingtodifferentialcalculus,for(1),thereexistsacertainfunctionA(x，y)sothat：Rewrite第七十二页，共八十七页，2022年，8月28日同理满足（2），必存在一个函数B（x，y）使得：SoSimilarly,(2)ensurestheexistenceofanotherfunctionB(x，y)sothat：必存在一个函数（x,y），且Whichensurestheexistenceofstillanotherfunction(x,y)sothat第七十三页，共八十七页，2022年，8月28日所以，齐次方程的通解为：Weobtainthegeneralsolutionofhomogeneousequations：第七十四页，共八十七页，2022年，8月28日平衡微分方程的解为：（c）Now,thesuperpositionofthegeneralsolutionwiththeparticularsolutionyieldsthefollowingcompletesolution:Thefunction（x,y）

isknownasthestressfunctionforplaneproblems,ortheAiry’sstressfunction.第七十五页，共八十七页，2022年，8月28日（x,y）称为平面问题的应力函数—艾瑞应力函数Withanyfunction（x,y）,thestresscomponentssodefinedalwayssatisfythedifferentialequations.Thisfunction（x,y）isknownasthestressfunctionortheAiry’sstressfunction.

应力分量除满足平衡微分方程外，还必须同时满足相容方程，所以将（c）代入相容方程Inorderforthestresscomponentstosatisfythecompatibilityequationaswell,thestressfunctionmustsatisfyacertainequation.第七十六页，共八十七页，2022年，8月28日OrThisisthecompatibilityequationintermsofthestressfunction.

2(Xx)=

2(Yy)=0intheconditionofconstantbodyforce第七十七页，共八十七页，2022年，8月28日此方程为双调和方程，写为：orbesimplywrittenas：若不计体积力，即X=0；Y=0Whenbodyforcesarenotconsidered,thesolutionwillreduceto第七十八页，共八十七页，2022年，8月28日Thus：inthesolutionofplaneproblemsintermsofstresses,whenthebodyforcesareconstant,itisonlytosolveforthestressfunctionfromthesingledifferentialequation

andthenfindthestresscomponentsbyButthesestresscomponentsmustsatisfythestressboun