梁的弯曲变形分析

项目三材料力学基础任务一材料力学基本认识任务二应力分析§2–1构件轴向载荷分析§2–2梁的弯曲变形分析§2–3圆轴扭转变形强度分析§2–4剪切与挤压§2–5任务小结任务二应力分析一、弯曲正应力§2-2梁的弯曲变形分析工程上使用的直梁的横截面一般都有一个或几个对称轴。工程中以弯曲变形为主的杆件称为梁梁弯曲的工程实例FFFAFBPaAB阳台梁栏杆PABq桥式吊车卧式容器纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平。 对称弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。平面弯曲在横截面上，只有法向内力元素dN=σdA才能合成弯矩M，只有切向内力元素d=τdA才能合成剪力梁发生平面弯曲时，横截面上一般产生两种内力，即剪力和弯矩。在横截面上，只有弯矩M，没有剪力Fs，这种弯曲称为纯弯曲；横截面上同时有弯矩M和剪力Fs，这种弯曲称为横力弯曲。1）弯曲变形特征梁在纯弯曲时的平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。(1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长(2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的aa，bb垂直(3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。观察到以下变形现象:推论：梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴中性层中性轴中性层M--截面上的弯矩(N.mm)y--计算点到中性轴距离(mm)Iz--横截面对中性轴惯性矩在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力为：单位为MPa2）正应力计算公式及分布规律推导过程M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。

1）沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。中性轴上正应力为零。2）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。3）最大正应力发生在距中性轴最远处。当中性轴是横截面的对称轴时：横截面上的最大正应力：Wz抗弯截面系数Wz抗弯截面系数

公式适用条件：

1）符合平面弯曲条件(平面假设，横截面具有一对称轴）

2）p(材料服从胡克定律）

对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨高比大于5时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中，误差不超过1%。横力弯曲时，弯矩不再是常量。二、梁的正应力强度条件及应用强度条件：梁内危险截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲应力，即M—危险截面处的弯矩（N.mm）Wz—危险截面的抗弯截面模量（mm）

—材料弯曲许用应力(Mpa)3

对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。强度条件为：请注意：梁的最大工作拉应力和最大工作压应力有时并不发生在同一截面上。

一般情况下，许用弯曲正应力比许用拉(压)应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力外，其余各处应力较小。而轴向拉(压)时，截面上的应力是均匀分布的。

利用强度条件可以进行三方面的强度计算：1、已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度。2、已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸。3、已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷。例1：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比P1／P2＝？解：例2：

矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？解：由公式可以看出，该梁的承载能力将是原来的2倍。例3：图示简支梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=10MPa，校核该梁的强度。

AB解：画弯矩图剪力和弯矩的正负号规定2.从梁的变形角度剪力：顺时针为正逆时针为负弯矩：上凹为正下凹为负1.规定：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正该梁满足强度条件，安全例4:图示悬臂梁在自由端受集中力作用，P=20KN。试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：

(1)高宽比h/b=2的矩形；(2)圆形；(3)工字钢。P=20KN解:作弯矩图由强度条件(1)矩形b=6cmh=12cm(2)圆形d≈11.3cm(3)工字形查型钢表，取16号工字钢工字形截面最省料，圆形截面最费料。

你知道为什么吗？

合理选择截面形状是梁设计中的一个重要问题

本题中，工字形截面的弯曲截面系数略小于临界值，其最大工作应力将略大于许用应力，但不超过5%，这在工程中是允许的。xM+qLq0.2L0.2LLxM+三、提高梁强度的主要措施

合理布置梁的支座1.降低最大弯矩数值的措施

xM+xM+F=qLLqL合理布置载荷

F=qLxM+F=qLL/54L/5对称MxqL2/10合理布置载荷

合理布置载荷

2.合理选择梁的截面，用最小的截面面积得到大的抗弯截面模量。形状和面积相同的截面，采用不同的放置方式。Y1和Y2之比接近于下列关系,最大拉应力和最大压应力便可同时接近许用应力。最好是等强度梁，即：若为等强度矩形截面，则高为：Fxh(x)1.采用变截面梁纯弯曲