第6章 测量误差基本知识

《土木工程测量》西北民族大学土木工程学院第六章测量误差基本知识主要目的：

了解误差的来源与分类，中误差公式；理解观测值中误差、相对误差、极限误差；掌握由一组等精度观测值计算观测值中误差的公式。主要内容：

测量误差的分类、偶然误差的特征，观测精度的定量指标、观测值函数中误差。研究测量误差的目的：分析测量误差产生的原因及其性质，合理处理含有误差的测量数据，求出最可靠值，正确评估测量成果的精度。

第六章测量误差的基本知识测量误差概述偶然误差特性衡量观测值精度的标准误差传播定律等精度直接观测平差不等精度直接观测平差6.1测量误差概述通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。测量中的被观测量，客观上都存在着一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到观测值。

二、测量误差及其来源一、测量与观测值

1、测量误差定义真误差＝观测值－真值△=l-X观测值与真值之差，称为真误差。2、误差来源仪器设备不尽完善人的感官不稳定如：整平误差、照准误差、读数误差等。如：用只刻有厘米分划的普通水准尺进行水准测量、水准仪的视准轴不平行于水准管轴等。自然环境的影响如：温度、风力、大气折光…等因素三、研究目的衡量精度（评定精度）评定观测结果质量的优劣，即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差，简称平差。求取最可靠值（最或是值）最接近未知量真值的估值，称为最或是值。测量工作由于受到上述三方面因素的影响，观测结果总会产生这样或那样的观测误差，也就是说测量工作中观测误差是不可避免的。按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为粗差、系统误差和偶然误差三类。四、测量误差分类粗差也称错误，是由于观测者不正确地使用仪器或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等造成的错误或因外界条件意外的显著变动引起的差错，其数值往往偏离较大，使观测结果显著偏离真值，直接影响到观测结果的正确与否。（一）粗差（二）系统误差在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差具有累积性，它随着单一观测值观测次数的增多而积累。系统误差的存在必将给观测成果带来系统的偏差，反映了观测结果的准确度。准确度是指观测值对真值的偏离程度或接近程度。1、测定系统误差的大小对观测值加以改正。如用钢尺量距时，通过对钢尺的检定求出尺长改正数，对观测结果加尺长改正数来消除尺长引起的系统误差。2、采用对称观测的方法使系统误差在观测值中以相反的符号出现，加以抵消。如水准测量时，采用前、后视距相等的对称观测，经纬仪测角时，用盘左、盘右两个观测值取中数的方法可以消除视准轴误差等系统误差的影响。如果系统误差的大小在允许范围以内，可采用适当的措施消除或减弱其影响，通常有以下三种方法：3、检校仪器将仪器存在的系统误差降低到最小限度，或限制在允许的范围内，以减弱其对观测结果的影响。如经纬仪照准部管水准轴不垂直于竖轴的误差对水平角的影响，可通过精确检校仪器，并在观测中仔细整平的方法来减弱其影响。（三）偶然误差在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。对剔除了粗差的观测值，首先应排除系统误差，然后根据偶然误差的特性对该观测值进行数学处理，求出最或是值，同时评定该观测值精度。

如：经纬仪测角时，由于受照准差、读数误差、外界条件变化及仪器自身不完善而引起的误差…等综合影响。就单一观测值而言，测角误差无论是数值的大小或符号的正负不能预知，具有偶然性。研究测量误差主要是针对偶然误差而言。一、偶然误差的四个特性举例：abc△i=ai+bi+ci-180°（i=1,2,········358）将观测得到的358个误差，取区间△d为

，按数值大小及符号进行排列，统计结果列表

6.2偶然误差特性结论1.有界性：

在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；2.集中性：

绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；3.对称性：

绝对值相等的正负误差出现的机会相等；4.抵偿性：

偶然误差的算术平均值趋近于零，即二、误差概率分布曲线－△+△knd△(频率/组距)00.20.40.60.81.01.21.41.6-0.4-0.6-0.8-1.0-1.2-1.4-1.6-0.2k/n(频率)频率直方图偶然误差分布曲线（正态分布曲线）偶然误差出现在微小区间（,）内的概率(称为概率元素)

－△+△yd△△iy=f(△)p(△i)=f(△i)d△偶然误差出现在微小区间d内的概率的大小与f(i)值有关，f(i)越大，表示偶然误差出现在该区间内的概率也越大，反之则越小。高斯根据偶然误差的统计特性，推导出偶然误差分布的概率密度函数（即偶然误差分布曲线方程）概率密度自然对数底标准差偶然误差偶然误差三、分析标准差σ1.

σ与观测误差△及偶然误差概率密度f(△)的关系△愈小，f(△)愈大，△=0，△愈大，f(△)愈小，△→∞，f(△)→0即横轴是曲线的渐近线2.

σ与误差分布曲线拐点的关系－△y=f(△)y-++△3.标准差σ的概率值P（－σ＜△＜＋σ）+△－△y=f(△)y-+f(△)+△σ1＜σ2精度高精度低-△4.标准差σ的大小与误差分布曲线的形态关系离散程度6.3衡量观测值精度的标准一、方差和中误差方差观测误差平方总和△i=li－X方差和标准差的关系中误差（用m表示）就是标准差σ标准差σ的计算公式中误差估算值的计算公式△i=li－X观测次数一组观测值的中误差6.3衡量观测值精度的标准应用中误差公式衡量精度的计算实例例：对同一三角形，在同精度条件下两个同学进行观测，每次闭合差（△i

=ai+bi+ci-180°）分别为：甲同学（△i）：

+3″-2″-4″+2″0″+4″+3″+2″-3″-1″乙同学（△i）：

0″-1″-7″+2″+1″-3″0″+3″+1″+1″同理计算得：m乙=±3″.6∵m甲＜m乙

∴甲同学的观测精度高于乙同学的观测精度6.3衡量观测值精度的标准二、平均误差三、极限误差（容许误差）m容许=3｜m｜~2｜m｜中误差m容许

的概率含义注意：应从概率的意义去理解m容许6.3衡量观测值精度的标准四、用相对误差来衡量精度例：量测距离100m和200m，分别都量测6次，算得量测值中误差均为：m=±0.01m，求各段量测值的中误差。∵

m100＞m200∴量测200米的精度高于量测100的精度6.3衡量观测值精度的标准6.4误差传播定律一、倍乘二、和或差例：设在三角形A、B、C中，直接观测了∠A、和∠B。mA=±3″、mB=±4″，由∠A、∠B计算∠C，求mC。∠C=180°－∠A－∠Bm2

C=m

2A+m

2B=（±3″）2+（±4″）2mC=±5″推广注意：各观测值必须是相互独立的变量三、一般函数

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

四、误差传播定律公式应用实例例1：例2：有一长方形独立地观测得其边长a=20.000m0.004m,b=15.000m0.003m,求该面积s及ms。例3：确定限差

普通水准测量中，由实验知仪器至标尺75m时，一次读数中误差约±2mm，试确定高差闭合差的容许值。解：例4：在1：500地形图上量得某两点间的距离d=234.5mm，其中误差，求该两点间的地面水平距离D的长度及其中误差mD。

6.5等精度直接观测平差一、求最可靠值（最或是值）最可靠值观测次数观测值证明∵△1=l1－X△2=l2－X…………△n=ln－X二、评定精度求观测值的中误差求最可靠值中误差1.求观测值的中误差真值未知怎么办？△i=li－X用最或是值误差求观测值的中误差vi=li-x最或是值观测值最或是值误差真误差用真误差求观测值的中误差公式推导△i=li－X

vi=li-x△i－

vi=x

－X△1=v1+△2=v2+△n=vn+……………[△△]2=[vv]2+n

2+2

[v]v1=l1-xv2=l2-xvn=ln-x…………

[v]=[l

]-nxnnn[v]=0令：x－X==x－X2=(x－X)2此项等于0[△△]2=[vv]2+n2+2

[v]2.求最可靠值中误差公式推导

式中：l1、l2¨¨¨¨ln

为同等精度的一组观测值

m为同等精度一组观测值的中误差最可靠值中误差观测值中误差观测次数用最或是值误差求观测值中误差及最可靠值中误差的计算实例例：设对某角进行五次同精度观测，观测结果如下表，试求其观测值的中误差，及最或是值的中误差。

观测值Vvv

35°18′28″+3935°18′25″0035°18′26″+1135°18′22″-3935°18′24″-11[v]=0[vv]=20算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比。

不同的观测次数对应的M值

因此，增加观测次数可以提高算术平均值的精度。观测次数246810121416算术平均值中误差（米）0.710.500.410.350.320.290.270.25

当观测次数达到了一定数值后（如6次以后）随着观测次数的增加,中误差减小得愈来愈慢。因此，测量一般精度的角，要求观测1~3测回，对中等精度要求的角，观测3~6测回，只是对于精度要求很高的角才观测9~24测回。以观测次数为横坐标，算术平均值中误差M为纵坐标，并令m=±1，6.6不等精度直接观测平差例：ABCS=4kmS=2kmS=2.5kmE已知：HA、HB、HC，求：HE一、权（用p表示）

权是表示观测值可靠程度的一个相对性数值权的特性权愈大表示观测值愈可靠权是相对数值，故单独一个值无意义权始终取正号权可以用一数乘除其意义不变怎样定权？取中误差定权从实际出发任意常数观测值中误差水准测量的线路长度测角取测回数测回数在不同精度观测中引入“权”的概念，可以建立各观测值之间的精度比值，以便更合理地处理观测数据。例如，设一次观测值的中误差为m，其权为p0，

等于1的权称为单位权，而权等于1的中误差称为单位权中误差，一般用μ（m0）表示。对于中误差为

mi

的观测值，其权为

pi并设则设单位长度（一公里）的丈量中误差为m，则长度为s公里的丈量中误差为。取长度为c公里的丈量中误差为单位权中误差，即。权在距离丈量工作中的应用说明距离丈量的权与长度成反比则得距离丈量的权为:

在定权时，并不需要预先知道各观测值中误差的具体数值。在确定了观测方法后权就可以预先确定。这一点说明可以事先对最后观测结果的精度给予估算,在实