电工技术第十一章

第11章电路暂态过程

的时域分析11.1换路定律及初始值的计算11.2一阶电路的零输入响应11.3一阶电路的零状态响应11.4一阶电路的的全响应11.5一阶电路的三要素小结11.1换路定律及初始值的计算

当开关S闭合时,电阻支路的灯泡立即发亮,而且亮度始终不变,说明电阻支路在开关闭合后没有经历过渡过程,立即进入稳定状态。电感支路的灯泡在开关闭合瞬间不亮,图11.1实验电路然后逐渐变亮,最后亮度稳定不再变化。

电容支路的灯泡在开关闭合瞬间很亮,然后逐渐变暗直至熄灭。这两个支路的现象说明电感支路的灯泡和电容支路的灯泡达到最后稳定，都要经历一段过渡过程。一般说来,电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路的过渡过程。实际电路中的过渡过程是暂时存在最后消失,故称为暂态过程,简称暂态。

图11.1实验电路11.1.1过渡过程的概念一、电路的过渡过程S+–uCUSRCi开关S未动作前，是一种稳态（电路中的电压、电流是恒定值）i=0,uC

=0S+–uCUSRCiS接通电源，一段时间后进入另一稳态i

=0,uC=US过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。S+–uCUSRCiuctt1USO起始状态过渡状态新稳态二、过渡过程产生的原因电路中含有储能元件(内因)

能量不能跃变2.电路结构或电路参数发生变化——换路(外因)换路通电、断电、短路、电信号突变等参数变化

含有储能元件L、C（或称动态元件）的电路在换路时通常都要产生过渡过程，原因就是能量不能突变。11.1.2换路定律及初始值的计算

一、电路的初始条件和初始值t=0+与t=0-的概念换路在t=0时刻进行0-

换路前一瞬间uc(t）在t=0时刻的左极限p1230+

换路后一瞬间uc(t）在t=0时刻的右极限0t0-0+初始值：在初始条件：t=0+时各u，i的值。(6——3)

(1)作t=0-等效电路（一般电路已达稳态L、C）,求出uC(0—)和iL(0—);(2)根据换路定律确定出uC(0+)及iL(0+)。(6——20)二、换路定律

三、初始值的计算步骤和方法

1.先求出不能突变的初始值uC(0+)及iL(0+)：2.再求可以突变的初始值uR

(0+)、iR(0+)、uL

(0+)、iC(0+)等：

（1）画t=0+时的等值电路。3.由t=0+电路求所需各待求量的t=0+值——初始值。b.电容用理想电压源替代，电感用理想电流源替代。a.换路后的电路取t=0+时刻uC和iL值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同。

例：图示电路中,已知US=18V,R1=1Ω,R2=2Ω,R3=3Ω,L=0.5H,C=4.7μF,开关S在t=0时合上。设S合上前电路已进入稳态。试求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、uL(0+)、uC(0+)。

解：第一步,作t=0—等效电路如图（b）所示,这时电感相当于短路,电容相当于开路。第二步,根据t=0—等效电路,计算换路前的电感电流和电容电压:根据换路定律,可得

第三步,作t=0+等效电路如图（c）所示,这时电感L相当于一个12A的电流源,电容C相当于一个12V的电压源。

第四步,根据t=0+等效电路,计算其它的相关初始值:

例:图（a）所示电路在t=0时换路,即开关S由位置1合到位置2。设换路前电路已经稳定,求换路后的初始值

i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。

解:

(1）作t=0-等效电路如图（b）所示。则有（2）作t=0+等效电路如图（c）所示。由此可得

例：如图（a）所示电路,t=0时刻开关S闭合,换路前电路无储能。试求开关闭合后各电压、电流的初始值。

解：（1）根据题中所给定条件,换路前电路无储能,故得出

（2）作t=0+等效电路如图（b）所示,这时电容相当于短路,电感相当于开路。则有电路中响应的来源：（1）只有储能元件有储能提供能量，无独立电源，引起的响应叫零输入响应。（2）只有独立电源提供能量，储能元件无储能，引起的响应叫零状态响应。（3）电源和储能元件都有能量提供，引起的响应叫全响应。激励：可简单理解为向电路提供能量的元件。如独立电源和储能元件有储能时。响应：由激励引起的电路中的电压、电流。11.2一阶电路的零输入响应

名词介绍：1.RC电路的零输入响应根据图示电路电压、电流的参考方向,依KVL,有RC电路的零输入响应（换路后的电路）将（式中负号是因为电容电压和电流参考方向不一致）,将其代入上式可得11.2.1RC电路的零输入响应

零输入响应：独立电源为零，仅由储能元件初始储能作用于电路

产生的响应。

式是一个常系数一阶线性齐次微分方程。由高等数学知识可知其通解形式为uC=Aeλt。其中,常数λ是特征方程的根特征根,A为待定常数。

特征根为所以当t=0时，uC(0+)=Uo，代入上式,可得A=Uo,则（11—2）式（11—2）就是零输入响应,即电容放电过程中电容电压uC随时间变化规律的表达式。特征方程为

电压、电流以同一指数规律衰减，衰减快慢取决于RC乘积。从式、和式中可以看出,电压uC(t)、uR(t)和电流i(t)都是按同样的指数规律衰减的,它们随时间变化的曲线如图11-4（a）、（b）所示。

图11-4

RC电路零输入响应曲线2.RC电路的零输入响应曲线

3.时间系数τ

及其对暂态过程的影响所以称其为时间常数,并令引入时间常数τ后,uc（t）

、uR（t）、i（t）表达式可表示为

时间常数τ对暂态过程的影响

现以电容电压uC(t)为例来说明时间常数τ的意义。将t=τ、2τ、3τ、…等不同时间的响应uC值列于表11-1之中。

时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短。由图可见：

τ大，曲线衰减得慢，即过渡过程的时间长；τ小，曲线衰减得快，即过渡过程时间的短。当电压初始值一定：R

大（C不变）放电电流小放电时间长C

大（R不变）储能大U00.368U00.135U00.05U00.007U0工程上认为,经过3-5

,过渡过程结束。的物理意义：电容电压衰减到初始电压36.8%所需的时间。t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

例：

如图（a）所示电路,在t=0时刻开关S闭合,S闭合前电路已稳定。试求t≥0时的i1(t)、i2(t)和iC(t)。

解（1）作t=0–等效电路如图（b）所示。则有

（2）作t≥0电路如图（c）所示,其等效电路如图（d）所示。则等效电阻电路的时间常数最后可得在图（c）所示电路中,可求得

1.RL电路的零输入响应原理如图（a）RL电路的零输入响应在图（b）中,依KVL,可得将电感的伏安关系代入上式,可得(11—5)

式(11—5)也是一个常系数一阶线性齐次微分方程,与式（11—1）相似,其通解的形式为。其中,τ是电路的时间常数。特征方程为11.2.2RL电路的零输入响应

则

代入初始条件iL(0+)=Io,可得A=Io,故电路的零输入响应

式(11—7)中电感电压为负值,是因为电流不断减小,根据楞次定律可知,电感上的感应电压,力图维持原来电流不变,故实际的感应电压的极性与参考极性相反,因而为负值。(11—6)(11—8)(11—7)从式（11—6）、（11—7）和式（11—8）中可以看出,iL(t)、uR(t)和uL(t)都是按同一时间常数的指数规律衰减,它们随时间变化的曲线如下图所示。

RL电路的时间常数,同样具有时间量纲,其大小同样反映了电路中过渡过程进行的快慢。

2.RL电路零输入响应曲线i(0)一定：L大起始能量大

R小放电过程消耗能量小放电慢大

例：

如图（a）所示为一测量电路,已知如图（a）所示为一测量电路,已知L=0.4H,R=1Ω,US=12V,电压表的内阻RV=10kΩ,量程为50V。开关S原来闭合,电路已处于稳态。在t=0时,将开关打开,试求:（1）电流i(t)和电压表两端的电压uV(t);

（2）t=0时（S刚打开）电压表两端的电压。

解：（1）t≥0电路如图（b）所示,为一RL电路。电路的时间常数为

电感中电流的初始值为

根据式（11—6）,可得电感电流的表达式为电压表两端的电压为

该数值远远超过电压表的量程,将损坏电压表。

因此，在断开电感电路时,必须先拆除电压表。从上例分析中可见,电感线圈的直流电源断开时,线圈两端会产生很高的电压,从而出现火花甚至电弧,轻则损坏开关设备,重则引起火灾。因此工程上都采取一些保护措施。常用的办法是在线圈两端并联续流二极管或接入阻容吸收电路,如下图（a）、（b）所示。

（2）当t=0时RL电路切断电源时的保护措施

小结：4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

,RL电路

=L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。时间常数的简便计算：R1R2L=L/R等=L/(R1//

R2)+-R1R2L例1例2R等C=R等C零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在独立电源作用下产生的响应。11.3一阶电路的零状态响应列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuc（0-）=0一阶非齐次线性常微分方程解答形式为：齐次方程的通解非齐次方程的特解一、

RC电路的零状态响应与输入激励的变化规律有关，周期性激励时强制分量为电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0+)=A+US=0A=-US由起始条件uC

(0+)=0定常数A齐次方程的通解：特解（强制分量）=US：通解（自由分量，暂态分量）强制分量(稳态)自由分量(暂态)-USuC"uC'USti0tuc0二

、RL电路的零状态响应iLS(t=0)US+–uRL+–uLR解iL(0-)=0求:电感电流iL(t)已知tuLUStiL00

例：图示电路,换路前电路已达稳态,在t=0时开关S打开,求t≥0时的iL(t)和uL(t)。

解：因为iL(0_)=0,故换路后电路的响应为零状态响应。因此电感电流表达式可套用式（7—20）。又因为电路稳定后,电感相当于短路,所以

时间常数得11.4.1一阶电路的全响应及其两种分解方式iS(t=0)US+–uRC+–uCR稳态解uC'=US解答为

uC(t)=uC'+uC"uC

(0-)=U0非齐次方程=RC暂态解1.全响应uC

(0+)=A+US=U0A=U0-US由起始值定A

11.4一阶电路的全响应

强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0(1)全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)2.全响应的两种分解方式iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0iS(t=0)US+–uRC+–uCR=uC

(0-)=0+uC

(0-)=U0C+–uCiS(t=0)+–uRR(2)全响应=零状态响应+零输入响应零状态响应零输入响应等效+-ucuC

(0-)=U0iC+-U0uciC零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0(3)两种分解方式的比较零状态响应零输入响应物理概念清楚便于叠加计算

全响应=零状态响应+零输入响应全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)14.4.2三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令t=0+其解答一般形式为：应用一阶电路的三要素求解的步骤：p270（1）求初始值（前面已学习了）；（2）求稳态值（即t=∞时的数值）；

先画t=∞时的电路图（L短路，C开路），然后根据Ω定律、KCL、KVL求解。（3）求时间常数；（实际上求出等效电阻R即可求得时间常数）

★等效电阻的求法：画出从电容或电感看进去所有独立源不起作用时的电路图，利用电阻的串并联关系求等效电阻。1A2例113F+-uC已知：

t=0时合开关求换路后的uC(t)。解：tuc2(V)0.6670P271例例2i10V1HS1(t=0)S2(t=0.2s)32已知：电感无初始储能

t=0时合S1,t=0.2s时合S2

求两次换路后的电感电流i(t)。解：0<t<0.2st>0.2s(0<t0.2)(t

0.2)it(s)0.25(A)1.262小结

1.动态电路的过渡过程