平面点集与多元函数

平面点集与多元函数第一页，共四十四页，2022年，8月28日第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数第二页，共四十四页，2022年，8月28日一、平面点集坐标平面上满足某种条件

的点的集合，称为平面点集，并记作

常见平面点集全平面和半平面第三页，共四十四页，2022年，8月28日1.邻域:

以点X0=(x0,y0)为中心,以为半径的圆内部点的全体称为X0的邻域.即记Û(X0,)=U(X0,){X0

},称为

X0的去心邻域.如图特殊的平面点集第四页，共四十四页，2022年，8月28日X0X0U(X0,)Û(X0,)当不关心邻域半径时,简记为U(X0

)和

Û(X0).第五页，共四十四页，2022年，8月28日空心方邻域与集方邻域圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域的区别第六页，共四十四页，2022年，8月28日2.

内点:设E是一平面点集,X0=(x0,y0)E,若存在邻域U(X0,)E,则称X0为E

的内点.E的全体内点所成集合称为E的内部,记为D={(x,y)|x2+y2

1}如图第七页，共四十四页，2022年，8月28日xyox2+y2=111D易知,圆内部的每一点都是D的内点.但圆周上的点不是D的内点.第八页，共四十四页，2022年，8月28日x+y=0xy0如图D又如z=ln(x+y)的定义域D={(x,y)|x+y>0}易见,直线上方每一点都是D的内点.但直线上的点不是D的内点.第九页，共四十四页，2022年，8月28日若存在点的某邻域使得则称是集合的外点第十页，共四十四页，2022年，8月28日3.边界点:设E是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面上一个点.若X0的任何邻域U(X0,)内既有属于E的点,又有不属于E的点,则称X0为E

的边界点.E

的全体边界点所成集合称为E

的边界.记作E.如,例1中定义域D

的边界是直线x+y=0上点的全体.例2中定义域D

的边界是单位圆周x2+y2=1上的点的全体.如图第十一页，共四十四页，2022年，8月28日xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoDE的边界点可以是E中的点,也可以不是E中的点.第十二页，共四十四页，2022年，8月28日4.开集

设E是一平面点集,若E

中每一点都是E的内点.即E

intE,则称E

是一个开集.由于总有intE

E,因此,E

intE

E

=intE故也可说,比如,例1中D是开集,(D

=intD

),而例2中D不是开集.规定,,R2为开集.若E=intE,则称E是一个开集.第十三页，共四十四页，2022年，8月28日xyoE又比如,E如图若E不包含边界,则E为开集.若E包含边界,则E不是开集.第十四页，共四十四页，2022年，8月28日结论:

非空平面点集E为开集的充要条件是E中每一点都不是E的边界点.即E不含有E的边界点.证:必要性.

设E

为开集,XE,由开集定义知X为E的内点.故X不是E

的边界点.第十五页，共四十四页，2022年，8月28日充分性.

若E中每一点都不是E的边界点.要证E为开集.XE,由于X不是E的边界点.故必存在X的一个邻域U(X,),在这个邻域U(X,)内或者全是E中的点.或者全都不是E中的点,两者必居其一.由于XE,故后一情形不会发生.因此,U(X,)内必全是E中的点.故XintE,即,E

intE

,所以E是开集.第十六页，共四十四页，2022年，8月28日5.连通集

设E是一非空平面点集,若X,YE.都可用完全含于E的折线将它们连接起来,则称E为连通集.如图XYE连通YXE不连通第十七页，共四十四页，2022年，8月28日从几何上看,所谓E是连通集,是指E是连成一片的.E中的点都可用折线连接.例1,2中的D都是连通集.如图x+y=0xyoxyo11x2+y2=1第十八页，共四十四页，2022年，8月28日6.开区域(开域)设E是一平面点集.比如,例1中D是开区域.如图.

E从几何上看,开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.若E是连通的非空开集,则称E是开区域.第十九页，共四十四页，2022年，8月28日7.闭区域(闭域)若E是开域,记称为闭区域.如图.

E易见,例2中的D是闭区域.从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集.(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.第二十页，共四十四页，2022年，8月28日易见,例1中D是无界集,它是无界开区域,而例2中D是有界集,它是有界闭区域.若存在r>0,使EU(O,r),则称E为有界集.否则称E为无界集.8.设第二十一页，共四十四页，2022年，8月28日9.聚点.设E是平面点集,X0是平面上一个点.若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E.则称X0是E

的一个聚点.从几何上看,所谓X0是E的聚点是指在X0的附近聚集了无限多个E中的点.即,在X0的任意近傍都有无限多个E中的点.第二十二页，共四十四页，2022年，8月28日X0如图第二十三页，共四十四页，2022年，8月28日1.聚点定义也可叙述为:若X0的任一邻域内至少含有E中一个异于

X0的点.则称X0为E的一个聚点.(自证).2.E的聚点X0可能属于E,也可能不属于E.3.E的内点一定是E的聚点.第二十四页，共四十四页，2022年，8月28日4.若E是开区域.则E中每一点都是E的聚点.即,区域中的任一点都是该区域的聚点.一般,集合E的边界点不一定是E的聚点.但若E是开集,则E的边界点一定是E的聚点,自证.第二十五页，共四十四页，2022年，8月28日定义若存在使得则称点是的孤立点.

孤立点必为界点.第二十六页，共四十四页，2022年，8月28日邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间R3中去,且有类似的几何意义.它们还可推广到4维以上的空间中去,但不再有几何意义.第二十七页，共四十四页，2022年，8月28日（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)

是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点．第二十八页，共四十四页，2022年，8月28日点集的直径两点的距离（或）

并有三角不等式第二十九页，共四十四页，2022年，8月28日同时也有如下三角形不等式，即对上任何三点和都有例2证明：对任何恒为闭集

证明设为的任一聚点，要证.由聚点的定义，对任给，存在

第三十页，共四十四页，2022年，8月28日.又是的界点，所以对任意，由于上既有的点，又有非的点，于是上既有的点，又有非的点，由的任意性，推知是的界点，即，这就证明了为闭集.

第三十一页，共四十四页，2022年，8月28日二

中的完备性定理

1点列的极限

设为平面点列，为一固定，存在正整数，使时，有,则称点列收敛于点,记作或

点.若对任给的正数得当第三十二页，共四十四页，2022年，8月28日设则同样的，当以表示点与的距离时，也就等价于

第三十三页，共四十四页，2022年，8月28日2柯西收敛准则

定理16.1

（柯西准则）平面点列收敛的充要条件是：对任意，存在,当时，对一切正整数,都有

第三十四页，共四十四页，2022年，8月28日定理16.2(闭域套定理)设是1)

2)

则存在唯一点

3闭域套定理中的闭域列，满足：第三十五页，共四十四页，2022年，8月28日4聚点原理

定理16.3（聚点原理）设为有界在中至少有一个聚点.无限点集，则推论：有界无限点列必存在收敛子列

第三十六页，共四十四页，2022年，8月28日5有限覆盖定理

定理16.4（有限覆盖定理）设为有界闭域，为一开域族，它们覆盖（即），则在中必存在有限个开域，它们同样覆盖（即）

三二元函数的定义第三十七页，共四十四页，2022年，8月28日第三十八页，共四十四页，2022年，8月28日类似地可定义三元及三元以上函数．点集D---定义域，---值域.x、y

---自变量，z---因变量.函数的两个要素:定义域、对应法则.第三十九页，共四十四页，2022年，8月28日与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.例1求的定义域．解所求定义域为第四十页，共四十四页，2022年，8月28日