平稳时间序列预测

平稳时间序列预测第一页，共六十八页，2022年，8月28日第一节平稳时间序列预测的概念返回本节首页下一页上一页第二页，共六十八页，2022年，8月28日一、最小均方误差预测概念

二、平稳ARMA模型最小均方误预测的推导

第二节最小均方误预测(正交投影预测)返回本节首页下一页上一页第三页，共六十八页，2022年，8月28日一、最小均方误差预测概念（若预测函数是线性的，则称线性最小均方误预测）返回本节首页下一页上一页第四页，共六十八页，2022年，8月28日二、平稳ARMA模型最小均方误预测的推导返回本节首页下一页上一页第五页，共六十八页，2022年，8月28日由于预测只能建立在到t时刻为止的可用信息的基础上，因此，根据最小均方误预测的第二个准则，以及平稳可逆序列可以表示成传递函数形式的论断，可以将预测值表示成能够估计的项at，at-1，……，的加权和的形式：第六页，共六十八页，2022年，8月28日由上得以t为原点，向前l步的预测误差为：由于at是白噪声，故有：第七页，共六十八页，2022年，8月28日因此可得xt+l的最小均方误预测为：预测误差为：误差方差为：第八页，共六十八页，2022年，8月28日由上推导可知，（1）最小均方误预测误差的方差和预测步长l有关，而和预测的时间原点无关。（2）预测步长l越大，预测误差的方差也越大，即预测的准确性越差。第九页，共六十八页，2022年，8月28日上述最小均方误预测公式中包含有无穷项求和，而在实际中我们只可能有有限的数据，因此，只能用充分多项的有穷和近似，即：第十页，共六十八页，2022年，8月28日第三节条件期望预测一、条件期望预测的一般公式二、用条件期望进行预测三、ARMA(p,q)模型条件期望预测的一般结果四、ARMA(p,q)条件期望预测的置信区间返回本节首页下一页上一页第十一页，共六十八页，2022年，8月28日一、条件期望预测的一般公式用公式表示如下：返回本节首页下一页上一页第十二页，共六十八页，2022年，8月28日有关xt和at的条件期望有如下性质：第十三页，共六十八页，2022年，8月28日由于：利用条件期望的性质，对上式两端求条件期望，得xt+l的条件期望预测为：可见，xt+l的条件期望预测和它的最小均方误预测是一致的。第十四页，共六十八页，2022年，8月28日二、用条件期望进行预测1.AR(1)模型的条件期望预测(参见P130)设xt适合如下AR(1)模型:(1)以t为原点，向前一步预测公式(l=1)返回本节首页下一页上一页第十五页，共六十八页，2022年，8月28日(2)向前二步预测公式(l=2)(3)向前l步预测公式(l≥2)第十六页，共六十八页，2022年，8月28日由上推导可见，对于l>0，条件期望预测值满足如下差分方程：第十七页，共六十八页，2022年，8月28日2、AR(2)模型的条件期望预测设xt适合如下AR(2)模型:(1)以t为原点，向前一步预测公式(l=1)第十八页，共六十八页，2022年，8月28日(2)向前二步预测公式(l=2)(3)向前l步预测公式(l≥3)第十九页，共六十八页，2022年，8月28日可见，当l>1时，AR(2)预测值可由如下差分方程求出：(预测值的一般解略)第二十页，共六十八页，2022年，8月28日3、ARMA(1,1)模型的条件期望预测设(1)向前一步预测(l=1)第二十一页，共六十八页，2022年，8月28日(2)向前二步预测(l=2)(3)向前l步预测公式(l≥2)第二十二页，共六十八页，2022年，8月28日可见，当l>1时，ARMA(1,1)预测值也是由如下差分方程决定的。解得：由于：所以：因此：第二十三页，共六十八页，2022年，8月28日4、MA(1)模型的条件期望预测设(1)向前一步预测(l=1)第二十四页，共六十八页，2022年，8月28日(2)向前二步预测(l=2)(3)向前l步预测公式(l≥2)第二十五页，共六十八页，2022年，8月28日设：（1）向前一步预测(l=1)：对上式两端求条件期望得：三、ARMA(p,q)模型条件期望预测的一般结果返回本节首页下一页上一页第二十六页，共六十八页，2022年，8月28日(2)向前二步预测公式(l=2)(3)向前l步预测公式(l≤p，且l≤q)第二十七页，共六十八页，2022年，8月28日(3)向前l步预测公式(l>p，且l>q)第二十八页，共六十八页，2022年，8月28日由推导可以看出，对于ARMA(p,q)模型的向前l步预测(l>p，且l>q)，预测结果满足如下差分方程：（预测值解的一般形式参见课本P134）由解的一般形式可以看出，对于ARMA(p,q)模型，自回归部分决定了预测函数的形式，而滑动平均部分则用于确定预测函数中的系数。第二十九页，共六十八页，2022年，8月28日预测举例：例1：利用对zl14所建立的模型进行预测。先对原序列零均值化，然后建模如下：已知：第三十页，共六十八页，2022年，8月28日解：第三十一页，共六十八页，2022年，8月28日同理：第三十二页，共六十八页，2022年，8月28日当时，预测值满由模型自回归部分决定的差分方程：解此差分方程即可求出预测函数。第三十三页，共六十八页，2022年，8月28日前已证明，条件期望预测与最小均方误预测是一致的，因此，预测误差和误差方差也是相同的。因此，条件期望的预测误差为：四、ARMA(p,q)条件期望预测的置信区间返回本节首页下一页上一页第三十四页，共六十八页，2022年，8月28日预测误差的方差为：其中：第三十五页，共六十八页，2022年，8月28日l=1时的预测误差为：于是有：可见ARMA模型中白噪声项at其实就是以xt-1为原点，向前一步预测误差。预测误差和白噪声项的关系：再由预测误差方差的公式得：可见：向前一步预测误差的方差其实就是白噪声项的方差。第三十六页，共六十八页，2022年，8月28日预测误差的置信区间：对于正态过程，预测误差的分布为：所以：对xt+l预测的95%的置信区间为：因此：第三十七页，共六十八页，2022年，8月28日根据预测置信区间的公式得：可见：随着预测步长的加大，预测误差的置信区间也越大，预测结果越不准确。第三十八页，共六十八页，2022年，8月28日例1：zl14磨轮剖面数据，所建模型如下：第三十九页，共六十八页，2022年，8月28日于是以t=250为原点，向前一步、二步、三步预测的95%的置信区间分别为：第四十页，共六十八页，2022年，8月28日所以对于原序列，以t=250为原点向前一步，二步、三步的预测分别为：第四十一页，共六十八页，2022年，8月28日例2.对ARMA21.wf1文件中的序列x建模如下：已知：模型的剩余平方和为260.04。第四十二页，共六十八页，2022年，8月28日（1）求预测值解：a250未知，故需先将其求出。由已知数据得：第四十三页，共六十八页，2022年，8月28日同理：因此：第四十四页，共六十八页，2022年，8月28日第四十五页，共六十八页，2022年，8月28日（2）求预测值的95%的置信区间：由ARMA(2,1)模型的格林函数得：第四十六页，共六十八页，2022年，8月28日所以预测值的95%的置信区间为：第四十七页，共六十八页，2022年，8月28日在Eviews中利用ARMA模型进行预测。（1）Eviews中进行预测时的两个选项。Dynamic—动态预测。（含义）Static—一步超前预测。（含义）对于ARMA模型：若对序列进行拟合分析(即追溯预测)，则选static。若向前l步预测，则要选dynamic，并且要先对工作区间、样本区间进行调整如下：

(1)expand@firstt+l(2)smplt+1t+l具体操作见演示。第四十八页，共六十八页，2022年，8月28日(2)通过Eviews计算预测置信区间。第四十九页，共六十八页，2022年，8月28日例：根据磨轮剖面数据zl14.wf1，(1)建立模型。(2)模型追溯预测分析。(3)进行外推预测(l=3).第五十页，共六十八页，2022年，8月28日第四节适时修正预测一、问题的提出二、适时修正预测公式返回本节首页下一页上一页第五十一页，共六十八页，2022年，8月28日一、问题的提出返回本节首页下一页上一页第五十二页，共六十八页，2022年，8月28日二、适时修正预测公式1、适时修正预测公式的推导（1）适时修正预测公式返回本节首页下一页上一页第五十三页，共六十八页，2022年，8月28日2、适时修正预测公式的推导：第五十四页，共六十八页，2022年，8月28日综合上述推导，可得适时修正预测公式为：上述公式说明：新的预测值是在旧的预测值的基础上，加上一个修正项推算出来的，而这一个修正项比例于旧的一步预测误差，比例系数随着预测超前步数的变化而变化。第五十五页，共六十八页，2022年，8月28日例：对于zl14磨轮剖面数据，解：适时修正预测公式为：所以：第五十六页，共六十八页，2022年，8月28日第五节指数平滑预测与ARMA模型一、一次指数平滑预测的原理二、ARIMA(0,1,1)模型的预测返回本节首页下一页上一页第五十七页，共六十八页，2022年，8月28日一、一次指数平滑预测的原理一次指数平滑预测的基本公式为：其中：0<α<1为平滑系数。将上述公式展开得：如此展开下去可得：返回本节首页下一页上一页第五十八页，共六十八页，2022年，8月28日设有ARIMA(0,1,1)模型如下:将其表示成逆转形式得：返回本节首页下一页上一页二、ARIMA(0,1,1)模型的预测第五十九页，共六十八页，2022年，8月28日上式即为:对其作向前一步预测可得：令1-θ=α，上式可变为：其中，α=1-θ<1第六十页，共六十八页，2022年，8月28日由上述推导推可见：（1）一次指数平滑是ARIMA(0,1,1)模型预测的特例，且ARIMA模型提供了最优方式预测所需要的权数。（2）ARIMA预测也是最小均方误预测，但一次指数平滑预测却不具有这种最优特性。（3）对于ARIMA预测，仅对可逆过程才是有意义的，对于ARIMA(0,1,1)就是要求|θ|<1。（4）只有原序列适合于ARIMA(0,1,1)模型时，采用一次指数平滑预测才是合适的。第六十一页，共六十八页，2022年，8月28日所谓传递形式：就是将序列xt的当前值，表示为当前冲击值at

与过去冲击值at-i(i=1,2,3…)的线性组合。即:其中，系数函数Gj叫做记忆函数，又叫格林函数(Green’sfunction)。（参见P47、48）附：ARMA模型的传递形式和逆转形式第六十