平稳时间序列模型

平稳时间序列模型1第一页，共六十八页，2022年，8月28日前言在前面的章节中，模型的被解释变量都假定只受各个解释变量当期值的影响。但我们知道，在现实中很多被解释变量除了受解释变量当期值的影响外，还不可避免地受到解释变量滞后值的影响，这就是所谓分布滞后模型，或者前若干期的值决定了当期值，即自回归模型。这一类模型要求数据具有平稳性，本章将讨论平稳时间序列模型。2第二页，共六十八页，2022年，8月28日§12.1分布滞后模型一、分布滞后模型的含义以消费函数为例，假定某人的年薪增加了10000人民币，而且这一年薪的增加将一直保持下去。那么，这种收入的增加将会对个人的年消费支出产生什么影响呢？在得到收入的“永久性”增加后，人们通常不会急于把全部增加的收入一次性全部花完。比方说，收入增加者可能在收入增加后的第1年增加消费3000元，第2年增加2000元，第3年增加1000元，把所余的部分用于储蓄。到第3年末，此人的年消费支出将增加6000元。因而我们可以把此人的消费函数写成(12.1.1)式：

(12.1.1)3第三页，共六十八页，2022年，8月28日像(12.1.1)式这样的模型，如果时间序列模型中不仅包含解释变量的当期值，而且包括解释变量的滞后值，就把这种模型称之为分布滞后模型(Distributed-lagModel)，也称之为滞后变量模型。更一般地，我们把分布滞后模型写成(12.1.2)式：

(12.1.2)如果k是有限的，称模型(12.1.2)为有限分布滞后模型；如果k是无限的，称模型(12.1.2)为无限分布滞后模型。4第四页，共六十八页，2022年，8月28日分布滞后模型的几个基本概念1.短期乘数(Impactmultiplier)系数表示x在当期一个单位的变化，导致y的同期变化值，因此称为短期或即期乘数。2.中期乘数(Intermediatemultiplier)如果此后x的变化都保持在同一水平上，则给出下期y的变化，给出再下期y的变化，以此类推，这部分系数的和称为中期乘数。3.长期乘数(Long-runmultiplier)

(12.1.3)称之为长期乘数或总分布滞后乘数（Totaldistributed-lagmultiplier）。5第五页，共六十八页，2022年，8月28日对分布滞后模型系数的假定通常在讨论分布滞后模型时，总是假定：

(12.1.4)这一假定的经济学含义是：其一，解释变量x对被解释变量y的长期影响是有限的；其二，x的滞后时间越长，对y的当期影响逐渐衰减。6第六页，共六十八页，2022年，8月28日进一步，我们定义：

(12.1.5)βi*是βi对的标准化，给出某一时期的冲击效应占长期冲击或总冲击（即总滞后乘数）的比例。

7第七页，共六十八页，2022年，8月28日以(12.1.1)式为例

短期乘数为0.3，表示短期消费倾向(MPC)，而长期乘数为0.6（0.6=0.3+0.2+0.1）表示长期消费倾向。也就是说，随着收入增加1元，该消费者将在收入增加的当年提高他的消费水平约0.3元，第二年再提高0.2元，第三年再提高0.1元，即1元收入的增加对消费的长期效应就是0.6元。如果我们将(12.1.1)的每一个βi除以0.6，就分别得到0.5，0.33和0.17，这表明x的一个单位变化的总效应有50%在当期反映，第二期为33%，第三期为17%。

(12.1.1)8第八页，共六十八页，2022年，8月28日二、滞后效应产生的原因1.心理性因素由于受到心理预期的影响，经济主体的大多数决策行为都会表现出滞后性。主要原因是人们受自身习惯的影响，往往不能快速调整自己的行为来适应新的环境。2.时滞性因素例如，由于“蛛网效应”的存在，农产品供给量对价格的波动表现出时滞；从研究与开发(R&D)的投入到生产效率的提高，中间也涉及到相当长的时滞。3.制度性因素管理制度、合同等制度性因素也会导致滞后效应。例如，一个消费者如果其存款结构中定期存款占了较大比例，他要想改变理财计划，或者调整自己的消费水平，就会受到银行有关存款制度的限制。9第九页，共六十八页，2022年，8月28日三、分布滞后模型的估计方法分布滞后模型估计的困难对于有限分布滞后模型，外生滞后变量模型的估计原则上可以使用OLS法。但是在具体应用中还是存在一些实际问题：其一，解释变量x的最大滞后阶数k如何确定？如果k设定不正确，将带来模型的设定偏误问题。其二，滞后期数越长，自由度越小，这将导致模型估计不准或无法估计，并可能导致统计推断失效。其三，即使样本足够大，即使不考虑自由度问题，由于x的各期之间往往是高度相关的，因而也可能遇到滞后解释变量观测值之间存在的多重共线性问题。对于无限分布滞后模型，由于x的最大滞后阶数k是无限的，因此，直接应用OLS无法估计无限分布滞后模型。10第十页，共六十八页，2022年，8月28日1.阿尔特—丁伯根(Alt-Tinbergen)估计法

为了确定解释变量x的最大滞后期k，阿尔特和丁伯根提出了所谓顺序估计法。其基本思路是：在假定随机扰动项满足经典假设的前提下，首先做yt对xt的回归，然后做yt关于xt和xt-1的回归，再做yt关于xt、xt-1和xt-2的回归，依次添加的滞后项，直到滞后阶数不显著或至少有一个滞后阶数的系数改变符号时为止。阿尔特—丁伯根估计法的优点是原理简单，操作方便，但也存在一些缺陷，主要是解释变量滞后长度的选择存在数据挖掘(Datamining)问题和多重共线性问题。11第十一页，共六十八页，2022年，8月28日Alt-Tinbergen估计法的一个实例Alt根据1930年至1939年的季度数据，将燃油消耗量y依次对新订货单x及其滞后变量进行回归，得到了如下结果：从上面的回归结果可以看出，xt-2的符号不稳定，并且xt-2

、xt-3的符号为负，其经济意义难于解释，所以阿尔特最后选择第二个回归模型作为最佳估计式。12第十二页，共六十八页，2022年，8月28日2.阿尔蒙(Almon)估计法

(12.1.2)对于分布滞后模型(12.1.2)：我们通常要求其系数满足条件(12.1.4)式

(12.1.4)即系数βi的和为有限以及βi渐进地趋于0，但βi以什么方式趋于0没有作具体要求。13第十三页，共六十八页，2022年，8月28日阿尔蒙用多项式去逼近模型(12.1.2)中的系数βi

，阿尔蒙假定系数βi可以用下面的阿尔蒙多项式变换去逼近：i=0,1,2,…,k;m<k

(12.1.6)将(12.1.6)代入(12.1.2)式并整理各项，模型变为以下形式：

(12.1.7)其中，

(12.1.8)14第十四页，共六十八页，2022年，8月28日对于(12.1.7)式，满足经典假定的条件，故使用OLS进行估计。将估计的参数代入(12.1.6)式，就可求出原分布滞后模型参数的估计值。在实际应用中，阿尔蒙多项式的次数m应视函数形式而定，但通常取得较低，一般取2或3，很少超过4，因为如果m的值取的过大，则达不到通过阿尔蒙多项式变换减少解释变量个数从而提高自由度的目的。阿尔蒙估计法的最大优点就是解决了自由度不足的问题，由于模型中解释变量和待估参数都减少了，因此，一般不会有自由度不足的问题。此外，阿尔蒙估计法具有较大的灵活性。为了使参数结构假定更好地符合的实际变化形式，可以通过改变多项式(12.1.6)的阶数m，从而提高逼近的精度。阿尔蒙估计法也存在着一些缺陷。其一，滞后期数k数如何确定，阿尔蒙估计法本身并没有解答；其二，多项式(12.1.6)阶数m的确定往往具有主观性。15第十五页，共六十八页，2022年，8月28日§12.2自回归分布滞后模型所谓自回归分布滞后模型，就是模型中的解释变量包含被解释变量的滞后项，如

(12.2.1)由于自回归分布滞后模型描述了被解释变量相对于它的过去值的时间路径，故又称之为动态模型(Dynamicmodel)，下面介绍几种常见的自回归模型。16第十六页，共六十八页，2022年，8月28日一、适应性预期模型适应性预期模型基于经济理论基础，认为经济活动主体是根据他们对某些经济变量的“预期”做出决策的。其核心思想是：影响yt的因素不是xt

，而是对xt

的预期，即：

(12.2.2)其中，yt为被解释变量，为解释变量预期值，ut为随机扰动项。17第十七页，共六十八页，2022年，8月28日由于预期变量不可直接观测，如何获取解释变量的预期值，是适应性预期模型的难点。因此，实际应用中需要对预期的形成机理做出某种假定，从而将不可直接观测的预期变量用可观测的变量xt表述出来。适应性预期模型假定：

(12.2.3)其中，参数称之为预期系数或调整系数。(12.2.3)式的含义是：如果，表明经济活动主体对解释变量xt的当期预期值等于前一期预期值加上一个修正量，该修正量是前一期预期误差的一部分。显然，的值越接近1，调整幅度也越大，这一调整过程也叫做自适应调整过程；如果，则，表明经济活动主体对xt的当期预期值和实际值完全相同，即预期是立即全部实现的；如果，则，表明经济活动主体将前期的预期值作为当期预期值。18第十八页，共六十八页，2022年，8月28日将(12.2.3)式改写为：

(12.2.4)(12.2.4)式表明当期预期值是前一期预期值和本期实际值xt的加权平均，权数分别为和。如果等于0，说明本期实际值被忽略，预期没有进行修正。如果等于1，则以本期实际值作为预期值，本期预期与前一期预期无关。在一般情况下，0<<1。19第十九页，共六十八页，2022年，8月28日将(12.2.4)式代入(12.2.2)式，可以得到：

(12.2.5)将(12.2.2)式滞后一期，并乘以得到：

(12.2.6)用(12.2.5)式减去(12.2.6)式，得到：

(12.2.7)

(12.2.8)(12.2.8)式显然是一个一阶自回归分布滞后模型。20第二十页，共六十八页，2022年，8月28日二、部分调整模型部分调整模型(Partialadjustmentmodel)首先是由尼洛夫(Nerlove)基于这样的事实提出的：为了适应解释变量的变化，被解释变量有一个预期的最佳值与之对应。例如，一个企业本期商品库存量的最佳库存值取决于当期实际销售量；为了保持一定的经济增长水平，央行应该有一个预期的最佳货币供应量。因此，部分调整模型核心思想是考察自变量观测值与同期因变量希望达到的最佳值之间的关系，用模型表述就是：

(12.2.9)其中，为被解释变量的预期最佳值，xt为解释变量的现值。21第二十一页，共六十八页，2022年，8月28日由于被解释变量的预期最佳值是不可直接观测的，尼洛夫提出被解释变量的实际变化仅仅是预期变化的一部分，即所谓部分调整假设：

(12.2.10)其中，δ为调整系数，它代表调整速度。yt-yt-1表示实际变化，y*t-yt-1表示预期的理想变化。δ越接近1，表明调整到预期最佳水平的速度越快。若δ=1，则yt=y*t，表明实际变动等于预期变动，调整在当期完全实现。若δ=0，则yt=yt-1，表明本期值与上期值一样，完全没有调整。通常情况下，0<δ<1。部分调整假设(12.2.10)式可以改写成：

(12.2.11)即被解释变量yt的实际值是本期预期最佳值y*t与前一期实际值的yt-1加权，权重分别为δ和1-δ。22第二十二页，共六十八页，2022年，8月28日将(12.2.9)式代入(12.2.11)式，可得部分调整模型的转化形式：

(12.2.12)(12.2.12)式称为部分调整模型，令，，，，(12.2.12)式可以改写成：

(12.2.13)(12.2.13)式表明部分调整模型本质上也是一个自回归分布滞后模型。23第二十三页，共六十八页，2022年，8月28日三、自回归分布滞后模型的估计1.自回归分布滞后模型的OLS估计量的性质我们已经讨论了两种自回归分布滞后模型：适应性预期模型和部分调整模型，这些模型都有如下的共同形式：

(12.2.14)如前述，以上两种自回归模型由于包含了被解释变量滞后项yt-1作为解释变量，以及随机扰动项的形式发生了变化，导致yt-1与vt的相关，vt

也可能存在自相关，因此，OLS估计量是有偏的。显然，最重要的问题是yt-1

与vt

的相关。24第二十四页，共六十八页，2022年，8月28日2.自回归分布滞后模型的自相关检验为了解决自回归分布滞后模型的自相关检验问题，Durbin在1970年提出了一个新的检验方法，即h检验法，也称之为德宾h检验，其h统计量为：

(12.2.15)其中，n为样本容量，为(12.2.14)式中系数的估计值的方差。为的一阶自相关系数，通常取，d为通常意义下的DW统计量。这样h统计量可以写成：

(12.2.16)25第二十五页，共六十八页，2022年，8月28日运用德宾h检验应该注意的问题（2）如果自回归分布滞后模型中包含多个解释变量和多个滞后被解释变量，德宾h检验仍然适用。（1）如果，h统计量无意义，德宾h检验的检验结果无效。26第二十六页，共六十八页，2022年，8月28日3.自回归分布滞后模型的工具变量估计法估计自回归分布滞后模型必须处理的问题是yt-1与vt

的相关，常用的估计方法是工具变量(InstrumentVariable)估计。工具变量估计的核心思想是：既然yt-1与vt

相关，如果能找到这样一个代理(Proxy)变量，这个变量与yt-1高度相关，但与vt

不相关，用代理变量代替，就可以消除yt-1与vt

相关的问题。27第二十七页，共六十八页，2022年，8月28日在实际应用中，工具变量有多种选择方式。常见的方式是选用yt-1的估计值作工具变量，代替yt-1后进行估计，其步骤是：第一步，先对模型(12.2.17)进行OLS回归：

(12.2.17)实际应用时xt的滞后期k最多取3，假设估计结果为：

(12.2.18)滞后一期得到：

(12.2.19)第二步，以作为工具变量代替(12.2.14)式中的随机解释变量yt-1，可以得到：

(12.2.20)第三步，对(12.2.20)式进行最小二乘回归，得到参数的估计值。28第二十八页，共六十八页，2022年，8月28日§12.3ARMA模型时间序列ARMA模型由Box-Jenkins(1976)

年提出，在介绍ARIMA模型之前，为了分析的方便，我们先介绍时间序列分析的几个基本概念。29第二十九页，共六十八页，2022年，8月28日一、时间序列分析的几个基本概念1.随机过程由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为，简记为xt。随机过程也可以简称为过程，其中每一个元素xt都是随机变量。将每一个元素的样本点按序排列，称为随机过程的一个实现，即时间序列数据，亦即样本。2.白噪声过程对于一个随机过程，如果均值E(xt)=0，；方差

，；协方差

()，那么这一随机过程称为白噪声过程。30第三十页，共六十八页，2022年，8月28日3.平稳随机过程如果一个随机过程的均值和方差在时间过程上都是常数，并且在任何两期之间的协方差只和两期间隔的时间长度相关，而和计算该协方差的实际时间不相关，则称该随机过程为平稳随机过程，也称之为协方差平稳过程或者弱平稳过程。用公式表述就是，对于一个随机过程xt

，如果其均值，方差，协方差的大小只与k的取值相关，而与t不相关，则称xt为平稳随机过程。白噪声过程显然是一个平稳过程。31第三十一页，共六十八页，2022年，8月28日数据的平稳性对时间序列分析非常重要，经典的时间序列回归分析，都是假定数据是平稳的。直观的看，平稳的数据可以看作是一条围绕其均值上下波动的曲线。下面，我们用由Eviews软件模拟一个均值为5、标准差为0.2、样本量为500的平稳数据。图12.1平稳数据示例32第三十二页，共六十八页，2022年，8月28日4.自相关函数对于平稳的随机过程，其期望和方差均为常数，而滞后k期的自协方差就是相隔k期的两个随机变量xt与xt+k的协方差，定义为：自协方差随着k的依次取值构成了序列，称为随机过程xt

的自协方差函数。当k=0时，自协方差退化为方差，即xt与xt+k

之间的自相关系数定义如下：

(12.3.1)33第三十三页，共六十八页，2022年，8月28日因为，对一个平稳随机过程有：所以(12.3.1)式可以改写为：对应的样本自相关系数为：

(12.3.2)由(12.3.2)定义的构成的序列(k=…,-2,-1,0,1,2…)，称为自相关函数，用于考察随机变量的样本与其滞后期的相关强度。34第三十四页，共六十八页，2022年，8月28日5.偏自相关函数回顾第四章中介绍的多元回归模型的偏回归系数，所反映的是在其他解释变量保持不变的情况下，某个解释变量对被解释变量条件期望值的边际影响，即偏效应。偏自相关函数的含义和偏回归系数类似。用表示k阶自回归模型中第j个回归系数，则k阶自回归模型为:

(12.3.3)其中是最后一个回归系数。若把看作是滞后期k的函数，则称

(12.3.4)为偏自相关函数。可以看出，上式中每一个回归系数恰好表示xt与xt-k在排除了其中间变量影响之后的相关系数，所以偏自相关函数由此得名。35第三十五页，共六十八页，2022年，8月28日二、ARMA模型概述时间序列ARIMA模型一般可分为四种类型，即自回归模型(AR)、移动平均模型(MA)、自回归移动平均模型(ARMA)和积分自回归移动平均模型(ARIMA)。36第三十六页，共六十八页，2022年，8月28日1.自回归模型概述

（1）自回归模型的定义如果一个随机模型中的元素仅仅受其滞后项和服从白噪声过程的随机扰动项的影响，则称这种模型为自回归模型(AutoRegression，AR)。如一阶自回归模型，记作AR(1)，可用下式表示：

(12.3.5)其中为自回归参数，随机项ut为服从0均值，方差为的正态分布，且相互独立的白噪声序列。

(12.3.6)更一般地，p阶自回归模型，记作AR(p)，可用下式表示：37第三十七页，共六十八页，2022年，8月28日（2）自回归模型的平稳条件只有产生时间序列的随机过程是平稳的，运用自回归模型才有意义。因此，我们首先探讨自回归模型的平稳条件。直观的看，自回归模型AR(1)的平稳性条件是。Why?一阶自回归模型(12.3.5)可写为：……

(12.3.7)可以看出，一阶自回归模型(12.3.5)实际上是白噪声序列的线性组合。若保证AR(1)模型具有平稳性，必须收敛，即必须满足。38第三十八页，共六十八页，2022年，8月28日2.移动平均模型(MA)概述（1）移动平均模型的定义若时间序列xt为它的当期和滞后若干期随机扰动项的线性组合，即：

(12.3.8)其中，是参数，ut是均值为0，方差为的白噪声过程，称(12.3.8)式为q阶移动平均(MovingAverage，MA)模型，记为MA(q)。之所以称为“移动平均”，是因为xt是由ut的加权和构造而成，类似于一个平均。由定义可知，任何一个q阶移动平均过程都是由q+1个白噪声过程的加权和组成，由于白噪声过程是平稳的，所以任何一个移动平均模型都是平稳的。39第三十九页，共六十八页，2022年，8月28日（2）移动平均模型的可逆性对于MA(1)模型：

(12.3.9)给定条件，如果MA(1)模型可以表述为

(12.3.10)即MA(1)模型可以转化为一个无限阶的自回归模型，我们称MA(1)模型具有可逆性。由AR(p)模型平稳性可知，MA(1)模型具有可逆性的条件是<1。更一般地，任何一个可逆的MA(q)模型可转换成一个无限阶的自回归模型。40第四十页，共六十八页，2022年，8月28日（3）自回归模型与移动平均模型的关系以上的分析说明，一个平稳的AR(p)模型可以转换为一个无限阶的移动平均模型；一个可逆的MA(q)模型可转换成一个无限阶的自回归模型。AR(p)模型，只需考虑平稳性问题，不必考虑可逆性问题。MA(q)模型，只需考虑可逆性问题，不必考虑平稳性问题。41第四十一页，共六十八页，2022年，8月28日3.自回归移动平均模型(ARMA)概述（1）自回归移动平均模型的含义如果时间序列xt为它的当前与前期的随机扰动项，以及它的前期值的线性函数，即

(12.3.11)则称上述模型为自回归移动平均模型，记为ARMA(p,q)，其中p和q分别表示自回归和移动平均部分的最大阶数。（2）自回归移动平均模型的平稳性和可逆性

ARMA(p,q)过程的平稳性只依赖于其自回归部分；ARMA(p,q)过程的可逆性则只依赖于移动平均部分。42第四十二页，共六十八页，2022年，8月28日三、ARMA模型的识别对于AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p,q)模型，在进行参数估计之前，需要进行模型的识别。识别就是确定模型的阶，即确定AR(p)模型中的p、MA(q)模型中的q和ARMA(p,q)模型中的p和q。识别的主要工具是自相关函数和偏自相关函数及其图形。43第四十三页，共六十八页，2022年，8月28日1.AR(p)模型的识别

可以证明，AR(p)模型自相关函数的递推公式为：

(12.3.15)由此可见，AR(p)模型的自相关函数是非截尾序列，称为拖尾序列，时间间隔越长，自相关的程度越弱。因此，自相关函数拖尾，是AR(p)模型的一个明显的特征。(12.3.15)式表明，AR(p)模型的偏自相关系数为p+1处为0。也就是说，AR(p)模型的偏自相关系数在p+1呈现出截尾特征。因此，可以基于AR(p)模型的截尾特征确定其阶数p。44第四十四页，共六十八页，2022年，8月28日AR(p)模型的自相关函数和偏自相关函数的计算看起来较为复杂，但是计量经济学软件都有自相关和偏相关函数的菜单，使用起来非常方便。以Eviews软件为例，我们来看AR(p)模型的自相关函数和偏自相关函数。45第四十五页，共六十八页，2022年，8月28日图12.3AR(1)模型xt=0.7xt-1+ut的自相关图和偏自相关图自相关图呈现出拖尾特征

偏自相关图在1阶以后呈现出截尾特征46第四十六页，共六十八页，2022年，8月28日2.MA(q)模型的识别可以证明：MA(q)模型只有q期记忆，自相关函数在q处截尾。也就是说，我们可以根据自相关系数是否从某一点开始为0来判断MA(q)模型的阶。对于MA(q)模型的偏自相关函数，由于任何一个可逆的MA(q)模型都可以转化为一个系数按几何递减的AR(p)模型，所以MA(q)模型的偏自相关函数出现缓慢衰减的特征，即拖尾特征。47第四十七页，共六十八页，2022年，8月28日图12.4MA(1)模型xt=ut+0.8ut-1的自相关图和偏自相关图偏自相关图呈现出拖尾特征

自相关图在1阶以后呈现出截尾特征48第四十八页，共六十八页，2022年，8月28日3.ARMA(p,q)模型的识别ARMA(p,q)模型的自相关函数，可以看作AR(p)模型的自相关函数和MA(q)模型的自相关函数的混合物。当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p、q均不为0时，如果当p、q均大于或者等于2，其自相关函数的表现形式比较复杂，有可能呈现出指数衰减、正弦衰减或者二者的混合衰减，但通常都具有拖尾性质。ARMA(p,q)模型的偏自相关函数，也是无限延长的，其表现形式与MA(q)模型的偏自相关函数类似。根据q的取值不同以及参数θi的不同，ARMA(p,q)模型的偏自相关函数呈指数衰减或正弦衰减混合形式。49第四十九页，共六十八页，2022年，8月28日图12.5ARMA(1,1)模型xt=0.8xt-1+ut-0.3ut-1的自相关图和偏自相关图

从图12.5可以看出，ARMA(1,1)模型的自相关图和偏自相关图均是在k=1达到峰值后呈现出按指数衰减的拖尾特征。50第五十页，共六十八页，2022年，8月28日图12.6ARMA(2,2)模型xt=0.8xt-1-0.3xt-2+ut-0.5ut-1+0.7ut-2的自相关图和偏自相关图从图12.6可以看出，ARMA(2,2)模型的自相关图和偏自相关图在k=1、2达到两个峰值后按指数或正弦衰减。51第五十一页，共六十八页，2022年，8月28日4.ARMA模型的识别规则如果平稳时间序列xt的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，则xt是ARMA(p,q)模型。至于模型中的p和q阶具体取什么值，则要从低阶开始逐步试探，直到合适的模型为止。52第五十二页，共六十八页，2022年，8月28日§12.4向量自回归模型（VAR）

一、VAR模型的含义及特点1980年，Sims提出了向量自回归模型(Vectorautoregressivemodel,VAR)。VAR模型采用多方程联立的形式，但与联立方程模型需要区分内生变量和外生变量不同的是，VAR模型假定在模型中的变量全部为内生变量，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。由于VAR模型在预测方面的精度远高于联立方程模型，加之估计方法较联立方程模型简单等优势，VAR模型自诞生以来，逐渐取代了联立方程模型，在实际运用中占有重要地位。53第五十三页，共六十八页，2022年，8月28日我们首先分析最简单的双变量VAR模型。假设国内生产总值(yt)与货币供应量(xt)之间的关系可以用下式来表述：

(12.4.1)其中，，。随机扰动项在VAR术语中也称之为新息(Innovations)。(12.4.1)式用矩阵表示为：

(12.4.2)

(12.4.3)54第五十四页，共六十八页，2022年，8月28日(12.4.3)式称之为一阶向量自回归模型，记为VAR(1)。所谓“自回归”，是因为模型的右端出现被解释变量的滞后项，而“向量”是因为模型涉及到两个或两个以上的变量，不同于前述的单个变量的AR(p)模型。更一般地，若有n个内生变量并滞后p期，即：

(12.4.4)

y1t,y2t,…,ynt表示n个不同的内生变量，n个变量的VAR(p)为：

(12.4.5)VAR(p)55第五十五页，共六十八页，2022年，8月28日VAR模型的特点

1.VAR模型不以严格的经济理论为依据，对变量不施加任何协整限制，因而上述的VAR模型也称之为非限制性向量自回归模型(UnrestrictedVAR)。2.VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量。如果包含当期变量，就是所谓结构性向量自回归模型(StructuralVAR,SVAR)所分析的问题。3.非限制性VAR模型在预测方面具有优势，特别是样本外的近期预测。因为在VAR模型中的解释变量不含有当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。4.VAR模型包含较多的待估参数，比如一个包含两个变量的VAR(2)模型，其最大滞后期k=2，则有kn2=2×22=8个参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大，加之VAR模型不以严格的经济理论为依据，所以对于模型的参数估计值，通常并不分析其经济意义。5.一般而言，VAR模型是针对平稳数据的模型，在建立VAR模型之前，可对数据进行平稳性检验，检验方法可按照AR(p)的平稳性进行检验。

56第五十六页，共六十八页，2022年，8月28日二、VAR模型滞后期的选择

建立VAR模型一个重要的问题就是如何正确地确定滞后期k。一方面，如果k值过大，会导致自由度减小，直接影响VAR模型参数估计量的有效性。另一方面，k值太小，误差项的自相关会很严重，并导致参数的非一致性估计，因为在VAR模型中适当增加滞后变量的个数，可以消除误差项中存在的自相关。现有的确定滞后阶数的方法主要包括似然比(LR)法、信息准则法等。57第五十七页，共六十八页，2022年，8月28日1.确定滞后阶数的赤池信息准则

(12.4.6)其中，表示残差，T表示样本容量，k表示最大滞后期。选择最佳k值的原则是使AIC的值达到最小。2.确定滞后阶数的施瓦茨信息准则

(12.4.7)选择最佳k值的原则也是使SC值达到最小。SC准则也可以称之为贝叶斯信息准则(BayesInformationCriterion，BIC)。58第五十八页，共六十八页，2022年，8月28日三、VAR模型的估计因VAR模型的每个方程中只包含内生变量及其滞后项，它们与扰动项是uit(i=1,2,…,n)渐近不相关的，所以可以用常规的最小二乘法依次估计每一个方程，得到参数的一致估计量。即使扰动项有同期相关，OLS估计仍然是适用的。而且，在VAR模型中，各变量的滞后直接出现在模型之中，由此导致扰动项序列不相关的假设并不严格要求。59第五十九页，共六十八页，2022年，8月28日四、VAR模型的脉冲响应函数我们已经论述了，VAR模型不是建立在经济理论基础之上的，是一种乏理论(Atheoretic)的模型，无需对变量作任何先验性的约束。因此，在分析VAR模型时，往往不分析一个变量的变化对对另一个变量的影响，而是分析当一个误差（脉冲）项发生变化，也就是模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析方法称为脉冲响应函数(Impulseresponsefunction，IRF)分析法。60第六十页，共六十八页，2022年，8月28日脉冲响应函数作用的原理首先考虑下面的双变量VAR(1)模型

(12.4.8)假定VAR模型(12.4.8)式从第0期开始活动，并设x-1=y-1=0，设于第0期给定扰动项u10=1，u20=0，并且其后均为0，即u1t=u2t=0（t=1,2,…），即第0期给x以脉冲，下面我们来分析x和y在不同时期对来自x的脉冲u10=1的响应。61第六