平均互信息的凸性

平均互信息的凸性第一页，共三十四页，2022年，8月28日平均互信息定义及含义信息/数据处理定理Review性质：对称性、非负性、极值性第二页，共三十四页，2022年，8月28日山农信息论：为设计有效而可靠的通信系统提供理论依据

2.给定信道，实现可靠通信的最大的传输速率即信道容量？信源编码定理：R>R(D)信道编码定理：R<C

问题：对应互信息的最大值和最小值是否存在？互信息凸性回答2个问题：有效性，可靠性1.给定信源，保精度信源编码所需最小编码速率？第三页，共三十四页，2022年，8月28日凸集若集合（n维欧氏空间），有且对任意实数，有显然，n维欧氏空间为一凸集合。0≤λ≤1则称为C为凸集合。第四页，共三十四页，2022年，8月28日概率矢量构成集合为凸集定义若一个K维矢量=(1,2,…,K)的所有分量为非负的，且和为1，即就称为概率矢量。引理概率矢量全体所构成的区域R是凸的。证：若,β∈R，对0≤≤1构造矢量=＋(1-)β因此是概率矢量，仍属于R，所以R是凸的。第五页，共三十四页，2022年，8月28日凸函数定义定义在凸集R上的一个实函数f，若它对所有α，β∈R和0≤≤1满足

f()+(1－

)f(β)≤f(

＋(1－

)β)就称函数f为R上的凸∩函数。若式中不等号的方向相反，就称f为凸∪函数。若等号仅当=0或1时成立，就称f为严格凸∩或严格凸∪的。第六页，共三十四页，2022年，8月28日在[a,b]上定义的上凸函数第七页，共三十四页，2022年，8月28日在[a,b]上定义的下凸函数第八页，共三十四页，2022年，8月28日凸函数性质1)若f()是凸∩的，则-f()是凸∪的，反过来也成立。2)若f1(),f2(),…,fL()是R上的凸∩函数，c1,c2,…,cL是正数，则为R上的凸∩函数，若其中任一个是严格凸的，则和式也是严格凸的。

3)(Jensen不等式)若f()是R上的凸∩函数，则E[f()]

≤

f(E())第九页，共三十四页，2022年，8月28日Jensen不等式:若f()是R上的凸∩函数，则

E[f()]≤f(E())

其中，E表示数学期望。证明：只对离散情况证明。对于离散变量，令，则E[f()]≤f(E())可写成可用归纳法进行证明。对两点分布，根据凸函数的定义有假设当分布点个数为n时不等式成立，考察分布点个数为n+1时的情况。第十页，共三十四页，2022年，8月28日对，令则有

第十一页，共三十四页，2022年，8月28日定理:

如果函数f(x)在某个区间上存在非负(正)的二阶导数，则f(x)为该区间上的凸∪函数(严格凸∪函数)。证明：利用函数f(x)在x0点的泰勒级数展开:其中x*位于x0和x之间。根据假设，因此，对任意的x，最后一项总是非负。设，0<λ<1取，可得类似地，取，可得第十二页，共三十四页，2022年，8月28日因此，得

证毕

同理可证：如果函数f(x)在某个区间上存在的二阶导数≤0（<0)，则f(x)为该区间上的上的凸∩函数(严格凸∩函数)。第十三页，共三十四页，2022年，8月28日利用该定理，可以立即判定：

都是严格凸∪函数，为严格凸∩函数。

第十四页，共三十四页，2022年，8月28日令是定义在R上的凸∩函数，其中=(1,2,…,K)存在且在R域上连续，在R上为极大的充分必要条件是凸函数性质Kuhn-Tucker条件为一概率矢量。假定偏导数

对所有’k>0

对所有’k=0其中为一常数。第十五页，共三十四页，2022年，8月28日证：首先证明充分性。设函数f在点满足KT条件，今证明为极大值，即对任意，恒有。由于f是凸∩函数，所以

f()＋(1－

)f()≤f[

＋(1－

)]0＜＜1即f()－f()≤{f[

＋(1－

)]－f()}/

0＜＜1第十六页，共三十四页，2022年，8月28日因上式对任意(0＜＜1)成立，可令→0，得第十七页，共三十四页，2022年，8月28日由KT条件有将其代入上式得从而证明为极大值。现在证明必要性。令使f达到极大值，并假定偏导数在处连续。则对任意,有式中0＜＜1。以θ除两边并令θ→0得第十八页，共三十四页，2022年，8月28日即因为是概率矢量，所以至少有一个分量，例如i是严格正的，即i>0。选择另一概率矢量满足式中。于是有对于也可选负值和正数，有和第十九页，共三十四页，2022年，8月28日即对，因为概率矢量的关系只能选择，由此,得证毕第二十页，共三十四页，2022年，8月28日熵的凸性证明：令则由于当且仅当时等号成立第二十一页，共三十四页，2022年，8月28日平均互信息量凸性由互信息的定义式：可知，它是输入分布及转移概率分布的函数。可以记为：如果转移概率分布固定，I(X,Y)就是先验概率Q(X)的函数；如果信源先验概率固定，I(X,Y)就是转移概率P(Y/X)的函数。第二十二页，共三十四页，2022年，8月28日[例]

设二元对称信道(BSC)的信源空间为：X={0,1};[Q(X)]={ω,1-ω};求I(X;Y)

01-p0pp

11-p1因为已知转移概率，所以利用公式I(X,Y)=H(Y)-H(Y/X)

。

H(Y/X)=-∑∑q(xi)p(yj/xi)logp(yj/xi)=∑q(xi){-[plogp+(1-p)log(1-p)]}

=H(p)

其中：H(p)=-[plogp+(1-p)log(1-p)]

另外：为了求H(Y)，利用w(yj)=∑q(xi)p(yj/xi)；可得：

w(y=0)=ω(1-p)+(1-ω)pw(y=1)=ωp+(1-ω)(1-p)H(Y)=-{[ω(1-p)+(1-ω)p]log[ω(1-p)+(1-ω)p]+[ωp+(1-ω)(1-p)]log[ωp+(1-ω)(1-p)]}

=H(ω(1-p)+(1-ω)p)可得平均互信息量为：

I(X,Y)=H(ω(1-p)+(1-ω)p)-H(p)第二十三页，共三十四页，2022年，8月28日当固定信源先验概率分布ω时，I(X,Y)是信道转移概率p的下凸函数，如图所示。

01/21p从图中可知，当信源固定后，存在一种BSC信道，p=1/2，使在信道输出端获得信息量最小，即等于0。

I(X,Y)

H(ω)第二十四页，共三十四页，2022年，8月28日根据这个关系，当p值一定，即固定信道，可知I(X,Y)是ω的上凸函数，其曲线如图：

I(X,Y)1-H(p)

01/21ω

从图中可知，当BSC信道的信道矩阵固定后，若输入符号集X的概率分布不同，在接收端平均每个符号获得的信息量就不同。只有当输入为等概分布时即，p(0)=p(1)=1/2时，接收端的信息量才为最大值1-H(p)。第二十五页，共三十四页，2022年，8月28日定理2.5.2当条件分布p(y/x)给定时，平均互信息I(X;Y)是输入分布q(x)的凸∩函数。证明：令q1和q2是输入集X上的任意两个概率矢量，相应的互信息为I1和I2，令θ满足0≤θ≤1，q=θq1＋(1－θ)q2是合成概率矢量，此时输入X和输出Y之间的互信息为I。今需要证明:.

令p1(xy)=q1(x)p(y/x),p2(xy)=q2(x)p(y/x),有

p(xy)=q(x)p(y/x)=θp1(xy)

＋(1－θ)p2(xy)

第二十六页，共三十四页，2022年，8月28日根据平均互信息的定义，得

因为logx是严格凸∩函数，利用Jensen不等式，所以第二十七页，共三十四页，2022年，8月28日当信道一定时，平均互信息是信源先验概率的上凸函数对于一定的信道转移概率分布，总可以找到一个先验概率分布为P的信源X，使平均互信息达到相应的最大值Imax，这时称这个信源为该信道的匹配信源。不同的信道转移概率对应不同的Imax，或者说Imax是P(Y/X)的函数。平均互信息的凸性第二十八页，共三十四页，2022年，8月28日定理2.5.3当集X的概率分布保持不变时，平均互信息量是转移概率分布p(y/x)的下凸∪函数。证明：令p1和p2是两个任意转移概率分布，相应的平均互信息为I1和I2，令θ满足0≤θ≤1,p=θp1＋(1－θ)p2是合成条件概率分布，此时输入X和输出Y之间的互信息为I。今需要证明.

令

根据平均互信息的定义，得第二十九页，共