幂级数解法本征值问题

幂级数解法本征值问题第一页，共五十一页，2022年，8月28日系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出

微分方程．这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常现各种各样的特殊函数方程．它们大多是二阶线性常微分方程定解问题.不失一般性，我们讨论复变函数的线性二阶常微分方程

（13.1.1）第二页，共五十一页，2022年，8月28日其中

为复变数，

为选定的点，为复常数．

这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出．所谓幂级数解法，就是在某个任意点的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，

代入方程以逐个确定系数．第三页，共五十一页，2022年，8月28日幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，

可借助于解析函数的理论进行讨论．

求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题．尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的求解问题中．1．方程的常点和奇点概念第四页，共五十一页，2022年，8月28日定义13.1.1常点奇点

如果方程（）的系数函数

和在选定的点的邻域

中是解析的，则点方程（13.1.1）的常点.

如果选定的点是或的奇点，则点

叫作方程（13.1.1）的奇点．叫作第五页，共五十一页，2022年，8月28日2.常点邻域上的幂级数解定理定理

若方程（）的系数

关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有下面的定理．和为点的邻域中的解析函数，

则方程在这圆中存在唯一的解析解

满足初始条件，其中是任意给定的复常数．第六页，共五十一页，2022年，8月28日故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数.

既然线性二阶常微分方程在常点的邻域上存在唯一的解析解，

（13.1.2）其中为待定系数

第七页，共五十一页，2022年，8月28日为了确定级数解（）中的系数，具体的做法是以

（）代入方程（），合并同幂项，令合并后的系数分别为零，找出系数之间的递推关系，

最后用已给的初值，来确定各个系数从而求得确定的级数解．下面以阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步骤．

第八页，共五十一页，2022年，8月28日15．1．2常点邻域上的幂级数解法勒让德方程的求解注明：推导解的过程仅供了解求解的方法，读者可直接参考其结论.由分离变量法得到了勒让德方程，下面讨论在邻域上求解阶勒让德方程

第九页，共五十一页，2022年，8月28日即为

故方程的系数

在，单值函数，均为有限值，它们必然在解析．

第十页，共五十一页，2022年，8月28日点故可设勒让德方程具有是方程的常点．根据常点邻域上解的定理，解具有泰勒级数形式.（13.1.3）

泰勒级数形式的解，将其代入勒氏方程可得系数间的递推关系（13.1.4）第十一页，共五十一页，2022年，8月28日因此，由任意常数

可计算出任一系数

．首先在（13.1.4）中令可得偶次项的系数(13.1.5)令，则可得奇次项的系数

第十二页，共五十一页，2022年，8月28日将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的形式

(13.1.7)(13.1.6)其中

分别是偶次项和奇次项组成的级数，

第十三页，共五十一页，2022年，8月28日不是整数时，无穷级数，容易求得其收敛半径均为1

时，发散于无穷

是非负整数

递推公式（13.1.4）

是偶数时，是一个次多项式，但函数

为在处发散至无穷的无穷级数

是奇数时，

是次多项式，而仍然是在处无界的无穷级数．

是负整数时

一个是多项式，另一个是无界的无穷级数

第十四页，共五十一页，2022年，8月28日所以不妨设

导出这个多项式的表达式,是非负整数（因在实际问题中一般总要求有界解）．

把系数递推公式（13.1.4）改写成(13.1.8)于是可由多项式的最高次项系数来表示其它各低阶项系数第十五页，共五十一页，2022年，8月28日取多项式最高次项系数为(13.1.9)第十六页，共五十一页，2022年，8月28日这样取主要是为了使所得多项式在处取值为1，即实现归一化.可得系数的一般式为(13.1.10)因此，我们得出结论：第十七页，共五十一页，2022年，8月28日是非负偶数时，勒让德方程有解（13.1.11）是正奇数时，勒让德方程有解第十八页，共五十一页，2022年，8月28日(13.1.12)对上述讨论进行综合，若用表示不大于的整数部分，用大写字母写成统一形式解（13.1.13）第十九页，共五十一页，2022年，8月28日我们已经指出，在是非负整数时，勒让德方程的基本解组

中只有一个多项式，这个多项式勒让德多项式，也称为第一类勒让德函数；另一个是无穷级数，这个无穷级数称为第二类勒让德函数，记为大写的．可以得出它们的关系（13.1.14）第二十页，共五十一页，2022年，8月28日经过计算后，可以通过对数函数及勒让德多项式表示出，所以第二类勒让德函数的一般表达式为(13.1.15)特别地第二十一页，共五十一页，2022年，8月28日(13.1.16)可以证明这样定义的，其递推公式和的递推公式具有相同的形式．而且在一般情况下勒让德方程的通解为两个独立解的线性叠加第二十二页，共五十一页，2022年，8月28日（13.1.17）但是在满足自然边界（即要求定解问题在边界上有限）的形式容易看出，它在端点处是无界的，故必须取常数．从而勒让德方程的解就只有第一类勒让德函数即勒让德多项式：

第二十三页，共五十一页，2022年，8月28日注：法国数学家勒让德（A.M.Legendre1725～1833）最早专门研究过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的一类特殊函数．由于这类函数具有多项式形式，所以命名这类函数为勒让德函数.综合可得如下结论：（1）当不是整数时，勒让德方程在区间上无有界的解．

第二十四页，共五十一页，2022年，8月28日（2）当为整数时，勒让德方程的通解为，其中称为第一类勒让德函数（即勒让德多项式），

称为第二类勒让德函数.为整数，且要求在自然边界条件下(即要求在有界解的情况下)求解，则勒让德方程的解只有第一

类勒让德函数即勒让德多项式．因为第二类第二十五页，共五十一页，2022年，8月28日勒让德函数在闭区间上是无界的．13.1.3奇点邻域的级数解法：贝塞尔方程的求解前一章分离变量法中，我们引出了贝塞尔方程，本节我我们来讨论这个方程的幂级数解法．按惯例，仍以表示自变量，以表示未知函数，则阶贝塞尔方程为(13.1.18)第二十六页，共五十一页，2022年，8月28日其中，为任意实数或复数（这里特用而不是，表示可以取任意数）．但在本书中由于方程的系数中出现只限于取实数，项，所以在讨论时，不妨暂先假定注意在贝塞尔方程中，因为故为的奇点

第二十七页，共五十一页，2022年，8月28日下面介绍奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解．设方程（13.1.18）的一个特解具有下列幂级数形式：(13.1.19）其中，常数和可以通过把和它的导数代入（13.1.18）来确定．第二十八页，共五十一页，2022年，8月28日将（13.1.19）及其导数代入（13.1.18）后，得化简后写成要使上式恒成立，必须使得各个次幂的系数为零，从而得下列各式：第二十九页，共五十一页，2022年，8月28日(13.1.20)(13.1.21)(13.1.22)由（13.1.20）得；代入（13.1.21），得．现暂取，代入（13.1.22）得第三十页，共五十一页，2022年，8月28日(13.1.23)因为，由（13.1.23）知：都可以用表示，即第三十一页，共五十一页，2022年，8月28日第三十二页，共五十一页，2022年，8月28日由此知（13.1.19）的一般项为是一个任意常数，令取一个确定的值，就得（13.1.18）的一个特解．我们把取作这样选取与后面将介绍的贝塞尔函数的母函数有关第三十三页，共五十一页，2022年，8月28日运用下列恒等式使分母简化，从而，使（13.1.19）中一般项的系数变成（13.1.24）以（13.1.24）代入（13.1.19）得到贝塞尔方程（13.1.18）的一个特解第三十四页，共五十一页，2022年，8月28日用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛．这个无穷级数所确定的函数，称为阶第一类贝塞尔函数，记作(13.1.25）第三十五页，共五十一页，2022年，8月28日至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解另外，当即取负值时，用同样方法可得贝塞尔方程（13.1.18）的另一特解（13.1.26）比较（13.1.25）与（13.1.26）可见，只需在（13.1.25）的右端把换成，即可得到（13.1.26）．故不论是正第三十六页，共五十一页，2022年，8月28日数还是负数，总可以用（13.1.25）统一地表达第一类贝塞尔函数．讨论：(1)当不为整数时，例如为分数阶贝塞尔函数：等,当时，第三十七页，共五十一页，2022年，8月28日故这两个特解与是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解构成法知道，（13.1.18）的通解为（13.1.28）其中，为两个任意常数．根据系数关系，且由达朗贝尔比值法第三十八页，共五十一页，2022年，8月28日故级数和的收敛范围为(2)当为正整数或零时（注:以下推导凡用

即表整数），故有（13.1.27）称为整数阶贝塞尔函数．易得第三十九页，共五十一页，2022年，8月28日需注意在取整数的情况下，和线性相关，这是因为:第四十页，共五十一页，2022年，8月28日由于是零或正整数，只要，则是零或负整数，而对于零或负整数的函数为无穷大，所以上面的级数实际上只从开始．若令，则从零开始，故第四十一页，共五十一页，2022年，8月28日可见正、负阶贝塞尔函数只相差一个常数因子这时贝塞尔方程的通解需要求出与之线性无关的另一个特解．我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与线性无关．这样我们可以得到第四十二页，共五十一页，2022年，8月28日其中，为欧拉常数．第四十三页，共五十一页，2022年，8月28日可以证明这个函数，确实是贝塞尔方程的一个特解，而且是与线性无关的（因为当时，为有限值，而为无穷大）．综述：（1）当，即不取整数时，其贝塞尔方程的通解可表示为（2）不论是否为整数，贝塞尔方程的通解都可表示为其中为任意常数，为任意实数．

第四十四页，共五十一页，2022年，8月28日15．2施图姆－刘维尔本征值问题

从数学物理偏微分方程分离变量法引出的常微分方程往往还附有边界条件，这些边界条件可以是明确写出来的，也可以是没有写出来的所谓自然边界条件．满足这些边界条件的非零解使得方程的参数取某些特定值．这些特定值叫做本征值（或特征值、或固有值），相应的非零解叫做本征函数（特征函数、固有函数．求本征值和本征函数的问题叫做本征值问题.

第四十五页，共五十一页，2022年，8月28日常见的本征值问题都可以归结为施图姆(J.C.F.Sturm)－刘维尔(J.Liouville)本征值问题，本节就讨论具有普遍意义的施图姆－刘维尔本征值问题．15．2．1施图姆－刘维尔本征值问题定义13.2.1施图姆－刘维尔型方程通常把具有形式（13.2.1）第四十六页，共五十一页，2022年，8月28日的二阶常微分方程叫作施图姆－刘维尔型方程，简称施－刘型方程．研究二阶常微分方程的本征值问题时，对于一般的二阶常微分方程通常乘以适当的函数，就可以化成施图姆－刘维尔型方程

(13.2.2)第四十七页，共五十一