《数学模型》考试试卷

i中的参数和--i中的参数和“商人怎样安全过河”模型中状态随决策化的规律

kkk

k

。(允许决策模型)1、2“公平的席位配”模型的Ｑ值法计算公式是

p2in(ii

。3、“存贮模型”的平均每天的存贮用计算公为

C)

crT2

,当

T

cr

时

C)

最小。4、中表示决策变量x0-1变量的语句是

。5、一阶自治微分方程

f(x

的平衡点指满足

0

的点，若

fx

成立则其平衡点是稳定。6、市场经济中的蛛网模型中，只有当

K

f

<

K

时，平衡

P才是稳定的。7“染病模型”中模型指被传染康复以后,还有可能再次感染该传染病８、传送统的效率模型中独立地考虑每个钩子被触到的概率为

,则共有个钩子的统中一周期内被触到个钩子的概率为

C

p)

。９、我们建立的“人口指数增”模型是根据微分程dxx(1)根据微分程建立的。

(t)x0

rt

建立的。们所建立的“人口阻增长”模型是10“人怎样安全过河”型中,从初始状态到终止态中的每步决策都是集合D的元素。、建立起的“录像计数器的途”模型

t

bna

可用数值积分

方法求得12双层玻璃功效”模型中,建筑规范一般要求双层玻璃的间隙约玻璃厚度１／２“双层玻璃的功效”模型中,按建筑规实施的双层玻璃可节

97%。1３传染病模”中所未涉及的模型模型ﻩ14、下列正则链和吸收链的说法中错误的是吸收链存在唯一极限状态概率。15“人口阻滞增长”模型在“指数长模型”的前提下，假设人增长率是人口数量的减函数。1６人口阻滞长”模型中当人口数

xt

/2

时，人口长率最大当人口数

xt

时人口增长率为０。17“录像计数器的读数”多方法建立模型都是

t

2v

n2

v

n

“录像机计数器的用途”模型中,计数器的读数

的增长速越来越慢。1８双层玻璃功效”模型中，所依的基本物理公式是

Q

d

。19“经济长模型”中，衡量济增长的标有

总产值的长、单位劳动力产值的长。“经济增长模型中,要保持总产0ﻩﻩ

Q()

增长,即要求。20“传染病模型”中模型指被传染康复以后具有免疫性,不再感该传染病。21．贮模型的优化目标是平均每天费用最。--

ijij22“经济增长模型”中，保持平均个劳动力的产值

--z(t)

增长，即求劳动力的增长率小于初投资增长率。２３层次分析模型”中成比对矩阵

A(a)ij

如果满足下

aijjk

式，则称一致阵。二:概念题1、一般情况下，建立数学模型要经过哪些步骤(5)答:数学建模的一步骤包括:模型准备、模型设、模型构成、模型求解、模分析、模型检验、模应用。2、学习数学建模应注意培养哪几个能力？(５分)答:观察力、联想、洞察力计算机应用能力。3、人工神经网络方法有什么特点？(5分)答：(1)可处理非线性;（2）并行结构．;(3）具有学习和记能力；(4）对数据的可容性大;(5）神经网络可以用大规集成电路来实现。三：问答1、请用简练的语言全面的描述数学建模的过程数学模型特点。(10’)答(1)建模过程:模型准备模型假设→模型构成→模型求→模型检验→模型应用。(2)数学模型的特点：逼真性和可行性；渐进性;强健性;可转移;非预制性条理性技艺性;局限性;２、某家厂生产桌子和椅子两家具桌子售价元个,椅子销售价格30元个,生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种生产一个桌子需要木4小时油漆工2时。生产一个椅子要木工小时，油漆工1小。该厂每个月可用木工时为１20小时油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能每月的销收入最大？（建立模型不计算（０’)解１确定决策变量：产桌子的数量x2=生产椅子的数量（２确定目标数:家具厂的目标是销售收入最大（确定约束条件:４０（木工时限制)２x12＞５０油漆工工限制)（建立的数学模型为：．3x2２x1+x2＞x1,x2>0３、有四工人要分别指派他们完成四项不同的作每人做各项工作所消耗时间如下所示，问应如何指派作，才能使总的耗时间为最少？(建模型不计）解：

令

0,i人jx不指折派i项

目

标

函

数：15xxxxx21约束条件--

**--**ﻩ

.

４、结合身的实际情况，谈谈学建模的方法和自能力的培（10’)答:（１)方法:机分析、测试分析、实例研…；(２能力:想象力、察力…。5、试用简练的语言全面的描述商人样安全过河”该类问。(10答求决策

(,)

，使状态

k

按照转移

kkk

k

s，则初始状态经有限步

到达状态

s

n

。6、分别采用三种方法用一句和一个公描述录像带计数器读数与经过时间之间的关系模型。(１０’)i答1)当右轮盘转到第圈时其半径

r

，周长为

2

r)

,

圈的总长恰等于录像带转过的度,即：m

2

rwi)i1

；(2）虑录像带过的长度与厚度的乘积，等于轮盘面积的增加,即

r2r2]wvt

;(3)考虑用微积分的理论,有某小时间段

dt

内录像带过的长度为速度乘以,等于右轮盘绕上的录带长度（由于

m

)，即：vdt

(rknwkdn

;以上三种法都可得到t

v

n

v

。7、简述差分方程平衡点的稳定性定义、三阶线常系数差方程平稳点稳定性的判别条件非线性差分方程平稳点的定性判别件。答）差分方程的平衡点

*

若满足：

k

时，

x*

，则称平点是稳定的。（若三阶线性系差分程

x

ax11

b2

的特征程

b1

的根

i

(i1,2,3)

均有

i

1

，则该差方程的平衡点

*

是稳定的否则是不稳定的。（3非线性差分方程

x

k1

f(k

的平衡点

*

若满足

f*)

则平衡点是稳定的否则若

f'(x*)

，--

，123，1/1，123，1/1412，则平衡点

x*

是不稳定。８:某中学有三个年级共10０0学生，一年级有人,二年级316三年级有４６５人。现要选名校级优秀学生，请用下列办分配各年级的优秀学名额：(1）比例加惯的方法；(2Q值。另外如校级优秀学生名额增加到重新进行配,并按照席位分配的理想化准则分析分结果。解:２0个席位:（1)、

204.3820,

因此比例惯例分配结果为5、、9个（）三方先分得、６、9，

Q4

２８，

Q

２37７.52465Q9

240２.5,最，按值法分配结为46、10个。２１个席:

219316465216.636219.765100010001000,

因此比例惯例分配结果为７1０个。）三方先分得6、１个，

Q3

465

１95.68,

QQ1最大，按值法分配结果５、６、１个。显然此例比例加惯例的方法违了席位分配的理想准则1,而

Q

值法分配果恰好也满足准则因此

Q

值法分配果是同时符准则和准则。９:大学生毕业生小李为选择业岗位建了层次分析模型,影响就业的因考虑了收情况、发展空间社会声誉个方面,

35

有三个就岗位可供选择。层次构图如图，已知准层对目标层的成对比较矩

1/251/2

,方案层准则

1/7

7

层的成对较矩阵分别为

1/212

271/3161,，

。请根据层分析方法为小李确定佳的工作岗位。收入

选择发展就发展

声誉解:用“和法”近似计算得：

岗位1

岗位

岗位3矩阵

A

对应的权量为：

(0.65,0.23,0.12)

，最大特根为．003697，

CR,矩阵

1

对应的权量为：

(0.08,0.32,0.60)

,最大特征根为３．９82

CR--

，，10，，10＝矩阵

B

对应的权量为

(0.67,0.24,0.09)

，最大特根为３００

0.0035CR矩阵

B

对应的权量为：

(0.70,0.19,0.11)

,最大特征根为3．９２２,

组合权向为

因此最佳岗位为岗位3。某保险公司欲开发一人寿保险投保人需每年缴纳一定数的额险费,如投保人某未按时缴纳保费则视为保险合同终（退保保公司需要投保人的健康疾病、死亡和保的情况出评估从而制定适的投保金额和理赔额。各种状态相互转移的情况和概如图。试建立马氏模型分析在投保人投保时别为健康或疾病状态下，均需要经过多少年投人就会出现退保或死的情况，以及出现种情况的概率各是多少?退保

死亡0.030.050.15健康

0.07疾病100.7.01解:由题意，转移概率矩阵为

0.03

,从而知状态退保”和“死亡”为两个吸收态,此为吸收链。MI)

0.30.10.60.7

=

y

(5,6)=因此在投保时健康疾病状态下，平均需要经过

5

13

或年投保人就会现退保或死亡的情。0.28

0.34

，因此在保时健康状态下，被退保”和“死亡”收的概率别为０.72和0.2８；在保时疾病态下,“退保”和“死亡”吸收的概分别为0.6和４。、人早从山下旅店出发沿一条路径上山下午5:0０到达山顶并留宿．次日早8:00沿同一路径下山，下午回到旅.证明这人必2中同一时刻经过路途中某一地点(1分)证明记出发时为到达目的刻为,从旅店到山顶路程为设某人上山路径的运动方为,

下山运动程为（ｔ)是一天内刻变量，则f(t)(ｔ)在]是连续函数。作辅助函数F(t）ｔ),它也是连续的则由ｆ＞0０(b)=0,可知F（b）>０由介值定理知存在t０属于(使F(０）=０,即f（ｔ０）

。2、三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船能容纳二由他们自己划行,随从们秘约在河的任一岸,一旦随的人数比商人多,就杀人越货，但是何乘船渡的大权掌握在商人们中，商人们怎样才安全渡河？（１5分)解:模型构成

记第ｋ次河前此岸的商人数为

k

,随从数为

k

1,２，

k

，

k

=２将二维向量

k

=(

k

，--

,331/4791/0.569,331/4791/0.569131

k

)定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合记做

。0,1,2,3;x3,xy

记第k次渡船上的商人数为

k

随从数为

k

将二维向量

k

＝(

k

k

）定义为策。允许决策集合记

由小船的容量可知

,v0,1,2

状态

k

随

k

的变化规是：

k

=

k

＋

k

模型求解用图解法这个模型更为方便如下：五:计算题（共５小题，每小９分，本题共４分113114１、13

试用和法出的最大特征值，并做一致性检验(3时,//8//8

。

答:

中列归一化

,各

=

w

而4.328

，所以最大特根为

()14.897i()1.2480.569ii其一致性标为:

3

CI0.1062RI0.58

,

所以A不通过一致性验。2、块土地，若从事农生产可收元，若将土地租给某乙用于工业生产，可收２00元。若租给某丙开发游业可收300。当丙请乙参与经营时收入达４元,为促成最高收入的实现,试用值方法分配各人的所得。(9分）答:甲、乙、丙所得应为０元50，元步骤略）3、产品每天需求量为常数r,每次生产备费用为,每天每件产品贮存费用为C缺货损失费为C试作一合理假设，建，３立允许缺的存贮模型，求生产期及产量使总费用小。(９分）解:模型假设1.产品每天求量为常数r2每次生产备费用为c1,每天每件产品贮存费用为c2生产能力限大缺货损失为C，当时产品已用完４生产周期为Ｔ，产量为Q

,模型建立:一周期总费用如下:

QCr()22

一周期平均费用为CQ2(rT)f(,Q1222

模求:

用微法解周

T

C(C)rCC

分)量--

2分0.182分0.18１当i

rCCCC)４、人的态分为三种：健康)，患病）（死亡)。设对特定龄段的人今年健康明年保持健康的概为８患病的概率为０.１而今年患病的人明年健康的概率0.6５健康的概率为．，构造马氏链型，说明它是吸收,并求健康，患病出发变成死亡的平均转移数。ii患病解:状态(n)2

,依歇易得转移概率阵为(1,2,)，则

0.250分)易：i收链

P

RI

0.180.25

,

M

0.180.25

10.043

0.180.2

y0.0430.85

由健康、患病发变成死亡的平均转次数分别为

和

。５设渔场鱼量满足下列方程（９分）

(t)

x

)2)）讨论鱼鱼量方程平衡点稳定状况如何获得最大持续产量解:令

F(rx(1

x

)2)

,

x2)

f()rx)

)

的最大值点为

N2rN)3

当

rN/3

时无平衡点当

2rN/

时,有两个平点

(N/(N/3)和

,经过判ｘ不稳定稳定hrN/3

时平衡点

xN/3

,由

F)

不能判断稳定性(２)为了获得最大持续产量应使

xN3

且尽量

xN

接近,但操作困难１考虑药在体内的分布与排除二室模型即:把整个机体分为中心室与边室两室两室之间的血药相互移，转移速率与该室的血药浓度成正比且只有中心室与体外有药物换,药物向体外排除的速率与该室的血药度成正比试建立两室血药浓度时间的关系。(不必求解）解：假设

c(t)i

、

x(t)i

V和i分表示第室

i1.2)

的血药浓，药量和容,

和

是两室之药物转移速率系数，

是从中心(第１室向体外排除的速率系则

(t)xf(t)1(t)x12

(１(其

f()

是给药--

1312vcv123st21312vcv123st21i时，达到最大；当时,m速率）及

xt)t)(2)iii

于是：

vft)c(t))0vvt)2

(3)2、某工厂拟安排生产计划，已知一桶原料可加1０小时后生产A品公斤A品可获利/公斤,或加工小时可生产B产品3斤，B产品可利18元公斤,或加工小时可生产Ｃ产品公斤C品可获利元／公斤,现每天可供加工的原为桶，加工工时至多为４60小时且Ａ产品至多只能生产58公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划请建立相应的线性规划模型答：设每安排x桶原料生产A产品桶原料生产B产品，x桶原料生产Ｃ产品则xx

有:

223xxx460258xx,x0１、在录机计数器的用途中仔细推算一下(1)式，写出与（的差别并解释这个差别;1、：由（１)得，将代入得

t2(2rv

,因为

r

所以

rr

，则得(2２、试说在不允许缺货的存储型中为什么没有考生产费用，在什么条件下以不考虑它；2、答：假设每件产品的生产费用为

c

，则平均天的生产费用为

cr

,每天的平均用是crT)1

r3

,下面求

使

T)

最小发现

T(T)1dTdT

,所以

1

21cr2

，与产费用无，所以不考虑。1、对于传病的模型,述当

时

i

的变化情并加以证明。１、答:由）

di

i(

s1),

若

,当

1

时，

didt

i(t)

增加;当

s

1didii(t)sdtdt

it

i减少且由知2、在捕鱼业的持续收获的效益模型中若单位捕捞强度的用为捕捞度

E

的减函数即

c(a0)

，请问如达到最大经济效益？--

rR，B中的参数和--rR，B中的参数和)E2、：，则

a)

,将

x(1)

代入，得(E)pNE

r

)

,令

得

raErb

。１、在

随机存储略中，请用图解法说为什么

是方程

Ix)()0

的最小正。１、由于程（左边随着

的增加单递增因此

J(u)

有唯一驻

且为最小点。从而

J(u)

是下凸的而由

J(u)

和

I(x)

的表达式相似性知

I(x)

也是下凸，而且在

x

处达最小

I(S)

。记

{I(x)()}B{I()I()}0

则集合

与的分界点

即为订货点

，此即方程IxcI(S)0

的最小正2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的力2、答：回答要点）培养想力和洞察。１商人怎样全过河”模型中从初始状态到终止状中的每一步决策(dﻩＡ.称之为状态

ﻩ记为(,)

C.是集合中的元素

D.都是集合中的元素2、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据分方程（ｃ）建立的。A．

xxr)0

B.

C.ﻩﻩ

t)e0

rt

D.

x(t)xe0

rt3“人口阻滞长”模型的计算结表明了（ｄ。ﻩＡ.人口增长率为常数Ｂ．人口增长率逐步变

C.人口将按指数规律无限增

D.人口将达最大容量４人口阻滞长”模型表明人口增率的规律是（)。ﻩ．人口增长率逐步变大

ﻩﻩﻩＢ.人口增长先变大后变小C.人口增长率先变小后变大ﻩﻩﻩ.人口增长率逐步变小5、建立起的“录像机计数器的用途”模型

t

bnab

可用(ｃ

)方求得。ﻩ

．最小二乘估计

ﻩ值

ﻩ

C.数值积分ﻩ

D.统推断6“层玻璃的功效”模中建筑规范一般要求双层玻璃的间约为玻璃度的(ｂﻩＡ．2倍

ﻩﻩﻩB.1／

ﻩ．３倍

ﻩＤ.４倍7“奶制品的产与销售”模型中以下说话误的是A、资剩余为零的约束为紧约束

ﻩ

、资源的单位增引起的效增量称为“影子价格”C、影价格大于零的资源一定是紧约D、影子价格小于零资源一定是松约束8“传染病模”中所未涉及的模是ﻩ

、模型ﻩB、模型

ﻩC、型

型模、Ｄﻩﻩ--

kk9“经济增长型”中以下说法正的是)。A、

t

表示劳动ﻩ

Ｂ、

表示劳动在产值中所占的份额、Cﻩ

表示资金创造的产值；ﻩ

Ｄ、

表示资金造的产值1０、下列正则链和吸收链的说法中，错误的是（

d)A、正链有任意状态都能达到；ﻩﻩ、吸收链可以包含个吸收状态；Ｃ、正则存在唯一的极限状态率；D、吸收链的存在唯一极限状态概率。2“口阻滞增长”模型在“指数长模型”的前提下，假设人口增长率人口数量减函数。3“口阻滞增长”模型，当人口

xt

/2m

时人口增长率最大；当人口数

xt

时人口增长率为0。5“像带计数器的读数多种方法立的模型都是

t

v

n2

v

n

。６双层玻璃功效”模型中，所依的基本物理公式是

Q

d

。７传染病模”中模型是指被传染康复以后具有免疫,

不再感染传染病。8“济增长模型”中，量经济增的指标有

总产值的长、单位劳动力产值的增长。1、试用简练的语言全面的描述“商人怎样安全过”该类问。(１0’)答：求决

D1,2,,)

,使状态

k

按照转移

k

sk

k

s,则初始状态

经有限步

到达状态

s

n1

(0,0)

。3、分别采用三种方法，用一句话和一个公式描录像带计器读数与经过的时间之间的关模型。０’)i答（１)当右轮盘转到第圈时其半径为

r

,周长为

2(rwi

，

圈的总长恰等于录像带转过的度m

2

rwi)即

i1

；（２）考录像带转过的长度与度的乘积，等于右盘面积的加，即：

r

2

r2]

;(3)考虑用微积分的理论，有某小间段

dt

内录像带过的长度为速度乘以，它等于右轮盘上的录像长度由于

m

),即

vdt

(rknw)

;以上三种法都可得到：

t

v

n

v

n

。4、简述差分方程平衡点的稳定性定义、三阶线常系数差方程平稳点稳定性的判别条件非线性差分方程平稳点的定性判别件。(１0’答（）差分方程的平衡

*

若满足：时，

xx*

*,则称平衡点是稳定的。--

、ﻩﻩ--、ﻩﻩ(２）若三阶线性常系数差分方

x

2

a11

ab2

的特方

b1

的根

i

(i1,2,3)

均有

i

1

,则该差分方程的平衡点

*

是稳定的否则是不定的。(３)非线性差分方程

x

k

f(k

的平衡点

*

若满足

f*)1

*,则平衡点是稳定的；否则若

f'(x*)

，则平衡点

x*

是不稳定1、我们建立的“商人怎样安全过河”模型是(a。A.允许决策模型B.状态转移模型ﻩC．马氏链模型2“人口指数长”模型的计算结表明了（c)。

ﻩ

Ｄ多步决策模型A.人口增长率为常数

B.人口增长率逐步变大

C.人口将按指数规律无限增

．人口将达到最容量3、我们所建立的“人口阻滞增长”模型是根据分方程（d)建立的。．ﻩ

t)xe

rt

ﻩ

B.

dxdt

C.ﻩ

r()r)m

D.

dxxrx(1)m４公平合理席位分配”模型中，下说法错误的（

。ﻩＡ.参照惯例的席位分配结果是较合的

Ｂ提出的相对不公平度对席位配有改进效果C．席位分配一类题的Q值法是较公平的ﻩD.存在满四个公平分配公理的分配法5“录像机计器的用途”模型中计数器的数(ｃ

)。A．是匀增长的ﻩ与录像带的线速度

成正比

C.的增长速度越来越慢D．与经过时间成正6“双层玻璃功效”模型中,按筑规范实的双层玻璃可节能b)。A．3%ﻩﻩﻩﻩﻩＢ97％

C.%

ﻩ

D.７％７、存贮型的优化目标是（ｄA、库量最小

ﻩ、库存量最大Ｃ、一周期费用最小

D、平每天费用最小8“经济增长型”中要保持总产值

Q()

增长，即求(c、

dt

0

ﻩ

、

dt

0

、Cﻩ

Q0L9“经济增长型”中，要保持平每个劳动的产值

t)

增长即要求（a)。ﻩ

、劳动力的增长小于初始资增长率

、劳动力的增长等于初始资增长率ﻩC劳动力的长率大于初始投资增长率Ｄ、劳动力的增长率等于初始