北师大版九年级数学上册期末复习综合题

北师大版九年级数学上册期末复习综合题（含答案）第一章、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO.∵AB＝AO，∴AO＝BO＝AB.∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，即∠ABD＝60°.14．如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE＝CF.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，则BO＝CO.∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∠BOE＝∠COF，∴△BEO≌△CFO.∴BE＝CF.15．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.求证：△BCE≌△DCF.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠DCF＝90°.在△BCE与△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝DC，,∠BCE＝∠DCF，,CE＝CF，))∴△BCE≌△DCF.16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，EF平分∠BED，求证：EF⊥BD.证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴△ABC和△ADC都是直角三角形，且有公共斜边AC.又∵E是公共斜边AC的中点，∴BE＝DE＝eq\f(1,2)AC.又∵EF平分∠BED，∴EF⊥BD.17．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF＝BE.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝BC，∠ABC＝∠ADC，∴∠CBE＝∠CDF.∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠CFD＝∠CEB＝90°，在△CEB和△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CEB＝∠CFD，,∠CBE＝∠CDF，,CB＝CD，))∴△CEB≌△CFD(AAS)，∴DF＝BE.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(荆州中考)如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．(1)证明：∵△DCE是由△ABC平移而得到的，∴△DCE≌△ABC.∵△ACD≌△CAB，∴△ACD≌△EDC；(2)解：△BDE是等腰三角形．理由如下：∵AC＝DE，AC＝DB，∴DE＝DB，∴△BDE是等腰三角形．19．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC相交于点G.(1)求证：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的度数．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC.∵BE⊥BF，∴∠FBE＝90°.∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∠CBF＋∠EBC＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.在△AEB和△CFB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABE＝∠CBF，,BE＝BF，))∴△AEB≌△CFB(SAS)，∴AE＝CF.(2)解：∠EGC＝80°.20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2eq\r(5)，求四边形ABCD的面积．(1)证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠CBD.又∵AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝DO(等腰三角形“三线合一”)．在△AOD和△COB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AOD＝∠COB，,OB＝OD，,∠ADO＝∠CBO.))∴△AOD≌△COB(ASA)，∴AO＝CO.又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(5).在Rt△CDO中，OC＝eq\r(CD2－OD2)＝eq\r(32－（\r(5)）2)＝2，∴AC＝4.∴S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(5)＝4eq\r(5).五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在▱ABCD中，点E，F在直线AC上(点E在F左侧)，BE∥DF.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝2eq\r(13)，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．(1)证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD.由BE∥DF得∠BEO＝∠DFO.又∵∠EOB＝∠FOD，∴△BEO≌△DFO.∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形．(2)解：∵AB⊥AC，AB＝4，BC＝2eq\r(13)，∴AC＝6，∴AO＝3，∴在Rt△BAO中，BO＝5.又∵四边形BEDF是矩形，∴OE＝OB＝5，∴点E在OA的延长线上，且AE＝2.22．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)关系：AG2＝GE2＋GF2.理由：连接CG.∵四边形ABCD是正方形，∴点A，C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA＝GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2；(2)作AM⊥BG于M，依题意知：∠AGM＝60°，∠GAM＝30°.设GM＝x，则AM＝BM＝eq\r(3)x.在Rt△ABM中，∵AM2＋BM2＝AB2，∴(eq\r(3)x)2＋(eq\r(3)x)2＝1，∴x＝eq\f(\r(6),6)，∴BG＝x＋eq\r(3)x＝eq\f(\r(6),6)＋eq\r(3)×eq\f(\r(6),6)＝eq\f(\r(6)＋3\r(2),6).六、(本大题共12分)23．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝135°.∵∠BCD＝90°，∴∠ACD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD.∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD.在△ABF和△ACD中，AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，BF＝CD，∴△ABF≌△ACD，∴AD＝AF.(2)证明：由(1)知AF＝AD，△ABF≌△ACD，∴∠FAB＝∠DAC.∵∠BAC＝90°，∴∠EAB＝∠BAC＝90°.∴∠EAF＝∠BAD.∵AB＝AC，AC＝AE，∴AB＝AE.在△AEF和△ABD中，AE＝AB，∠EAF＝∠BAD，AF＝AD，∴△AEF≌△ABD.∴BD＝EF.(3)解：四边形ABNE是正方形．理由：∵CD＝CB，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝45°.∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝90°，∴∠ABN＝90°.由(2)知∠EAB＝90°，△AEF≌△ABD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.∴四边形ABNE是矩形．又∵AE＝AB，∴矩形ABNE是正方形．第二章、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．解方程：(1)(2017·兰州)2x2－4x－1＝0；解：原方程可化为(x－1)2＝eq\f(3,2)，∴x1＝1＋eq\f(\r(6),2)，x2＝1－eq\f(\r(6),2)；(2)(山西中考)2(x－3)2＝x2－9.解：2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，(x－3)(2x－6－x－3)＝0，(x－3)(x－9)＝0，x－3＝0或x－9＝0，∴x1＝3，x2＝9.14．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算，例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程2x2－bx＋a＝0的根的情况．解：∵2☆a的值小于0，∴22a＋a＝5a＜0，解得a＜0.在方程2x2－bx＋a＝0中，Δ＝(－b)2－8a≥－8a＞0，∴方程2x2－bx＋a＝0有两个不相等的实数根．15.已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；(2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．解：(1)依题意有Δ＝22－4(a－2)＞0，解得a＜3；(2)依题意得1＋2＋a－2＝0，解得a＝－1，∴原方程为x2＋2x－3＝0.∴x＝eq\f(－2±\r(4－4×1×（－3）),2×1)＝eq\f(－2±\r(16),2)，即x1＝1，x2＝－3，∴a＝－1，方程的另一根为－3.16．一个直角三角形的斜边为4eq\r(5)cm，两条直角边的长相差4cm，求这个直角三角形两条直角边的长．解：设其中一条较长的直角边长为xcm，则另一条直角边长为(x－4)cm.根据题意，得x2＋(x－4)2＝(4eq\r(5))2，解得x1＝－4(舍去)，x2＝8.∴x－4＝4.∴两条直角边的长分别为4cm，8cm.17．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的月平均增长率．解：3月份到5月份月增长是经过2次增长，平均月增长率是每次增长的百分数相同．设平均月增长率为x，则5月份的营业额是：3月份的营业额×(1＋x)2，因此，应先求3月份的营业额．显然，3月份的营业额是2月份的营业额×(1＋10%)＝400(1＋10%)＝440，故依题意，得440(1＋x)2＝633.6，(1＋x)2＝1.44，两边直接开平方，得1＋x＝±1.2，所以x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．故3月份到5月份的营业额的月平均增长率为20%.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？解：设销售单价为x，则：(x－360)[160＋2(480－x)]＝20000，∴x2－920x＋211600＝0，解得x1＝x2＝460.答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．19．已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝31＋|x1x2|，求实数m的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝[－(2m＋3)]2－4(m2＋2)＝12m＋1，∵方程有实数根，∴12m＋1≥0，解得m≥－eq\f(1,12).(2)∵x1，x2是方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2＋2＞0.∵xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝31＋x1x2，∴(x1＋2)2－2x1x2＝31＋x1x2，∴(2m＋3)2－2(m2＋2)＝31＋m2＋2，∴m2＋12m－28＝0，解得m1＝2，m2＝－14.∵m≥－eq\f(1,12)，∴m＝2.20.中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：每天的售价(元/kg)38373635…20每天的销售量(kg)50525456…86设当每天的售价从38元/kg下调到x元/kg时，销售量为ykg.已知y是x的一次函数．(1)求y与x的函数表达式；(2)如果这种土特产的成本价是20元/kg，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元？(利润＝销售总金额－成本)解：(1)∵y与x是一次函数关系．∴设y与x之间的函数表达式是y＝kx＋b(k≠0)．根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20k＋b＝86，,35k＋b＝56，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝126.))所以，所求的函数表达式是y＝－2x＋126.(2)设这一天的销售价为x元/kg,根据题意，得(x－20)(－2x＋126)＝780.整理，得x2－83x＋1650＝0，解得x1＝33，x2＝50.答：这一天的销售价应为33元/kg或50元/kg.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x＝－1是方程的根，∴将x＝－1代入得(a＋c)×(－1)2－2b＋a－c＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．22．某单位于“三·八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：领队：组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少？导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．领队：超过25人怎样优惠呢？导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2700元．请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人？解：设该单位这次参加旅游的共有x人，∵100×25＜2700，∴x＞25.依题意，得[100－2(x－25)]x＝2700，整理，得x2－75x＋1350＝0.解得x1＝30，x2＝45.当x＝30时，100－2(x－25)＝90＞70，符合题意．当x＝45时，100－2(x－25)＝60＜70，不符合题意，舍去．∴x＝30.答：该单位这次参加旅游的共有30人．六、(本大题共12分)23．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P，Q两点同时出发：(1)经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2?(2)当△PBQ的面积等于4cm2时，△PBQ是什么形状的三角形？解：(1)如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB.∴S△PBQ＝eq\f(1,2)·PB·QE.设经过ts后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6－t，QB＝2t，QE＝t.根据题意，eq\f(1,2)·(6－t)·t＝4.t2－6t＋8＝0，t1＝2，t2＝4.当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，所以t＝2.答：经过2s后△PBQ的面积等于4cm2.(2)∵△PBQ的面积等于4cm2时，t＝2，∴PB＝6－t＝6－2＝4，QB＝2t＝4，∴QB＝PB，∴△PBQ是等腰三角形．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．从3名男生和2名女生中随机抽取2017年南京青奥会志愿者．求下列事件的概率：(1)抽取1名，恰好是女生；(2)抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．解：(1)抽取1名，恰好是女生的概率是eq\f(2,5)；(2)分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这五位同学，从中任意抽取2名，所有可能出现的结果有：(男1，男2)，(男1，男3)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男2，男3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男3，女1)，(男3，女2)，(女1，女2)，共10种，它们出现的可能性相同，所有结果中，满足抽取2名，恰好是1名男生和1名女生(记为事件A)的结果共6种，所以P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).14．从－2，1，3这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标．(1)写出该点所有可能的坐标；(2)求该点在第一象限的概率．解：(1)列表如下：∴该点可能的坐标为(－2，1)，(－2，3)，(1，－2)，(1，3)，(3，－2)，(3，1)．(2)由(1)可知，共有6种等可能的结果，其中点在第一象限的结果有2种，∴该点在第一象限的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).15．儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．活动规则是：在一个装有8个红球和若干个白球(每个球除颜色外，其他都相同)的袋中，随机摸一个球，如果是红球就得到一个世博会吉祥物海宝玩具．已知参加这种游戏的儿童有40000人，公园游戏场发放海宝玩具8000个．(每人只参加一次)(1)求参加此次活动得到海宝玩具的频率；(2)请你估计袋中白球的数量接近多少？解：(1)参加此次活动得到海宝玩具的频率为eq\f(8000,40000)＝eq\f(1,5).(2)设袋中共有x个球，则摸到红球的概率P(摸到红球)＝eq\f(8,x).∴eq\f(8,x)＝eq\f(1,5)，解得x＝40，∴白球接近40－8＝32个．16．某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张．从中随机取出2张纸币．(1)求取出纸币的总额是30元的概率；(2)求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．解：某人从钱包内随机取出2张纸币，可能出现的结果有3种，即(10，20)，(10，50)，(20，50)，并且它们出现的可能性相等．(1)取出纸币的总额是30元(记为事件A)的结果有1种，即(10，20)，∴P(A)＝eq\f(1,3).(2)取出纸币的总额可购买一件51元的商品(记为事件B)的结果有2种，即(10，50)，(20，50)，∴P(B)＝eq\f(2,3).17．近几年“密室逃脱俱乐部”风靡全球．下图是俱乐部的通路俯视图，小明进入入口后，任选一条通道．(1)他进A密室或B密室的可能性哪个大？请说明理由(利用树状图或列表来求解)；(2)求小明从中间通道进入A密室的概率．解：(1)画出树状图如下：∴由图可知，小明进入游戏区后一共有6种不同的可能路线．∵小明是任选一条道路，∴走各种路线的可能性认为是相等的，而其中进入A密室有2种可能，进入B密室有4种可能，∴进入B密室可能性较大；(2)由(1)可知小明从中间通道进入A密室的概率为eq\f(1,6).四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等．(1)现随机转动转盘一次，停止后，指针指向2的概率为eq\f(1,3).(2)小明和小华利用这个转盘做游戏，若随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之积为偶数，则小明胜；否则小华胜．你认为游戏规则对双方公平吗？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．解：(1)eq\f(1,3).(2)列表得，第一次第二次1231(1，1)(2，1)(3，1)2(1，2)(2，2)(3，2)3(1，3)(2，3)(3，3)共有9种等可能的结果，其中，两数之积为偶数的有5种，两数之积为奇数的有4种，∴P(小明获胜)＝eq\f(5,9)，P(小华获胜)＝eq\f(4,9)，∵eq\f(5,9)＞eq\f(4,9)，∴该游戏不公平．修改规则：若积为2(或2的倍数)小明胜，若积为3(或3的倍数)小华胜等，若积为1或2和3的公倍数，则为平局．19．在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上数字之和小于6，那么小王去，否则就是小李去．(1)用画树状图法或列表法求出小王去的概率；(2)小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．解：(1)画树状图：由上图可知，一共有12种等可能的结果，其中摸出的球上的数字之和小于6的结果有9种，∴P(小王去)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4)；(2)我认同小李的说法，理由如下：∵P(小王去)＝eq\f(3,4)，P(小李去)＝eq\f(1,4)，eq\f(3,4)≠eq\f(1,4)，∴这种规则不公平．20．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上．(1)现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形是__△DFG(或△DHF)__．(只需要填一个三角形)(2)先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取的这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率(用画树状图或列表法求解)．解：画树状图如图.由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中与△ABC面积相等的有3种，即△DHF，△DGF，△EGF，∴所画三角形与△ABC面积相等的概率P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为eq\f(2,3).(1)求袋子中白球的个数(请通过列式或列方程解答)；(2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率(请结合树状图或列表解答)．解：(1)设袋子中白球有x个，根据题意得eq\f(x,x＋1)＝eq\f(2,3)，解得x＝2，经验证，x＝2是原分式方程的解，∴袋子中白球有2个；(2)画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球有5种情况，∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为eq\f(5,9).22.4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；(3)在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？解：(1)P(不合格品)＝eq\f(1,1＋3)＝eq\f(1,4).(2)设1件不合格品为A，3件合格品分别为B1，B2，B3.任意抽取2件产品，所有可能出现的结果有(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足抽取2件，都是合格品的结果有3种．∴P(都是合格品)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(3)∵抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率为0.95.根据题意得eq\f(3＋x,1＋3＋x)＝0.95，解这个方程得x＝16.经检验，x＝16是原方程的解且符合题意．答：可以推算x的值大约是16.六、(本大题共12分)23．为了解某校落实新课改精神的情况，现以该校九年级二班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”“绘画类”“舞蹈类”“音乐类”“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．(1)参加音乐类活动的学生人数为__7__人，参加球类活动的人数的百分比为__30%__；(2)请把图②(条形统计图)补充完整；(3)该校学生共600人，则参加棋类活动的人数约为__105__；(4)该班参加舞蹈类活动的4位同学中，有1位男生(用E表示)和3位女生(分别用F，G，H表示)，现准备从中选取2名同学组成舞伴，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．解：(2)补全条形统计图略．(4)画树状图：由图可知共有12种等可能的结果，其中选出的2人恰好是一男一女的情况有6种，所以选出的2人恰好是一男一女的概率为eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).第三章、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．已知a，b，c是△ABC的三边，eq\f(a＋4,3)＝eq\f(b＋3,2)＝eq\f(c＋8,4)，且a＋b＋c＝12，试判断△ABC的形状．解：设eq\f(a＋4,3)＝eq\f(b＋3,2)＝eq\f(c＋8,4)＝k(k≠0)，则a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8，∵a＋b＋c＝12，∴3k－4＋2k－3＋4k－8＝12，解得k＝3.∴a＝3k－4＝5，b＝2k－3＝3，c＝4k－8＝4.∵b2＋c2＝9＋16＝25，a2＝25，∴△ABC为直角三角形．14.如图，AB＝25，BC＝40，AC＝20，AE＝12，AD＝15，DE＝24.(1)判断△ABC与△AED是否相似；(2)若∠BAC＝100°，∠EAC＝70°，求∠CAD的度数．解：(1)∵eq\f(AB,AD)＝eq\f(5,3)，eq\f(BC,DE)＝eq\f(5,3)，eq\f(AC,AE)＝eq\f(5,3)，∴△ABC∽△ADE.(2)∵△ABC∽△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝100°.又∵∠EAC＝70°，∴∠CAD＝30°.15．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3.(1)若AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长；(2)若DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长．解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴eq\f(DE,EF)＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，∴DE＝eq\f(1,2)EF＝6；(2)∵l1∥l2∥l3，∴eq\f(DE,EF)＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)，∴BC＝eq\f(3,2)AB＝eq\f(3,2)×6＝9，∴AC＝AB＋BC＝6＋9＝15.16．已知两个相似多边形的一对对应边的边长分别是15cm和12cm.(1)若它们的周长相差24cm，求这两个多边形的周长；(2)若它们的面积差270cm2，求这两个多边形的面积．解：(1)设较小多边形的周长为xcm，则较大多边形的周长为(x＋24)cm，由题意得eq\f(x＋24,x)＝eq\f(15,12)，解得x＝96，∴x＋24＝120.所以较小多边形的周长为96cm，较大多边形的周长为120cm；(2)设较小多边形的面积为xcm2，则较大多边形的面积为(x＋270)cm2，由题意得eq\f(x＋270,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,12)))eq\s\up12(2)，解得x＝480，∴x＋270＝750.所以较小多边形的面积为480cm2，较大多边形的面积为750cm2.17.下图小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A1B1C1是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心O；(2)求△ABC与△A1B1C1的相似比．解：(1)如图所示；(2)A1B1＝eq\r(13)，AB＝2eq\r(13)，则△ABC与△A1B1C1的相似比为2.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：(1)△ADQ∽△QCP；(2)AQ⊥PQ.证明：(1)设PC＝a，Q是CD的中点．∵BP＝3PC，∴AD＝4a，QC＝DQ＝2a.∵eq\f(AD,QC)＝eq\f(4a,2a)＝2，eq\f(DQ,PC)＝eq\f(2a,a)＝2.又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP；(2)∵△ADQ∽△QCP，∴∠1＝∠2，∵∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AQP＝180°－(∠1＋∠3)＝180°－90°＝90°，∴AQ⊥PQ.19．如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4eq\r(2)，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F.(1)求证：eq\f(PC,CD)＝eq\f(CE,CB)；(2)连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由．(1)证明：△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°，∴△BCE∽△DCP，∴eq\f(PC,CD)＝eq\f(CE,CB).(2)解：AC∥BD，理由如下：∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°，∴∠PCE＝∠BCD，又∵eq\f(PC,CD)＝eq\f(CE,CB)，∴△PCE∽△DCB，∴∠CBD＝∠CEP＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD，∴AC∥BD.20．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B.射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且eq\f(AD,AC)＝eq\f(DF,CG).(1)求证：△ADF∽△ACG；(2)若eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,2)，求eq\f(AF,FG)的值．(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C，又∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(DF,CG)，∴△ADF∽△ACG.(2)解：∵△ADF∽△ACG，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AF,AG)，又∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AF,AG)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AF,FG)＝1.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图所示，在高5m的房顶上A处望一幢楼的底部D，视线过小树的顶端E，又从房底部B处望楼顶C，视线也正好过小树顶端E，测得小树的高度为4m，则你能算出楼CD的高吗？把你的计算过程写出来．解：由EF∥AB∥CD，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(EF,AB)＝\f(FD,BD)①，,\f(EF,DC)＝\f(BF,BD)②，))∴由①＋②，得eq\f(EF,AB)＋eq\f(EF,DC)＝eq\f(FD,BD)＋eq\f(BF,BD)＝1，∴eq\f(4,5)＋eq\f(4,DC)＝1，∴DC＝20m.22．如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.求证：(1)CG＝BH；(2)FC2＝BF·GF.证明：(1)∵BF⊥AE，CG∥AE，∴CG⊥BF.∵在正方形ABCD中，∠ABH＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠BCG＝90°，∠BAH＋∠ABH＝90°，∴∠BAH＝∠CBG，∠ABH＝∠BCG，AB＝BC，∴△ABH≌△BCG，∴CG＝BH.(2)∵∠BFC＝∠CFG，∠BCF＝∠CGF＝90°，∴△CFG∽△BFC，∴eq\f(FC,BF)＝eq\f(GF,FC)，即FC2＝BF·GF.六、(本大题共12分)23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为边CB上的一个动点(点D不与点B重合)，过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD.(1)求证：△DOB∽△ACB；(2)若AD平分∠CAB，求线段BD的长；(3)当△AB′D为等腰三角形，求线段BD的长．(1)证明：∵DO⊥AB，∴∠DOB＝∠DOA＝90°，∴∠DOB＝∠ACB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△DOB∽△ACB.(2)解：∵∠ACB＝90°，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，∴DC＝DO，在Rt△ACD和Rt△AOD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,DC＝DO，))∴Rt△ACD≌△Rt△AOD(HL)，∴AC＝AO＝6，设BD＝x，则DC＝DO＝8－x，OB＝AB－AO＝4，在Rt△BOD中，根据勾股定理得DO2＋OB2＝BD2，即(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴BD的长为5.(3)解：∵点B′与点B关于直线DO对称，∴∠B＝∠OB′D，BO＝B′O，BD＝B′D，∵∠B为锐角，∴∠OB′D也为锐角，∴∠AB′D为钝角，∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′＝DB′，∵△DOB∽△ACB，∴eq\f(OB,BD)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，设BD＝5x，则AB′＝DB′＝5x，BO＝B′O＝4x，∵AB′＋B′O＋BO＝AB，∴5x＋4x＋4x＝10，解得x＝eq\f(10,13)，∴BD＝eq\f(50,13).第四章、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．画出如图所示物体的三视图．解：如图：14．如图，这是一个由若干个同样大小的小立方体搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，请你分别画出这个几何体的主视图和左视图．解：如图：15．根据下列物体的三视图，指出该物体的形状．解：①三棱柱；②四棱锥；③圆台．16．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为多少？(单位：mm)解：V＝5×5×5－1×1×5＝120mm2.答：该几何体的体积是120mm2.17．如图是某几何体的三视图．(单位：cm)(1)写出这个几何体的名称；(2)求出这个几何体的表面积和体积．解：(1)圆柱；(2)表面积：π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))eq\s\up12(2)×2＋π×6×10＝78πcm2，体积：π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))eq\s\up12(2)×10＝90πcm3.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(1)一木杆按如图①所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子(用线段CD表示)；(2)图②是两根木杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置(用点P表示)，并在图中画出E处的人在此光源下的影子(用线段EF表示)．解：(1)如图①，CD是木杆在阳光下的影子；(2)如图②，点P是光源的位置，EF就是人在光源P下的影子．19．如图，在房子外的屋檐E处装有一台监视器，房子前面有一面落地的广告牌．(1)监视器的盲区(视线看不到的地方叫盲区)在哪一部分？(2)已知房子上的监视器离地面高12m，广告牌高6m，广告牌距离房子5m，求盲区在地面上的长度．解：(1)把墙看作如图的线段，则图中ABC所围成的部分就是监控不到的区域；(2)由题意结合图形可得BC为盲区，设BC＝x，则CD＝x＋5，∴eq\f(x,x＋5)＝eq\f(6,12)，解得x＝5.答：盲区在地面上的长度是5m.20.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球．(1)球在地面上的阴影是什么形状？(2)当球沿垂直方向下落时，阴影的大小会怎样变化？(3)若白炽灯到球心的距离是1m，到地面的距离是3m，球的半径是0.2m，求此时球在地面上留下的阴影的面积．解：(1)圆；(2)变小；(3)如图①所示，所求阴影面积即为以B为圆心，BC长为半径的⊙B的面积．抽象图形如图②所示．AO＝1m，AB＝3m，OD＝0.2m．由题意易知△AOD∽△ACB，∴eq\f(OD,BC)＝eq\f(AO,AC)，∴AC＝5BC.∵AC2＝BC2＋AB2，∴(5BC)2＝BC2＋9，解得BC2＝eq\f(3,8).∵⊙B的面积为π(BC)2.∴此时球在地面上留下的阴影的面积为eq\f(3,8)πm2.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．一圆柱形器皿在点光源P下的投影如图所示，已知AD为该器皿底面圆的直径，且AD＝3，CD为该器皿的高，CD＝4，CP′＝1，点D在点P下的投影刚好位于器皿底与器皿壁的交界处，即点B处，点A在点P下的投影为A′，求点A′到CD的距离．解：根据题意，知△APD∽△A′PB，△APE∽△A′PP′，△PDE∽△PBP′，∴eq\f(AD,A′B)＝eq\f(PD,PB)＝eq\f(DE,BP′).又∵DE＝CP′＝1，AD＝BC＝3，将各线段长度代入，得eq\f(3,A′B)＝eq\f(1,4)，解得A′B＝12，∴点A′到CD的距离为A′B＋BC＝12＋3＝15.22.如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m的圆锥上，在地面上形成的影子为EB，且∠SBA＝30°.(以下计算结果都保留根号)(1)求影子EB的长；(2)若∠SAC＝60°，求光源S离地面的高度．解：(1)由已知CH＝HE＝2m，∠SBA＝30°，则BH＝2eq\r(3)m，BE＝BH－HE＝(2eq\r(3)－2)m;(2)作CD⊥SA，SF⊥AB，垂足分别为D，F，易知BC＝4，由CH＝AH＝2，则AC＝2eq\r(2)，在Rt△ACD中，∠SAC＝60°，则CD＝eq\r(6)，∠SAB＝60°＋45°＝105°，由∠SBA＝30°，则∠ASB＝45°，则SD＝CD＝eq\r(6)，∴SC＝eq\r(6＋6)＝2eq\r(3)m，SB＝(2eq\r(3)＋4)m.在Rt△SBF中，∠SBF＝30°，则SF＝eq\f(1,2)SB＝(eq\r(3)＋2)m.六、(本大题共12分)23．小明在晚上由路灯A走向路灯B，当他行至P处时，发现他在路灯B下的影长为2m，身后影子的顶部刚好在路灯A的底部；接着他又走了6.5m至Q处发现身前影子顶部刚好在路灯B的底部．(已知小明身高是1.8m，路灯B高9m)如图所示．(1)标出小明站在P处时在路灯B下的影子；(2)计算小明站在Q处时在路灯A下的影子的长度；(3)计算路灯A的高度．解：(1)线段AP即为小明在路灯B下的影子．(2)如图．∵EP⊥AB，DB⊥AB，∴∠EPA＝∠DBA＝90°.又∵∠EAP＝∠DAB，∴Rt△AEP∽Rt△ADB，∴eq\f(EP,BD)＝eq\f(AP,AB).设小明在路灯A下的影长QB为xm，则eq\f(1.8,9)＝eq\f(2,2＋6.5＋x)，解得x＝1.5m.(3)∵Rt△FQB∽Rt△CAB，∴eq\f(FQ,CA)＝eq\f(QB,AB).设CA＝ym，则eq\f(1.8,y)＝eq\f(1.5,1.5＋6.5＋2)，∴y＝12.∴路灯A的高度为12m.第六章、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．解：由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m2＋3m－3＝－1，,2m2＋m－1≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)或m＝－2，,m≠\f(1,2)且m≠－1，))∴m＝－2.14．已知函数y＝eq\f(k,x)的图象经过点(－3，4)．(1)求k的值，并在下面的正方形网格中画出这个函数的图象；(2)当x取什么值时，函数的值小于0?解：(1)把(－3，4)代入y＝eq\f(k,x)，得k＝－3×4＝－12，∴y＝－eq\f(12,x)，作图如图所示；(2)由图象可以看出，当x＞0时，函数的值小于0.15．已知反比例函数y＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)．(1)求这个函数的表达式；(2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；(3)当－3＜x＜－1时，求y的取值范围．解：(1)y＝eq\f(6,x)；(2)点B不在函数图象上，点C在函数图象上，理由略；(3)当－3＜x＜－1时，－6＜y＜－2.16．湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数表达式；(2)由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米．当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为多少米？解：(1)由长方形面积为2000平方米，得xy＝2000，即y＝eq\f(2000,x).(2)当x＝20时，y＝eq\f(2000,20)＝100.答：当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长为100米．17．已知反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)和一次函数y＝x－6.(1)若一次函数与反比例函数的图象交于点P(2，m)，求m和k的值．(2)当k满足什么条件时，两函数的图象没有交点？解：(1)m＝－4，k＝－8；(2)eq\f(k,x)＝x－6，x2－6x－k＝0，当此一元二次方程根的判别式小于0时，两函数图象无交点，Δ＝(－6)2－4×(－k)＝36＋4k＜0，k＜－9，当k＜－9时，两函数的图象没有交点．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，一次函数y＝－x＋2的图象与反比例函数y＝－eq\f(3,x)的图象交于A，B两点，与x轴交于D点，且C，D两点关于y轴对称．(1)求A，B两点的坐标；(2)求△ABC的面积．解：(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2，,y＝－\f(3,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，))∴A(－1，3)，B(3，－1)；(2)由y＝－x＋2＝0得x＝2，∴D(2，0)，C(－2，0)，∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝eq\f(1,2)×4×3＋eq\f(1,2)×4×1＝8.19．如图，函数y1＝－x＋4的图象与函数y2＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象交于A(m，1)，B(1，n)两点．(1)求k，m，n的值；(2)利用图象写出当x≥1时，y1和y2的大小关系．解：(1)把点A(m，1)代入y1＝－x＋4，得m＝3，则A(3，1)，∴k＝3×1＝3.把点B(1，n)代入y2＝eq\f(k,x)，得出n＝3.(2)如图，由图象可知：①当1＜x＜3时，y1＞y2；②当x＝1或x＝3时，y1＝y2；③当x＞3时，y1＜y2.20．已知平面直角坐标系xOy(如图)，直线y＝eq\f(1,2)x＋b经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A(2，t)在这条直线上，连接OA，△AOB的面积等于1.(1)求b的值；(2)如果反比例函数y＝eq\f(k,x)(k是常量，k≠0)的图象经过点A，求这个反比例函数的表达式．解：(1)过A点作AC⊥y