第7章 弯曲应力

第7章弯曲应力7.1梁弯曲时的正应力7.2弯曲正应力强度计算7.3*非对称梁的弯曲7.4梁弯曲时的剪应力7.5提高粱弯曲强度的措施内容提要1、中性层、中性轴的概念；2、梁的横截面上正应力、剪应力公式及对应的强度条件；3.提高梁弯曲强度的措施。1、危险截面的确定；2、弯曲剪应力的求解。重点难点7.1梁弯曲时的正应力7.1.1前言轴向拉压：圆轴扭转：梁的弯曲：当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力V。mmVM只有与正应力有关的法向内力元素

dFN=dA

才能合成弯矩只有与剪应力有关的切向内力元素dV=dA

才能合成剪力所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有剪应力mmVmmM7.1梁弯曲时的正应力一、纯弯曲

7.1.2梁的正应力若梁在某段内各横截面上的

弯矩为常量

，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。+-PP+Pa

CD段就是

纯弯曲。PPaaCD7.1梁弯曲时的正应力二、纯弯曲梁横截面上的正应力1、实验观察与分析观察到：

在矩形截面梁的侧面画上一些水平的纵线（aa、bb等）和一些横向线（mm、nn等）纵线：相互平行的水平直线→相互平行的曲线，且上部被压短，下部被拉长；横向线：仍保持直线，仍与纵线垂直，但相互不再平行，相对转动了一个角度。7.1梁弯曲时的正应力7.1梁弯曲时的正应力（1）横截面变形后仍为一平面（平截面假设），且仍与梁的轴线正交；（3）纵向纤维间无挤压，上部纤维缩短，下部纤维伸长，由变形的连续性，必有一层纤维即不伸长，也不缩短，称之为中性层；中性层与横截面的交线称为中性轴。（2）梁可看成是由一层层的纵向纤维组成的，由平面假设，同一层纤维的伸长（或缩短）相同；中性层——即不伸长，也不缩短的一层纵向纤维中性层中性轴横截面中性轴——中性层与横截面的交线弯曲变形的特征——横截面绕中性轴转动了一个角度中性层7.1梁弯曲时的正应力中性轴7.1梁弯曲时的正应力2、公式推导在推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式时，要综合考虑几何，物理和静力学三方面。如图，从纯弯曲梁段上取出长为dx的微段，将梁的轴线取为x轴，横截面的对称轴取为

y轴，中性轴取为

z轴dxzyaabba′a′b′b′o1o2中性轴中性层7.1梁弯曲时的正应力dxzyaabba′a′b′b′o1o2中性轴中性层几何关系a′a′o1o2b′yK1K2取距离中性轴为y处的纤维K1K2作为研究对象曲率半径7.1梁弯曲时的正应力a′a′b′o1o2b′yK1K2纤维K1K2的相对伸长为曲率半径即：y

——纤维距离中性轴的距离

——梁弯曲后的曲率几何关系7.1梁弯曲时的正应力a′a′b′o1o2b′yK1K2曲率半径y

——纤维距离中性轴的距离

——梁弯曲后的曲率该式说明：线应变和纤维与中性轴的距离y成正比，同一层纤维的线应变相同，离中性层越远，纤维的线应变越大；和梁弯曲后的曲率成正比。几何关系7.1梁弯曲时的正应力物理方面a′a′b′o1o2b′yK1K2曲率半径由纵向纤维间无挤压，则各条纤维均处于单向受力状态，因此，由胡克定律，有：该式说明：正应力σ

和点与中性轴的距离y成正比，同一层纤维的正应力相同，离中性层越远，点的正应力越大；和梁弯曲后的曲率成正比。7.1梁弯曲时的正应力弯曲正应力分布规律弯矩为正时，正应力以中性轴为界，下拉上压；弯矩为负时，正应力上拉下压；中性轴上，正应力等于零MM问题：中性轴的位置？曲率？物理方面7.1梁弯曲时的正应力静力学方面yZOxM在横截面上法向内力元素dA

构成了空间平行力系。dAzy根据梁上只有外力偶M这一条件可知，上式中的

FN

和My均等于零，而MZ就是横截面上的弯矩M。——①——②——③7.1梁弯曲时的正应力yZOxMdAzy——说明中性轴过形心由①式得：静力学方面7.1梁弯曲时的正应力yZOxMdAzy——说明中性轴是截面的主轴由②式得：由①②式可知，中性轴是截面的形心主惯性轴对称轴为截面的形心主惯性轴，弯曲变形时的中性轴就是对称轴静力学方面7.1梁弯曲时的正应力静力学方面yZOxMdAzy由③式得：该式说明，曲率与弯矩成正比，与EIZ成反比。IZ——截面对中性轴的惯性矩EIZ——弯曲刚度（抗弯刚度）7.1梁弯曲时的正应力静力学方面IZ——截面对中性轴的惯性矩M——截面的弯矩y——求应力的点到中性轴的距离中性轴是截面的形心主轴，弯曲变形时的中性轴就是对称轴M正比反比——梁的正应力公式7.1梁弯曲时的正应力IZ——截面对中性轴的惯性矩M——截面的弯矩注意：1、此公式是在纯弯曲状态下推导出来的，对于剪力弯曲（V≠0）仍然适用；2、对其它对称形状的梁也适用（工字型、T形等）；3、对非对称截面梁，只要荷载作用在过形心主轴的纵平面内，也适用，但要先求出中性轴的位置。纯弯曲梁横截面上的正应力y——求应力的点到中性轴的距离7.1梁弯曲时的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力IZ——截面对中性轴的惯性矩M——截面的弯矩

应用公式时，一般将M、y以绝对值代入，根据梁变形的情况直接判断的正、负号。以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力（为正号），凹入边的应力为压应力（为负号）。y——求应力的点到中性轴的距离7.1梁弯曲时的正应力yyCZCZ中性轴7.1梁弯曲时的正应力yyCZCZ中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。M拉压M拉压7.1梁弯曲时的正应力梁的弯矩图如图5-8b所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值为

例7-1

图5-8所示，一受均布载荷的悬臂梁，其长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，求最大弯矩7.1梁弯曲时的正应力

因危险截面上的弯矩为负，故截面上缘受最大拉应力，其值为在截面的下端受最大压应力，其值为（2）求最大应力7.2弯曲正应力强度计算一、梁的最大正应力1、梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部2、梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处7.2弯曲正应力强度计算IZ——截面对中性轴的惯性矩yZCWZ称为弯曲截面系数（抗弯截面模量），只与截面形状和尺寸有关，单位m3令：2、梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处7.2弯曲正应力强度计算M矩形截面梁横截面上正应力分布图如图所示二、正应力强度条件注意：如果材料的σmax所在的截面称为危险截面7.2弯曲正应力强度计算对于铸铁等

脆性材料制成的梁，由于材料的二、正应力强度条件应分别计算出最大拉应力和最大压应力，分别不超过材料的

许用拉应力和

许用压应力

7.2弯曲正应力强度计算zy应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式对于中性轴不是对称轴的横截面，例如T形截面求得相应的最大拉应力和最大压应力M二、正应力强度条件7.2弯曲正应力强度计算zyM（两者有时并不发生在同一横截面上）二、正应力强度条件7.2弯曲正应力强度计算三、弯曲截面系数Wz的计算矩形截面圆形截面yzhbdyz注：h是与中性轴垂直方向的长度7.2弯曲正应力强度计算四、正应力强度条件的应用按正应力进行强度校核按强度条件选择梁的截面按强度条件确定梁的许可荷载先确定梁的许可弯矩，再由弯矩与荷载之间的关系确定荷载7.2弯曲正应力强度计算四、正应力强度条件的应用步骤：1、内力计算，求出最大弯矩，确定危险截面的位置；2、代入强度条件进行计算7.2弯曲正应力强度计算例7-2

图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴BC段截面的直径。已知q=1KN/mm，许用应力[σ]=140MPa。q3003001400ABCD危险截面在轴的中部利用截面法求该截面弯矩qRAyM300700300由对称性可求得：7.2弯曲正应力强度计算例7-3图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为bh的矩形，h=2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？bhhbq根据弯曲强度条件同样载荷条件下，工作应力越小越好因此，WZ越大越好梁立置时：梁倒置时：立置比倒置强度大一倍。注意：Z轴为中性轴7.4梁弯曲时的剪切应力（1）截面上各点剪应力的方向都平行于截面的剪力；（2）剪应力沿截面宽度方向均匀分布，即距离中性轴等距离各点的剪应力相等。一、假设由弹性力学可知，对狭长矩形截面（高度h大于宽度b），以上假设成立7.4.1矩形截面梁的剪应力7.4梁弯曲时的剪切应力mmnnP2P1q(x)mmnnxdxMM+dMVV＋dV1用横截面m—m,n—n

从梁中截取dx

一段。弯矩产生正应力剪力产生剪应力两横截面上均有剪力和弯矩。二、狭长矩形截面（h×b）剪应力公式的推导7.4梁弯曲时的剪切应力

两横截面上的弯矩不等

。所以两截面上到中性轴距离相等的点（用y表示）其正应力也不等。mmnn正应力（）分布图ymmnnMM+dMVV+dV7.4梁弯曲时的剪切应力mnnmohbdxxyz2在距离中性轴y处假想地从梁段上截出体积元素mB1yABA1B1二、狭长矩形截面（h×b）剪应力公式的推导7.4梁弯曲时的剪切应力mnnmohbdxxyzyxzyBmnAB1A1体积元素mB1在两端面mA1、nB1

上两个法向内力不等。3yABA1B14在纵截面AB1上必有沿x方向的切向内力dV’。此面上也就有剪应力7.4梁弯曲时的剪切应力mnnmohbdxxyzyABA1B1BB1yxzyBmnAB1A1在AB1面上的AA1线各点处有剪应力。根椐剪应力互等定理，在横截面上横线AA1上也应有剪应力。(所求)7.4梁弯曲时的剪切应力mnnmohbdxxyzyABA1B1BB1假设：

横截面上距中性轴等远的各点处剪应力大小相等。

各点的剪应力方向均与剪力（截面侧边）平行。所以横截面AA1线上各点的剪应力相等,且与侧边平形。根椐剪应力互等定理，纵截面AB1上，AA1线上各点的剪应力相等。且纵截面AB1上的剪应力均匀分布。7.4梁弯曲时的剪切应力yxzyBmnAB1A1由静力平衡方程，求出dV’。推导公式步骤：1和分别求出mA1和nB1面上正应力的合力234dV’

除以AB1面的面积得纵截面上的剪应力。由此得到横截面上距中性轴为任意y的点上的剪应力公式。7.4梁弯曲时的剪切应力yxzBmnAB1A1假设m—m,n—n上的弯矩为M和M+dM。两截面上距中性轴y1处的正应力为1和2。1求FN1*和FN2*7.4梁弯曲时的剪切应力yxzBmnAB1A1y1用A*记作mA1的面积Sz*是面积A*

对中性轴z的静矩。7.4梁弯曲时的剪切应力yxzBmnAB1A1y1Sz*是面积A*对中性轴z的静矩。同理A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积。7.4梁弯曲时的剪切应力yxzBmnAB1A1y12由静力平衡方程求dV’7.4梁弯曲时的剪切应力yxzBmnAB1A13求纵截面上的剪应力’bdx4由剪应力互等定理得横截面上距中性轴为任意y的点，其剪应力的计算公式7.4梁弯曲时的剪切应力ZIz

—

整个横截面对中性轴的惯性矩Sz*—

过求剪应力的点做与中性轴平行的直线，该线任一边的横截面面积对中性轴的静矩V—

横截面上的剪力yb—

矩形截面平行于中性轴的边长狭长矩形截面梁对称弯曲时横截面上任一点处的剪应力计算公式。7.4梁弯曲时的剪切应力剪应力沿截面高度的变化规律nBmAxyzOy沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定7.4梁弯曲时的剪切应力nBmAxyzOy7.4梁弯曲时的剪切应力τmaxτ=0yy1dy1zh/2h/2yb剪应力沿截面高度按抛物线规律变化。7.4梁弯曲时的剪切应力三其它截面的最大剪应力四型钢五弯曲剪应力强度条件

21K环形圆形工字形矩形截面系数查附录代入7.4梁弯曲时的剪切应力例7.4一矩形截面简支梁，已知：l＝3m，h＝160mm，b＝100mm，h1＝40mm，F＝3KN，求m-m截面上K点的剪应力。BAzl/3mFFl/3l/3ml/6Kbhh1解：先求mm截面的剪力y07.4梁弯曲时的剪切应力例7.5

已知:Plbh

求:1τmax=?2τmax:σmax=?解:1作剪力图和弯曲图2计算最大剪应力4比值PABl/2l/2C3计算最大正应力l=5hhb(-)(+)Q图(+)M图7.4梁弯曲时的剪切应力例7.6已知:悬臂梁AB(组合梁),b=69mm,h=100mm,l=800mm,

P=1kN;螺栓的许用剪应力[τ]=100MPa.求:螺栓的直径.Plτττ’解:横截面上的剪力中性层上的剪应力中性层上的剪力7.4梁弯曲时的剪切应力螺栓承受全部剪力Q’,由螺栓的剪切强度条件取7.4梁弯曲时的剪切应力7.4.2工字形梁截面上的切应力分布腹板为矩形截面时

yzBHhbtyA*腹板翼板7.4梁弯曲时的剪切应力BhH

讨论1、沿腹板高度方向抛物线分布2、y=0时，切应力值最大3、腹板上下边处切应力最小7.4梁弯曲时的剪切应力工字形梁腹板上的切应力分布

讨论4、当B=10b,H=20b,t=2b时

max/min=1.18,大致均匀分布5、腹板上能承担多少剪力？积分得:

总剪力的95％～97％近似计算公式：yzBHhbt7.4梁弯曲