第一章优选法-卢一平

大连理工大学材料学院铸造工程研究中心315室Tel:84709400实验设计与数据处理卢一平E-mail：luyiping@课程设置的意义-前沿

顾名思义，“实验设计与数据处理”课程是关于实验前的设计理论、知识、方法、技能，以及实验后对实验数据进行科学处理的理论、知识方法与技能的课程。开设本课程的意义：材料学科的特点-必要性材料学科的毕业生去向：绝大多数学生生毕业后去大型科技企业，研究所、大学等科研学术机构，继续从事科研技术研发方面的工作。

材料学科特点：需要常常做实验，确定最佳的技术工艺条件，获得最佳的产品配方及对产品性能进行优化。几乎所有专业都开设了实验设计与数据处理这门课，是必修课可见其重要性课程度的性质：试验设计方法是一项通用技术，是当代科技和工程技术人员必须掌握的技术方法。课程的任务：让学生熟悉并掌握近代最常用、最有效的几种优化试验设计方法的基本原理及其应用。什么叫做（优化）试验设计方法？把数学上优化理论、技术应用于试验设计中，科学的安排试验、处理试验结果的方法。采用科学的方法去安排试验，处理试验结果，以最少的人力和物力消费，在最短的时间内取得更多、更好的生产和科研成果的最有效的技术方法。优化试验设计方法起源上世纪30年代，由于农业试验的需要，费歇(R.A.Fisher)在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学的一个分支。上世纪40年代，在二次世界大战期间，美国军方大量应用试验设计方法。随后F.Yates,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日趋完善，在应用上日趋广泛。50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。我国优化试验设计方法60末期代，华罗庚教授在我国倡导与普及的“优选法”，如黄金分割法、分数法和斐波那契数列法等。数理统计学者在工业部门中普及“正交设计”法。70年代中期，优选法在全国各行各业取得明显成效。1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，随后，方开泰教授（中国科学院应用数学研究所）和王元院士提出“均匀设计”法，这一方法在导弹设计中取得了成效。优化试验设计试验设计在科学研究中的地位与意义：试验设计方法是一项通用技术，是当代科技和工程技术人员必须掌握的技术方法。科学地安排实验，以最少的人力和物力消费，在最短的时间内取得更多、更好的生产和科研成果。简称为：多、快、好、省。可应用于：提高试验效率、优化产品设计、改进工艺技术、强化质量管理。试验设计在工业生产和工程设计及科学研究中能发挥重要的作用，例如：提高产量减少质量的波动，提高产品质量水准大大缩短新产品试验周期降低成本延长产品寿命多用在化工、电子、材料、建工、建材、石油、冶金、机械、交通、电力……第一部分优选法

典型事例1：长征3号火箭定型试验，新研制的火箭，要检测其安全性稳定性。通过高超设计的实验方案及数据处理技术，不及苏联及美国一半的试验次数就完成了定型试验，大大节省了财力、物力和时间。在材料研究过程中，广泛使用实验手段去探求和掌握研究对象的规律，材料工艺开发过程更是这样。面对大量的实验工作报，除了有关的专业知识和文献信息之外，还必须有一套科学的实验设计方法，才能花费尽量少的力气，获取最多的信息。经过设计的实验，效果大大提高，与不经过设计的实验相比，情况大不相同。典型事例2：高熵多主元合金的研发与制备。例如：Al100Co100Cr100Cu100Fe100Ni100合金系的成分优化与设计。0~100之间，怎么设计与处理？典型-案类1.1单因素问题的优选法优选法：根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类科学方法。如果只考虑改变对目标影响最大的某个因素，而其他因素保持不变，就是单因素问题的优选方法。适用于：试验指标与因素间不能用数学形式表达(数据发散无数学规律）表达式很复杂（未知数的N次方大于3以上）1.1.1黄金分割法黄金分割点是谁发现的？，它是古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯。黄金分割法的应用领域有哪些？绘画、雕塑、音乐、建筑、艺术、管理、工程设计等领域都有应用。请举例。1.1.1黄金分割法基本命题试验指标f(x)是定义区间(a，b)的单峰函数用尽量少的试验次数，来确定f(x)的最大值的近似位置

x1x2abx3x4abxx变量取值是任意的若x1<x2<x，有f(x1)<f(x2)<f(x)，若x<x3<x4，有f(x4)<f(x3)<f(x)，则f(x)最大则称：f(x)为[a,b]上的单锋函数，反之称为单谷函数，单峰单谷函数统称单极值函数。峰值点称为极值点，最大值点和最小值点称为最优点黄金分割法，亦称0.618法，0.618是：

在一般情况下，通过预实验或其它先验信息，确定了实验范围[a，b]，可以用黄金分割法设计实验，安排实验点位置。黄金分割法，是把第一个实验点安排在实验范围距左端点a为区间全长的0.618处。第一个实验点X1=a＋（b－a）×0.618第二个实验点X2=b－（b－a）×0.618或X2=大+小－中（中指已经做过的试验点）

比较试验结果y1=f(x1)和y2=f(x2)的大小。如果f(x1)大，就去掉(a，x2)部分，留下的范围里形成新的含优区间(x2，b)继续试验。

例：要熔炼某种钢，为了提高其强度而加入某种微量元素，含优区间为[1000,2000]。为了寻求最大值点，分别在x1点和x2点做二次试验，其中：x1=a＋(b－a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克x2=b－(b－a)×0.618=2000－(2000-1000)×0.618=1382克然后把加入量1618g和1382g的实验结果进行比较，如果x2点的强度大于x1点的强度，则把x1~b部分去掉，在余下的空间里又形成了一个缩小的含优空间[a,x1]。继续试验再求下一个试验点x3。x3=x1－(x1－a)×0.618=1618－(1618-1000)×0.618=1236克再比较x3和x2点的强度，若x2点的强度大于x3点的强度，则把a~x3部分去掉，在余下的[x3,x1]区间继续求另一个对称点x4=1472克？。再对x2和x4进行比较，如此不断缩小含优区间，直到获得满意的结果。x2x1abx3x18法的数学依据和来源2000多年前,古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。美国J.基弗在1953年首先提出0.618法。中国的数学家华罗庚推广了优选法在工厂和企业的大规模应用。为什么选0.618，又为什么是对称取点？假设第一个试验点取在含优区间[a,b]内的x1点位置是合适的，则x1在[a,b]内应有合适的比例位置：(1-1)为了知道x1的好坏，根据对等原则必须再选对称的选一个点x2x2-a=b-x1(1-2)假定x2比x1好，余下的含优区间为[a,x1],则应满足：(1-3)(1-4)联立(1-2)和(1-3)式子，即满足联立方程：解方程(1-4)，有：因为x1是[a,b]内的点，x2是[a,x1]内的点，所以可知0<1.1.3分数法

1202年，意大利数学家斐波那契（Fibonacci）出版了他的「珠算原理」。他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题：

如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在他出生后的第三个月里，又能开始生一对小兔，假定在不发生死亡的情況下，由一对出生的小兔开始，50个月后会有多少对兔子？在第一个月时，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成熟

了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对小兔子。再过一个多月，成熟的兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大，有三对小兔子。如此推算下去，我们便发现一个规律：

时间（月）初生兔子（对）成熟兔子（对)兔子总数（对）22

有一些实验的试验点只能取整数，不可能是0.618的倍数，也有的实验预先规定了实验的总次数，这个时候运用分数法比0.618法更方便。这个数值称为黃金分割比，它正好是方程式x2+x-1=0的一個根利用这个数列，建立起的分数实验数据如表2所示分数法的具体使用例子1：卡那霉素发酵液生物测定，当培养温度为37±1度时，培养时间在16小时以上，为缩短培养时间，决定优选培养温度，试验范围定在29<T≤50度，精确度要求±1度。由给出的条件可知，测量温度应以整数温度为宜，因此用分数法安排实验。中间试验点共有20个，见图3先选第1个试验点13/21即42度处,第2个试验点选在与第一个试验点对称的8/13试验点即37度处，如第1个试验点比第2个试验点用时少，则去掉8号以下的温度区间，然后在8号至21号新含优区间内找1点的对称点为16号3点，经比较1点培养时间比3点短，去掉16号以上的温度区间，再找1点的对称点位4点，经过比较试验，1点好于4点，把含优区间缩小至11号至16号区间，再找到1号的对称区间5号点，经过试验确定试验温度42-43度较好，只需要8-9小时培养时间。分数法的具体使用例子2：选择一个电阻，调试电器设备的线路。调试着手里只有几种阻值不等的电阻，阻值分别为0.5,1.0，1.3,2.0，3.0,5.0,5.5（千欧）等七种，要求优选一个合适的电阻。首先把这些电阻由小到大顺序排列并编号如下图4。阻值(KΩ)0.51.01.32.03.05.05.5排列012345678为了使试验点适于分数法的某一分数值，我们在该排列两端增加虚点，（0）,（8），这样第一个试验点就可以选在（5）这个点了，第二个试验点选在（5）的对称点（3）这个点，如此下去就可以找到较好得点。问题1？如果是9个实验数据咋办？问题2？如果是19个实验数据咋办？1.1.4均分法、对分法、0.618法、分数法的精确度从一次试验的结果就可以判断效果的好坏并把存优范围缩小。如检查导线何处断路，管道何处堵塞或断裂，蒸馒头放多少碱既不酸又不黄都属于这种情况。在这种情况下可采用对分法。

对分法每做一次试验可以把存优范围缩短一半，n次试验后范围缩短为原来因素范围的(0.5)n，比黄金分割法要快。但并不是所有的问题都能采用对分法。

有人证明了，在不能采用对分法的情况下，黄金分割法是最好的对分法：案例1查找输电线路故障这种操作比较简单，选试点的方法是单一的选取中点。这一类试验问题的特点是有已知的试验标准，且能根据一次试验的结果确定下次试验的选择方向。均分法：均分法是把含优区间均匀分成若干等分，并在每一份上进行试验，同时对各分点的实验结果进行比较，选出极限值。n均分法0.618法分数法平分法Ln=n+1Ln=1/(0.618)nLn=Fn+1Ln=2n121.61822894755256141584398716384202115127177111048576四种方法的搜索精度对比，可见均分法搜索效率最低，平分法(对分法）最高1.2分批试验法前面1.1介绍的几种优选法都属于序贯试验法，是根据前面的试验结果再安排后面的试验，其优点是总试验次数很少。但是，在有些情况下做完一个试验要较长时间才能得到试验结果，这样采用序贯试验法要很长时间才能最终完成试验。另外，在有些试验中，做一个实验的费用和做几个试验的费用相差无几，此时我们也希望同时做几个试验以节省费用。有时为了提高试验结果的可比性，也要求在同一条件下同时完成若干个试验。在上述这些情况下，就要采用分批试验法。分批试验法可分为均分分批试验法和比例分割分批试验法两种。1.2.1均分分批试验法

分批试验法就是每批试验均匀地安排在试验范围内。例如，每批做四个试验，我们可以将试验范围均匀地分为五份，在其四个分点想x1,x2,x3,x4处做四个试验。然后同时比较四个试验结果，如果x3好，则去掉小于x2和大于x4的部分。然后在留下的x2–x4范围内再均分六等分，在未做过试验的四个分点上再做四个试验，这样进行下去，就可获得最佳点。用这个方法第一批试验后范围缩小为2/5，以后每批试验后都缩小为前次范围的1/3。见图。

图每批做四个试验的均分分批法示意图

对于一批做偶数个试验的情况，均可仿照上述方法安排试验。假设做2n个试验（n为任意整数），则可将试验范围均分为2n+1份，在2n个分点x1,x2,…,x2n上做2n个试验，如果xi最好，则保留（xi-1-xi+1）部分作为新的试验范围，将其均分为2n+2份，在未做过试验的2n个分点上在做试验，这样继续下去，就能找到最佳点。用这个方法，第一批试验后范围缩小为2/(2n+1)，以后每批试验都是将2n个试验点均匀地安排在前一批试验好点的两旁，试验后范围缩小为前批试验范围的1/(n+1)。1.2.2比例分割分批试验法

这种方法是将试验点按比例地安排在试验范围内。当每批做偶数个试验时，我们可采用