概率论第二章基础知识

第二章随机变量及其分布第一节一维随机变量及分布第二节离散型随机变量第三节连续型随机变量第四节随机变量函数的分布

随机变量的引入是人类对随机事件统计规律认识的一大飞跃,随机变量及其分布理论的建立,使概率论真正成为一门数学学科.因此这一章是现代概率论的基础。

随机变量概念的产生

在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表

示，由此就产生了随机变量的概念.1.有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数)

例如

掷一颗骰子面上出现的点数◆每天从北京站下火车的人数◆昆虫的产卵数◆

七月份上海的最高温度◆2.在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.

正如裁判员在

运动场上不叫

运动员的名字

而叫号码一样，两者建立了一种对应关系.

称:这种定义在样本空间Ω上的实值函数为随量机变这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.它与在高等数学中的函数一样吗？

它随试验结果的不同而取不同的值，因而在

试验之前只知道它可能取值的范围，而不能

预先肯定它将取哪个值.★

由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.★随机变量随机事件的数量化，且由数量化可达到从量的角度来研究随机现象统计规律性.分布函数在随机变量基础上进一步解决随机变量取值落在一区间上的概率问题(重点,难点)事件及事件概率随机变量及其取值规律（一）随机变量（二）随机变量分布函数第一节一维随机变量及其分布（一）随机变量

1、随机变量实例例在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.Ω={红色、白色}

非数量将Ω数量化可采用下列方法红色白色即有X(红色)=1,X(白色)=0.这样便将非数量的Ω={红色,白色}数量化了.例

抛掷骰子,观察出现的点数.Ω={1,2,3,4,5,6}样本点本身就是数量恒等变换且有则有X(1)=1,X(2)=2,X(3)=3,X(4)=4,X(5)=5,X(6)=6从上例可看出

（1）样本空间可定义一实变量，每一样本点对应此变量的一个取值。

（2）由于样本点随机出现，则这样的变量亦是随机取值，样本点出现的概率即为变量取一定值的概率。2、随机变量定义定义1.1

设E为随机试验,其样本空间为Ω,对Ω中每一个样本点ω,有且只有一个实数X(ω)与之对应,则称此定义在Ω上的实值函数X=X(ω)为随机变量。注：随机变量是上的映射,此映射具有如下特点

定义域样本空间

随机性

随机变量X

的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值

概率特性

X

以一定的概率取某个值或某些值

随机变量与普通函数的异同点：(1)值域均为实数区域R=(，)；(2)随机变量的定义域为样本空间,不一定为实数区域,而普通函数的定义域为实数区域。(3)普通函数的取值是一定的,而随机变量的取值是有一定的概率的。

例设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击,直到击中目标为止,则是一个随机变量.且X(ω)的所有可能取值为:X(ω)=所需射击的次数1,2,3,…例某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则是一个随机变量.且X(ω)的所有可能取值为:X(ω)=此人的等车时间[0,5]

在同一个样本空间可以同时定义多个随机变量,例如={儿童的发育情况}X()—身高,Y()—体重,Z()—头围.各随机变量之间可能有一定的关系,也可能没有关系——即相互独立实际上,随机事件为部分样本点的集合,而在样本空间上定义一随机变量之后,每一样本点对应随机变量的一个取值.而部分样本点的集合即为随机变量部分取值的集合,即随机变量的部分取值的集合为随机事件。

例1中，表示该试验中“取到白球”事件。表示该试验中“取到红球”事件。例2中，事件{点数不小于3}可表示为特别地：（1）若X表示掷一颗骰子出现的点数，则{X=1.5}是不可能事件.（2）若X

为随机变量，则

{X=k}、{a

<

Xb}、……

均为随机事件.即{a

<

Xb}={：a

<

X()b

}(3)一些表达式：

{X=k}={Xk}{X<k}；

{X>b}={Xb}；

{a

<

Xb}={Xb}{Xa}。

3.随机变量的分类离散型(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数.随机变量X

的可能值是:随机变量连续型实例11,2,3,4,5,6.非离散型其它实例2

若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X

的可能值是:实例3

设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量X记为“击中目标的次数”,则X

的所有可能取值为:实例2

随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误差”.则X的取值范围为(a,b).实例1

随机变量X为“灯泡的寿命”.(2)连续型

随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则X的取值范围为4、小结

2.随机变量的分类:离散型、连续型.

1.随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数．1、分布函数的概念2、分布函数的性质(二）随机变量的分布函数分布函数1、分布函数的概念例如（1）概念的引入2.分布函数的定义说明(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.2、分布函数的求法例1

抛掷均匀硬币,令求随机变量X的分布函数.解例2

设袋中有标号为–1,1,1,2,2,2的6个球，从中任取一球，求所取得球的标号数的分布函数。x–1012例某射手向半径为R的圆形靶射击一次，假定不会脱靶。弹着点落在以靶心为圆心，r为半径的圆形区域的概率与该区域的面积成正比,设随机变量X表示弹着点与靶心的距离,求X的分布函数,并求概率解:对任意的由题意,F(x)是一个单调不减的函数F(x)x3、分布函数的性质即任一分布函数处处右连续重要公式例如下四个函数中，哪些可作为随机变量X的分布函数？一、离散型随机变量的分布律二、常见离散型随机变量的概率分布三、小结第二节离散型随机变量及其分布律说明一、离散型随机变量的分布律定义注：离散型随机变量分布律有三种表示方式pkXx1x2x3xn……(3)图形表示法3、离散型随机变量的分布律的求法(1)利用古典概率、条件概率、独立性等计算方法及其运算法则求出事件{X=xk}的概率pk=P{X=xk},k=1,2,…求法步骤为:第一步：先确定X的全部可能取值xk,k=1,2,…;第二步：具体求出事件{X=xk}的概率，即pk。因此分布律为解则例求分布函数由随机变量X的概率分布可以得到其分布函数，以X有n个可能取值为例：(2)离散型随机变量X的分布函数F(x)的图形为一阶梯形曲线；注(1)离散型随机变量X的分布函数F(x)在X=xk处有跳跃，其跳跃值为pk=P{X=xk}，k=1,2,…；一般地，对离散型随机变量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…

其分布函数为

(2)利用分布函数F(x)求概率分布第一步：F(x)的各间断点xk的取值为X的可能取值；第二步：由pk=P{X=xk}=F(xk)–F(xk–0)求出事件{X=xk}的概率。例设随机变量X的分布函数为试求X的概率分布。解:(1)F(x)的间断点为–1,1,3,即为X的可能取值(2)p1=P(X=–1)=F(–1)–F(–1–0)=0.4–0=0.4p2=P(X=1)=F(1)–F(1–0)=0.8–0.4=0.4p3=P(X=3)=F(3)–F(3–0)=1–0.8=0.2(3)利用分布律的基本性质求分布律例一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个作质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它的概率分布。解:设抽取产品的检验等级数为X,则X=1,2,3,依题意知练习设X为一离散型随机变量，其分布律如下：二、常见离散型随机变量的概率分布

设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为则称X服从(0—1)分布或两点分布.1.两点分布实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量X服从(0—1)分布.其分布律为实例2200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0—1)分布.

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明2.等可能分布如果随机变量X的分布律为实例抛掷骰子并记出现的点数为随机变量X,则有将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这n次试验是相互独立的,或称为n次重复独立试验.(1)重复独立试验3.二项分布(2)n重伯努利试验

实例1

抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.实例2

抛一颗骰子n次,观察是否“出现

1点”,就是

n重伯努利试验.(3)二项概率公式且两两互不相容.称这样的分布为二项分布.记为二项分布两点分布可见,一般二项分布的解题步骤为:(1)确定此试验类型是否为贝努利概型，每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，每次试验只有两个结果:A或Ā;（2）检查事件发生的概率：并确定这一串重复的独立试验次数n；（3）令X为n重贝努利概型中某事件A发生的次数，写出二项概率公式:（4）根据所求确定相关的概率：1)P{n次贝努利试验中A恰出现k次}=2)P（A至少发生i次）=P{X≥i}

3)P（A至多发生i次）=P{X≤i}

4)P（A至少发生i次且不超过j次）

=P{i≤X≤j}

例1

在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从B(5,0.6)的二项分布.例2解图示概率分布注1注2注3例

设某种疾病在鸭子中传染的概率为0.25。（2）设对17只鸭子注射甲种血清后，其中仍有一只受到感染；对23只鸭子注射乙种血清后，其中仍有两只受到感染。试问这两种血清是否有效？（1）求在正常情况下（未注射防疫血清时）50只鸭子和39只鸭子中，受到感染的最大可能只数；解因此例3有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?

设1000辆车通过,出事故的次数为X,则解例4故所求概率为二项分布

泊松分布4.泊松分布

电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水

泊松分布中的参数是表征平均特性的量，如X表示单位时间内某电话交换台接到的呼叫次数，则表示在这单位时间内接到呼叫次数的平均数。注1注2(见下页)

kn=10n=20n=40n=100p=0.1p=0.05p=0.025p=0.01=np=100.3490.3580.3690.3660.36810.3850.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015大于40.0040.0030.0050.0030.004泊松(Possion)定理设是一常数，则对任一固定的非负整数k有：且np,l=注:一般的用去近似二项分布的当：时近似效果颇佳时近似效果更好

设1000辆车通过,出事故的次数为X,则可利用泊松定理计算所求概率为解回到前面的例有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?例设每分钟通过某路口的汽车流量X服从泊松分布,且已知在一分钟内无车通过与恰有一辆车通过的概率相同,求一分钟内至少两辆车通过的概率。得=1可以看出泊松概率公式常在两种情况下使用：（1）X服从参数为泊松分布，直接泊松概率公式：（2）X服从参数为n,p的二项分布，间接使用泊松概率公式：

例

（寿命保险问题）设在保险公司里有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在每年一月一日付12元保险费，而死亡时家属可到保险公司领取赔付费2000元。试问：（1）“一年内保险公司亏本”（记为A）的概率是多少？（2）“一年内保险公司获利不少于10000，20000元”（分别记为B1,B2）的概率是多少？解：（1）每年保险公司收入为2500*12=30000元，设X为2500人在一年中死亡的人数，则保险公司应赔付2000X元，若A发生，则有2000X>30000

得X>15（人）即若一年中死亡人数超过15人，则公司亏本（此处不计3万元所得利息）。因为5.几何分布

若随机变量X的可能取值为1,2,3…，其分布律为则称X服从几何分布.记为X~Ge(p).实例

设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数X

是一个随机变量,求X的分布律.X为独立重复的伯努里试验中，

“首次成功”时的试验次数.所以X服从几何分布.解6.负二项分布（帕斯卡分布）

X为独立重复的伯努里试验中，“第r次成功”时的试验次数.记为X~Nb(r,p),p+q=1.

若随机变量X的可能取值r,r+1,r+2,…，且其分布律为则称X服从负二项分布或帕斯卡分布，例

某射手连续向一目标射击，每次射中的概率为0.8，用X表示其射中3次时的总射击次数,试求（1）X的概率分布与分布函数；（2）P{4≤X≤6}。解：显然，事件A={射中目标}，则p=0.8，X服从参数为0.8的帕斯卡分布，（1）其概率分布为其分布函数为(2)=0.47104如果随机变量X的概率分布为:8超几何分布则称服从参数为n，N，M的超几何分布。记作X~h(n,N,M)应用模型:

超几何分布实际上是第一章介绍的不放回抽样模型的数学描述:设一袋中共有N个产品，其中有M个次品，现从中任取n个产品,令X为这n个产品中次品的个数，则X为随机变量,服从参数为n，N，M的超几何分布。对于超几何分布而言，当M，N较大时，不易计算，实际上，可以借助二项分布作近似计算.例

：在一批20件的产品中，有3件次品，现从中任取5件，以X表示所取5件产品中次品的件数，试求的概率分布与分布函数。解：设X为所取5件产品中次品的件数，由题意知，服从X参数为5，3，20的超几何分布，其概率分布为离散型随机变量的分布两点分布均匀分布二项分布泊松分布几何分布三、小结负二项分布超几何分布在伯努利试验中，所考察问题不同几何分布Ge(p)1=r负二项分布Nb(r,p)（事件A出现次数r固定,试验总次数是随机变量）二项分布B(n,p)（试验总次数固定为n,事件A出现次数是随机变量）二项分布B(n,p)泊松分布两点分布分布类型分布律参数(0-1)分布0<p<1二项分布0<p<1几何分布0<p<1熟知的离散型分布如下表分布类型分布律参数超几何分布r=min{n,m}负二项分布r1,0<p<1泊松分布>0等可能分布第三节、

连续型随机变量1、概率密度的概念与性质定义

设随机变量X的分布函数F(x),若存在非负可积函数f(x)，使得则称X为连续型随机变量,概率密度函数，简称概率密度，记为

X~f(x)f(x)为X的1.2概率密度函数的性质(1)f(x)0,xR,表明密度曲线在x轴上方。10x同时得以下计算公式注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即由此可得连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关练习下列函数是否为某随机变量X的概率密度?若是试求出X的分布函数。解：例设随机变量X的概率密度为试确定常数k,并求X的分布函数及P(X>0.1)。解:

由性质2,有例设随机变量X的分布函数为试求X的概率密度f(x)。二、常见连续型随机变量的分布若随机变量X具有概率密度:则称X服从区间(a,b)上的均匀分布,记作X~U(a,b)。当a=0,b=1时，U(0,1)称为标准均匀分布。1、均匀分布概率密度函数图形U(a,b)的分布函数为应用模型在区间上“等可能投点”“随机投点”的试验的数学模型。若X~U(a,b),则对任一小区间(c,c+l)(a,b),X落入其中的概率为X服从区间(a,b)上的均匀分布,则X取值于(a,b)中任一小区间内的概率与小区间位置无关,只与小区间长度有关,此亦表明了X均匀取值的含义。例某公共汽车站每隔10分钟有一辆公共汽车通过，现有一乘客随机到站候车。设X表示乘客的候车时间，问该乘客候车时间小于5分钟的概率。解:

乘客到站相当于在(0,10)内随机投点,可见X~U(0,10),即例设随机变量X在(2,5)上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少两次观测值大于3的概率。解:

设A={X的观测值大于3},已知X~U(2,5),则记Y={对X的三次独立观测中观测值大于3的次数},显然有Y~B(3,2/3),则2、指数分布若随机变量X具有概率密度:其中>0,则称X服从参数为的指数分布,记作X~E()。其分布函数F(x)为:应用模型一种重要的寿命分布，在可靠性理论及排队论中有重要应用。例如：(1)保险丝、宝石轴承、陶瓷制品的寿命分布；(2)电子元件及设备的寿命分布；(3)一些动物的寿命分布；(4)电话中的通话时间，随机服务系统中的服务时间分布。例3.7例设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为1/2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.

解:X的分布函数为(1)P(X>1000)=1–P(X1000)=1–F(1000)(2)P(X>2000|X>1000)指数分布的重要性质:“无记忆性”.3.正态分布(或高斯分布)正态概率密度函数的几何特征正态分布的分布函数

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

正态分布下的概率计算原函数不是初等函数标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的图形性质证明证明称Z是对随机变量X的标准化解例

例已知随机变量X服从正态分布N(10,22),试求P(10<X<13),P(X>13),P(|X–10|<2)。解:

已知X~N(10,22),则=10,=2(1)所求概率为解例9例

某产品的质量指标X~N(160,2),若要求P(120<X<200)0.8,试问允许的值最多为多少?解:已知X~N(160,2),由题意得例

某年举行的高等教育大专文凭认定考试中,已知某科的考生成绩X~N(,2),及格率为25%,80分以上者为3%,试求考生成绩在70分以上的比例。解:由题意得分布函数三、小结2.常见连续型随机变量的分布均匀分布正态分布(或高斯分布)指数分布一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布三、小结第四节随机变量的函数的分布问题的提出在很多实际问题中，需要研究随机变量间存在的函数关系，也就是研究他们在概率分布上的关系.已知圆轴截面直径d

的分布，求截面面积A=

的分布.例如：已知t=t0

时刻噪声电压V的分布求功率

W=V2/R

(R为电阻)的分布等.

研究问题:已知随机变量X及它的分布，要求这个随机变量的分布.又例如：随机变量的函数的定义设g(x)是定义在随机变量X的一切可能取值x的集合上的函数，如果对于X的每一个可能取值x,有另一