《应用二元一次方程组-增收节支》word教案 (公开课获奖)2022北师版

7.5增节教设一学分●生知技根：此以前，学生学习了二元一次方程和二元次方程组，学习了列二元一次方程组解应用题的一局部内容，能熟练地进行二元一次方程组的运算，已初步具备了用方程组刻画实际问题的经验和根底，能正确地分析和理解题意，寻求题中的各种数量关系，具备了继续学习本节内容的知识和能力。在小学的学习中，学生也学习了通过列表的方法帮助我们理清数量关系的有关知识，在此根底上学习本节内容，学生已经具备了学好本节内容的条件。●生活经根：相关知识的学习过程中，学生具备了一些活经验，知道列方程解应用题的一些规律、特点和方法，具备了一些解决实际问题的经验和能力。在以前的数学学习中，学生已经经历很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力。二教分●位作“收节支〞是北师大版八年级数学〔上〕第七章第四节内容。本节主要通过解决现实问题中有关经济方面的应用问题来学习列二元一次方程组，学会对具体情景中的数学信息作出合理的解释，能运用列表分析法分析出各数量间的关系，有效地解决问题。本节教学内容，是在学生学完前一小节《鸡兔同笼》后紧接的又一节列方程组解应用题的内容。但两者的侧重点不同兔笼》是让学生初学通过列二元一次方程组解决一些比拟有趣的数学问题和古代数学问题应用问题，等量关系相对简单；而本节的《增收节支》的教学内容重点放在如何运用列表分析法去分析较为复杂的各数量间的关系。●学标知与能标1．能用列表分析法分析数量关系；2．能练地列二元一次方程组解决简单的实际问题。3．掌运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。过与法标1．经和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型，培养学习数学应用能力。情与度标1．通问题的解决一步认识数学与现实世界的密切联系。2．通对问题的解决，培养学生的必要的经济意识，增强他们节约本钱、有效合理利用资源的意识。●学点1．初步体会列方程组解决实际题的步骤．2．学会用图表分析较复杂的数关系问题。●学点将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系。三教方1．教学方法题情境—建立模型—应用与拓展〞2．课前准备：教具：教材，课件，电脑〔视频播放器〕学具：教材，练习本四教流本设了个学节第环：设境导新；二环：课解第环：习高合学；四节问解，展升第五节学反；六节

布作第环：设境导新创设问题情景，引导学生思考，导入课题你过？提出问题：同学们你知道你的生活有哪些必要开支吗？引发问题：经济生活在我们生中多么重要！你想运用数学知识使你的生活更加合理优化，生活的更加幸福惬意吗？那么你能帮帮解决下面的实际经济问题吗？教进：教师演示幻灯片，学生答复以下问题1．开商店小明想开一家时尚Ｇ点专卖店店前他到其它专卖店调查价格看中了一套新款春装，本钱共500元卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50的利润定价裤子按﹪利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折售，这样专卖店共获利157元小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的本钱价，但店员有事走开了，你能帮助他？2．购物新年来临爸爸想送Ｍ一书和随身听作为新年礼物对ike说在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的倍少，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物〞。你帮他？〔最优化决策〕最近商家促销有促销活动，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返物券30元销〔缺乏100元返券，购物券全场通用爸只给ike400元钱如果他只在一家购置看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购置吗？假设两家都可以选择，在哪一家购置更省钱？教进：学生观看图片和实际问题，引发思考和提升解决问题的兴趣。设意通同学们熟悉的生活中济问题去激发学生学习本节课的兴趣入题开商店、购物、最优化决策等生活实例，再配以精美的图片，进一步提高学生兴趣，激发他们的求知欲和学习热情。更重要的是，这2个例是学生学完本节的知识和方法后的稳固提高练习题，从而增强学生的能力，使本节课前后照应，形成一个整体。教效：这2个活实例是青少年学生感兴趣的实例，带给学生新奇，带给了学生解决问题的欲望，不少学生跃跃欲试。此外，考虑了前后照应，使整节课浑然一体。第环：课解知回：填一填1.某工厂去年的总产值是x万,今的总产比去年增加了20%,那么今年的总产值是__________万元2.假设该厂去年的总支出为y万,今的支出比去年减少了10%,那今年的总支出是__________万元3.假设该厂今年的利为780万那么由1,2可得方程___________________________.(1+20%)(1-10%)y(1+20%)-(1-10%)=780经验提升：解增降率问题常用的关系式为a(1±)=b(其中:a表示数x表示降b表示目标数；增时为加，降时为)教进：过答复知识回参谋题，教师启发学生做经验提升；过答复以下问题对学生能力进

行及时评价，如果答复错误及时纠正。设意识回忆〞，减少学生习新课的困难。实效：经验提升使学生在表示数量关系时更加准确。例探例ＮＩ公司去年的利润〔总产值—总支出〕为200万元今年总产值比去年增加了20%，支出比去年减少了10%，今年的润为万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？分析：关键找等量关.的总产量780万元今年的总产=去年总产值×(1+20%今年的总支=去年的总支出×(1—10%〕相等关系中的数量关系真多，画个表格来表示它们吧！〔题目中可分析今年，去年；总产值，总支出和利润，画个２×３的表格来分析看〕去年今年

总产值万x(1+20%)x

总支出万y(1-10%)y

利润/万元200780得到两个等式：—=200，(1+20%)—10%)=780。解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元那么今年的总产=〕元，今年的总支=〔1—10%〕y万元由题意得:y(1)xy780.解得y答：去年的总收入为2000万，总支出为1800元。教进：生作相等关系、数量关系的分析，教师教学生画表格析数量关系，并共同解答。议一议：还可以设间接未知数吗？〔根据学生情况和教学安排选用〕设今年的总产值为x万，总支为去年

总产值万1

总支出万1

利润/万元200今年

xy

780通过直接设未知数与间接设未知数的类比，让学生感受到列方程时，应选取思维难度和计算难度较低的未知数设法。教进：生设出未知数，教师帮助学生画表格来分析数量关并引导学生类比直接设未知数与间接设未知数的优劣表数关系时假有错误时纠正并着重讲解以免再次出现错误。例院用甲种原料为手术后的病人配制营养品甲原料含单位蛋白质和1单铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质．假设病人每餐需要35单位蛋白质和40单位质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？分析：找出等量关系

甲质量质量量40.×每餐甲原料的质量，×每餐乙原料的质量，每餐甲原料中含铁质=1×每餐原料的质量，×每餐乙原料的质量，由于相等关系中的数量关系复杂，所以可以选取用列表格的方法来表示各数量关系之间的关系，有利于根据相等关系列方程。〔题目中可分析蛋白质含量的含量两种原料和病人配置的营养品画２×３的表格来分析；学生通常对要分析那些数量关系不太明确，所以讲解时要说明为什么会这样画表格〕解：设每餐需要甲、乙两种原料各,y克那有下表：甲原料x克x单位其中含蛋白质量x单位其中含铁质量由上表可以得到的等式：0.7y35,x0.4y.化简得：10xy

(2)(4)

乙原料y克y单位y单位

所配制的营养品３５单位４０单位〔1〕×2得10+14=700(5)(5)－(4)得10=300y=30将=30代(3)得x答：每餐需甲原料28克乙原料30克。教进：题数量关系较为复杂，可提示引导学生思考，然后续教学生画表格分析数量关系的方法；也可鼓学生先画图表分析再纠正；然后由学生解答。学法小结：1．图表分析有利于理清题中的知量，量以及等量关系，条理清楚。2．借助方程组解决实际问题通过学法小结，加强学生对图表分析数量关系的概念和应用意识。设意通过“例题探索一〞例题探索二〞使学生初步学会设计适当的图表，帮助我们理清题目中的数量关系。再结合学生在以前的学习中已掌握的通过相等关系列方程的方法，使学生根本掌握运用图表去解决有关应用题的方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。教效：由于老师对图表的设计、制作的方法指导有力，学生在“例题探索二〞的分析过程中很快通过列表搞清了数量关系，利用等量关系列出正确的方程组，培养了学生分析问题的能力。第环：习高合学；1．育才学校去年有学生３１０名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿学生增加了6％,走学生减少了％.问该校去年有寄宿生与走读学生各多少?设去年有寄宿学生x名,读学生y名那可列出方程组为。

分析：找出等量关系去年寄宿学生＋去年走读学生＝３１００名今年寄宿学生＋今年走读学生＝３１００〔１＋４.％〕题目中可分析去年，今年；寄宿学生，走读学生，学生总数．画个２×３表格来分析去年今年

寄宿学生x〔１＋６％x

走读学生y〔１－２％〕y

学生总数３１００３１００×〔１＋４.４〕解：y(12%)y3100教进：励学生自己画表格分析、思考，然后请学讲析过程，讲解清楚有条理的给予肯定表扬，缺乏的给予补充，提高学生学习的信心。2．编题有一个方程组：y3100,6%)2%)31004.4%).你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？活动规那么：四个同学一组编题，互评；然后推选出有创意，符合实际生活的例子进行全班交流．教进：合师生互评生生互评，使课堂气氛轻松，让学生思路阔，富有创意。设意：稳固、提高学生所学的知识和方法，强化图表分析数量关系的应用。通过学生的编题活动，形成互动，促进合作学习，培养学生逆向思维能力，通过合作学习培养学生合作、创新的学习方式。通过学生互相评价、修正，使学生思维跳出固定单一的生活更注与现世界的交融，开阔视野。教效：本例是符合本校学生实际，激发学习兴趣，图表分析收到了良好的效果；编题时，学生相互交流，互相启发，使整个课堂到此时创新频出，高潮迭起。第环：题决解决问题一小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，本钱共500元卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50的利润定价裤子按﹪利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折售，这样专卖店共获利157元小觉得上衣款式好销路会好些想问问上衣的本钱价但店员有事走开了，你能帮助他吗？分析：找出等量关系题目中可分析上衣，裤子；本钱．实际售价和利润．画个２×３的格来分析上衣本钱＋裤子本钱＝５００元上衣利润＋裤子润＝１５７元解：设上衣的本钱价为ｘ元，裙子的本钱价为ｙ元：上衣裤子

本钱〔元〕xy

实际售价〔元〕x0.9y

利润〔元〕0.950%)xy

解：设上衣的本钱价为x元裙子的本钱价为元那么上衣利x元裤子利润为0.9(1+40%)-元依题意得x+=500，×(1+50%)-×(1+40%)-y=１５７。整理得x+=500，……①35+26=１５７00.…②②－①×26,得9=２700,∴=３００.把其代入①，得=500－３００=００x=３００，y=２００.答：上衣本钱３００元，裙子本钱２００元。教进：生分析解答，教师在解答后给予点评。假设时间较紧可以不解答出来。解决问题二新年来临爸爸想送Mike一书和随身听作为新年礼物．爸爸对Mike说“我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是52元，随身听的单价比书包单价的4倍，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物〞。你能帮助他吗？〔1〕解：设书单价为元那么随身听单价为y元,根据题意可列出方程：

xyy.解之得：

x92,y360.答：书包单价92元，身听单元。最优化决策：聪明的Mike想了想答复正确后同爸爸去买礼物好上商家促销民场所有商品打八折销售家福全场购物满元返购物券30元〔乏100元不返券购物券全场通用但他只带了400元他在一家购置看中的这两样物品帮助他选择在哪一家购置吗？假设两家都可以选择，在哪一家购置更省钱？提示：书包单价92元随身听价元。2〕在人民商场购置随声听与书各一样需花费现金452×∵361.6<400∴可以选择在人民商场购置。

810

=361.6〔〕在家乐福可先花现金360元购随身听，再利用得到的90元返券，加上2元金购置书包，共花现金360+2=362〔元因为＜400，所以也可以选择家乐福购置。因为所在人民商场购置更省钱。教进：学生充分讨论找出最优购置方案，可抽学生板演，师点拨；同时从最优化决策出

发联系生活实际作经济意识的引导。根据教学情况选择解决，如果课堂时间不够，可留作课外作业。教效：由于学生在前面是带着问题学习，现在已掌握了“武器〞，当然想去获取战果。所以学生解决这些问题时，非常积极主动。虽然问题的难度越来越大，但大家越战越勇，毫无退缩之意。同时也对生活中的很多实际问题感兴趣，更加有用数学知识解决问题的欲望。第环：习思你的收获是什么？1．通本节的学习活动，你会用列表分析数据吗？2．你用列方程组的方法解决实际问题吗？3．你体会到方程思想在生活中存在吗？小：１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：分析求问题方〔组〕解答抽象检３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．教进：生思考答复，缺乏的地方教师补充和强调。设意：通过提问方式引导学生小结本节知识及学习活动，养成学习—总结—学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，进一步培养学生的语言表达能力。五教反．突难策---列分法列方程解应用题的分析方法多种多样着力于介绍分析问题的一种比拟有效的方法——图表分析法。列表分析有助于学生明确各数量间的关,将较复杂的数量关系转化的更加清晰简洁，帮助学生学生理清题中的未知量，量以及等量关系，条理清楚很容易根据相等关系列方程，较易突破难点在实际教学中生握了图表分析的方法后低了思维难度效提高了准确率。学生在学会运用列二元一次方程组解应用题的同学到了一种分析数据的方,为以后的学习生活做了方法的准.．学能的养学生各种综合能力的培养融合在每节课的教学设计中。本课为达成教学目标，特别通过设置与经济生活密切相关的一些问题，以及编应用题活动，希望学生通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值逐步形成用数学的识且通过对问题的解决培养学生的合理优化的经济意识，增强他们的节约本钱，有效合理利用资源的意识。．评方本课从学生答复以下问题、练习情况等方面反应学生对知识的理解、运用，教师根据反应信息适时点拨；同时从新课标评价理念出发，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表达方式和解题方法的多样化，形成开展性评价，学生对根本知识技能的掌握情况的意识的提高状况．提高学生学数学，用数学的信心。．注改的面由于受教学时间限制，强调利用方程组对经济类实际问题的解决，对其他类型的问题有所忽略，教学中可以根据学情加以补充；同时对于方程组的解法教学中也可根据学情适当加强。此特需说的，由于本班学生状况较好，因此，整体而言，课堂容量偏大，因此，

对于一般班级，建议在引入情境中仅仅选择或者改变局部问题，供课堂教学使用。第章

反例数一、学生知识状况分析通过本章的学习，学生已经经历抽象反比例函数概念的过程，理解了反比例函数的概念，会作出反比例函数的图象，并探索和掌握其性质，能从函数图象中获取信息来解决实际问题。本章的教学主要以直观操作，观察，概括和交流作为主要的活动方式。通过这些活动，对函数的三种表示方法进行有机的整合，逐步形成对函数概念的整体性认识，逐步提高从函数图象中获取数学信息的能力，提高学生的感知水平，逐步形成从函数视角处理问题的意识，体验数形结合的数学思想方法教师应从现实情境和学生已有的知识经验出发章三维教学目标为标准来考查学生的学习情况，考查学生对反比例函数的定义，图象，性质及其应用掌握的程度，以及从函数图象中敏锐地获取相关信息、分析问题、解决问题的能.二、教学任务分析函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的根底上抽象出来的数学概,是究现实世界变化规律的重要内容及数学模型,学生已经在七年级下册和八年级上册学习过变量之间的关系、一次函数等内容对数已有了初步的认,在此根底上讨论反比例函,可进一步领悟函数的概念累研究函数性质的方法及用函数观点处理和解决实际问题的经,为后继学习二次函数等产生积极的影响。教学目标(一知识与能力1.经历抽象反比例函数概念的过，理解反比例函数的概.2.会作反比例函数的图象，并探和掌握反比例函数的主要性.3.会从函数图象中获取信息，能用反比例函数的概念、图象和主要性质解决实际问(二)过程与方法1.熟练掌握本章的整体知识结构培养学生的概括和归纳能力，形成知识体.2.在经历抽象反比例函数概念的程中，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，进一步培养学生的抽象思维能.3.经历一次函数的图象及其性质探索过程合作与交流中开展学生的合作意识和交流能

力4.能根据所给信息确定反比例函的表达式、会作反比例函数的图象，并能运用数形结合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问.(三情感与价值观通过本章内容的回忆与思考，开展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，开展学生的形象思维能力，激发学生学习的热情，培养学生学习数学的兴趣。教学重点本章知识的网络结构体.反比例函数的概.会作反比例函数的图象，并掌握其性.反比例函数的相关应.教学难点利用反比例函数的图像，探索反比例函数的主要性.反比例函数的相关应.教学方法自主探究、合作交流三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习提问，引人入胜；第二环节：知识串联，形成体系；第三环节：例题精练，稳固新知；第四环节：交流探讨、收小结；第五环节：课后作业第一环节：复习提问，引人入胜活动目的给生设置疑问，激学生的思考和回忆，明确本节课的学习任务。活动过程：本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内?学生答复预设：反函数及例数用。.

教师引入：面就面复.第二环节：知识串联，形成体系活动目的：引导学生对本章的所学的根底知识进行系统的归纳和整理，使学生明确各个知识

点之间的联系，将根知识网化，形本钱章知识的框架结构体系。活动过程：〔一〕本章知识结构引导学生构造本章知识结构图。(可课前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导图，上课进行展示和交流本章内容框架活动效果：学生可以根据以上内容框架，对自己整理的知识框架进行补充和整理，完善自己的知识体系，并能用自己的语言归纳总结本章内考前须知：1.应学生自主总和归纳为主，教师要在适时适当的给予指导；2.对于学生个性化的结构框架的理设计，只要合理，老师都应给予肯定。（二）举出现实生活中有关反比例函数的实例，并归纳出反比例函数概.学生答复预设：例：当三角形的面积是16时，它的底边a(cm)是个底边上的高的函.解：a＝

32h

.在上式中意定h一个应地就确定了一个a值因此是h的数以一般地，如果两变量x之的关系可以表示成y=数

kx

(k是数≠0)的式那称是的反例函〔三〕说说函数y＝

2和y的象的联系和区别.xx联系：图象都是由两支曲线成；(2)它们都不与坐标轴相交；(3)它们都不过原点，既是中心称图形，又是轴对称图.

(4)虽然y＝

2和y=-的象不同，但是在这两个函数图象上任取—点，过这两点分别作xxx轴、y轴平行线，与坐标轴围的矩形面积相等，都为2.区别(1)它们所在的象限不同y=在第二象限和第四象.

22的两支曲线在第一象限和第三象限y=-的支曲线x(2)y＝

2x

2的图象在每个象限内y随x的大而减小y=-的象在每个象限内y随x的x增大而增大〔四〕回忆反比例函数图象的作图步骤及反比例函数图象的性质画函数图象的步骤有列表点线.在作反比例函数的图象时应注意表自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的—对一对的数值，并尽量多取一些点，连线时要连成光滑的曲线，而不是折线.反比例函数图象的性质有〔课件演示1.形状：反比例函数的图象是两双曲.2.位置：当时图象分别位第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.3.增减性：当k>0时在一个象限内y随x的大而减小；当k<0时，每一个象限y随x的增而增大4.因为在y=

kx

(k≠0)中，x不为0，y也不为0所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相.5.在一个反比例函数图象上任取点P，过点P，Q别作、轴y轴平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S，S那S＝S6.对称性：反例函数的图象既是轴对称图形是中心对称图形它两条对称轴对中心是坐标原点.第三环节：例题精练，稳固新知活动目的：使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题，提高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力。活动过程：课件展示例一1.以下函数中，其图象位于第一三象限的有哪在其图象所在象限内y的随x值增大而增大的是哪些()

(1)y=

13x

(3)y=(2)y=x

(4)y=-

72.在函数y＝面积是多少

3x

的图象上任取一点P过P分作轴的平行线与坐标轴围成的矩形分析：根据反比例函数图象的性质，当＞0时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随的增而减小；当k<0时正好相反，但在y

13x

中，形式虽然和反比例函数的形式不相同，但可以化成y=

x

的形式。答案：图象位于第一、三象限的(1)(2).在其图象所在象限内y的值x值的增大而增大的有3)(4).2.S=｜=3.例二14

，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是，倒过来放，对桌面的压强是多少?

，当体积v＝5米3ρ＝1.98千／米，求ρ与v的数关系式；当v=9米时CO的密度分析：压强p、受力面积S、压三者间的关系为p=定的，由于受力面积不同，因此压强也不

FS

，因为是同一物体，所以F是一质量m、密度ρ、体积三之的关系为：ρ=

，由v=5米3，ρ=1.98千克／,可知质量m，实际代表反比例函数中k求出m就确定了反比例函数的关系式.答案：解：1.当底面放在桌面上时，桌面的压强为p＝

FS

所倒过来放时，对桌面的压强p＝

FF

＝800Pa.

的质量为千克将v=5米3，千克／米代入公式ρ＝故所求ρ与v间函关系式为ρ＝.

中，得m=9.9千克.(2)当v＝9米

时，ρ=

＝1.1(千克／米3)。课堂练习课演示：

1.对于函数y=

2x

2，当x>0时y_______0，局图象在______限；对于＝-，xx<0时，，局部图象在_____象.2.函数y=

10

的图象在第___象限内，在每一象限内，增大______.3.根据以下条件，分别确定函数y