第2章 材料力学(扭转与剪切)

Welcome!Welcome!Welcome!第3章扭转与剪切、挤压§3-1剪切与挤压键连结和铆钉连接件应力计算本单元主要讨论：一、剪切1、剪切变形的特点两外力与连接件轴线垂直，距离很近连接件横截面发生错位我们将错位横截面称为剪切面2.剪切的工程实例螺栓连接铆钉连接销轴连接平键连接焊接连接3、受剪切构件的主要类型一、铆钉类铆钉连接螺栓连接PP螺栓受力情况受剪切面为两组力分界面内力外力要平衡二、键类单键连接花键连接单键连接的受力分析dMF4、剪切强度的工程计算PP以螺栓为例剪切面F将螺栓从剪切面截开，由力的平衡，有：F为剪切内力，即剪应力在剪切面上的合力，我们称之为剪力P剪应力在剪切面上的分布情况是非常复杂的工程上往往采用实用计算的方法

可见，该实用计算方法认为剪切剪应力在剪切面上是均匀分布的。许用剪应力上式称为剪切强度条件其中，F为剪切力——剪切面上内力的合力A为剪切面面积受剪切螺栓剪切面面积的计算：d受剪切单键剪切面面积计算：取单键下半部分进行分析外力剪切面合力剪切力假设单键长宽高分别为lbhlbh则受剪切单键剪切面面积：设合外力为P剪切力为Q则剪应力为：螺栓和单键剪应力及强度计算：螺栓单键单剪切与双剪切P单剪切双剪切前面讨论的都是单剪切现象P出现两个剪切面中间段P/2P/2PP/2P/2左右两段P/2P/2剪切力为P剪切面面积2倍剪切力为P/2剪切面面积单倍结论：无论用中间段还是左右段分析，结果是一样的。P例1图示拉杆，用四个直径相同的铆钉连接，校核铆钉和拉杆的剪切强度。假设拉杆与铆钉的材料相同，已知P=80KN，b=80mm，t=10mm，d=16mm，[τ]=100MPa，[σ]=160MPa。PP拉杆危险截面btd构件受力和变形分析：假设下板具有足够的强度不予考虑上杆（蓝杆）受拉最大拉力为P位置在右边第一个铆钉处。拉杆强度计算：铆钉受剪切工程上认为各个铆钉平均受力剪切力为P/4铆钉强度计算:PP拉杆危险截面btd二、挤压1、关于挤压现象一般来讲，承受剪切的构件在发生剪切变形的同时都伴随有挤压挤压破坏的特点是：在构件相互接触的表面，因承受了较大的压力，是接触处的局部区域发生显著的塑性变形或挤碎作用于接触面的压力称为挤压力在挤压力作用下接触面的变形称为挤压变形挤压面为上半个圆周面挤压面为下半个圆周面铆钉或螺栓连接挤压力的作用面称为挤压面键连接上半部分挤压面下半部分挤压面2、挤压强度的工程计算由挤压力引起的应力称为挤压应力与剪切应力的分布一样，挤压应力的分布也非常复杂，工程上往往采取实用计算的办法，一般假设挤压应力平均分布在挤压面上挤压力挤压面面积许用挤压应力关于挤压面面积的确定键连接lhb铆钉或螺栓连接挤压力分布hd剪切与挤压的主要区别剪切面与外力平行挤压面与外力垂直剪切应力为剪应力挤压应力为正应力剪切面计算铆钉与螺栓键挤压面计算例22.5m3挖掘机减速器齿轮轴为平键连接b=28mm,h=16mm,P=12.1kN,l2=70mm,R=14mm,键[]=87MPa，轮毂[j]=100Mpa，校核键连接强度.解：（1）校核剪切强度

键的受力情况如图2-10c所示，此时剪切面上的剪力（图2-10d）为Q=P=12.1kN=12100N对于圆头平键，其圆头部分略去不计（图2-10e），故剪切面面积为所以，平键的工作剪应力为满足剪切强度条件。

（2）

校核挤压强度

与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的挤压力为

P=12100N挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为h/2，则挤压面面积（图2-10f）为故轮毂的工作挤压应力为也满足挤压强度条件。所以，这一键连接的剪切强度和挤压强度都是足够的。例3高炉热风围管套环和吊杆通过销轴连接，每个吊杆上承重P=188kN,销轴直径d=90mm,吊杆端部厚1=110mm,套环厚2=75mm,材料皆为A3钢，[]=90MPa，[j]=200MPa，试校核销轴连接强度。解：（1）校核剪切强度用截面法求剪力,受力分析如图,用平衡方程求得剪力剪切面面积为销轴的工作剪应力为故剪切强度是足够的。挤压面的计算面积为所以工作挤压应力为故挤压强度是足够的。（2）校核挤压强度销轴的挤压面是圆柱面，用通过圆柱直径的平面面积作为挤压面的计算面积。这时，挤压面上的挤压力为小结

1.剪切实用计算所作的主要假设是：（1）假设剪切面上的剪切应力均匀分布，由此得出剪切强度条件为

（2）假设挤压面上的挤压应力均匀分布，由此得出挤压强度条件为

2.剪切构件的强度计算，与轴向拉压时相同，也是按外力分析、内力分析、强度计算等几个步骤进行的。在作外力和内力分析时，还须注意以下几点：（1）首先必须取出剪切构件，明确研究对象，绘出其上的全部外力，确定外力大小。在此基础上才能正确地辨明剪切面和挤压面。

（2）正确地确定剪切面的位置及其上的剪力。剪切面在两相邻外力作用线之间，与外力平行。（3）正确地确定挤压面的位置及其上的挤压力。挤压面即为外力的作用面，与外力垂直；挤压面为半圆弧面时，可将构件的直径截面视为挤压面。

§3-2

扭转的概念1.扭转变形的概念和特点ABA'B'jgMnMn特点：横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生相对转动概念：圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶矩作用力偶矩方向沿圆杆的轴线扭转的概念§3-3

外力偶矩和扭矩的计算直接计算：根据轴上零件所受的圆周力和力的作用半径求得1.外力偶矩的计算按轴的转速和传递的功率求得转速：n(转/分)输入功率：N(kW)m1分钟输入功：1分钟m作功：单位2.扭矩的计算、扭矩图1、扭矩的概念扭转变形的杆往往称之为扭转轴，扭转轴扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩。2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到mmmMn3、扭矩正负号的规定确定扭矩方向的右手螺旋法则：以右手4个手指弯曲的方向沿扭矩转动的方向，大拇指伸直与截面垂直，则大拇指的指向即为扭矩的方向。扭矩正负号：离开截面为正，指向截面为负指向截面离开截面例4

传动轴如图所示，转速n=500转/分钟，主动轮B输入功率NB=10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为NA=4KW，NC=6KW，试计算该轴的扭矩。ABCABC先计算外力偶矩计算扭矩：AB段mAMn1设为正的Mn1BC段Mn2设为正的mcMn24、扭矩图将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示BCADTBTCTDTA例2已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。477.5N·m955N·m计算外力偶矩作扭矩图Tnmax=955N·mBCADTBTCTDTA637N·mTn§3-4圆轴扭转时的强度和刚度计算一、圆轴受扭转时横截面上的应力及扭转强度计算1、圆轴受扭转时横截面上的应力分布规律在圆周中取出一个楔形体放大后见图（b）#根据几何关系，有上式中是圆轴扭转时圆轴母线的角变形量，称为剪应变(即相对角度位移)，单位为弧度。上式说明剪应变与点到圆轴中心的距离r成正比，在圆轴表面剪应变最大，越向中心处越小，在轴心处为零。圆轴受纯扭转时只有剪应变而无正应变，故各横截面上只有剪应力而无正应力。剪切虎克定律

当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎克定律。剪切弹性模量#根据应力应变关系，即剪切虎克定律再根据静力学关系是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称为横截面对形心的极惯性矩。令扭转角Mn横截面上某点的剪应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于该点与圆心的连线剪应力的大小与其和圆心的距离成正比ττ注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一样适用，但是，空心部分没有应力存在。2、扭转剪应力的计算圆截面上任意一点剪应力Tρ极惯性矩圆截面上最大剪应力剪应力具有最大值定义：称之为抗扭截面模量3、抗扭截面模量实心圆截面4、扭转轴内最大剪应力对于等截面轴，扭转轴内最大剪应力发生在扭矩最大的截面的圆周上5、扭转强度条件空心圆截面6、强度条件的应用（1）校核强度（2）设计截面（3）确定载荷例5已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，试设计该轴直径d。BCADTBTCTDTA477.5N·m955N·m637N·mTn由强度条件设计轴直径：选：d=50mmTnmax=955N·m例6某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩T=1930N·m,传动轴用外径D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。材料为20号钢，[]=70MPa.校核此轴的强度。（1）计算抗扭截面模量cm3（2）强度校核

满足强度要求二、圆轴扭转的变形及刚度计算1、扭转变形——扭转角抗扭刚度为了描述扭转变形的剧烈程度，引入单位长度扭转角的概念单位或2、扭转刚度条件以每米弧度为单位时以每米度为单位时许用单位长度扭转角

例75吨单梁吊车，NK=3.7kW,n=32.6r/min.试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢，[]=40MPa,G=80×103MPa,=1º/m。（1）计算扭矩轴CD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶矩T轮，则N•m马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个车轮所消耗的功率为（2）计算轴的直径

选取轴的直径d=4.5cm。（3）校核轴的刚度

例8一传动轴，已知d=45cm,n=300r/m