说明分析中学

(省怀宁县江学sinγin则sinθ2 一般符合某种条件的定点都具有两个性质

又AB=S△PAB=sinγ 一是存在性;二是唯一性.也就是说,它既 S AR=S△GAR=sin S 通过研究定值,寻找定点的位 定点问题与定值问题关系密切,前者 BC=RC2,即RC BC究定值来寻找定点的位置,无疑是一种有 由于ABBC皆为定长线段,

的方法例 已知直线上的三个定点依次ABC,Γ为过AC且圆心不在AC

由于QPAC内部,由塞瓦定理的三sinγsinβsinβ圆.AC两点作与圆Γ

=于点P,PB交圆Γ于点Q.证明∠AQC的平分AC的交点是定点.讲解:如图1∠AQC的平分线交AC于点R,延长QR交圆Γ于点G,联结AG、CG易知AG=CGPA=APQ 其余相等的角用αβ表示

收稿日期:2005-12-定值,AR为定值因此,点R的位置固定不变,即不论圆Γ的大小怎样变化,∠AQC的平分线与AC的交点R恒为定点.思考:若点Q在优弧AC,仍然作∠AQC的平分线交AC于点R.此时,?2ABOQ是OBPQ⊥AB,PO上,MNO上,

=∠PQNMN∩AB=S.证明O⊙O延长NQM,OMOM.因为∠=∠PQNPQ⊥AB,QM.ABO∠MQM的公共对称轴,从而,AM,AOM.1

EO·BD·AC=OBDA∠AOM

DA2 ·2 A=∠MNM=∠MNQMOQN四点共圆.,∠BQN=∠OMN.OROQ=aRa均为OQM=∠BQN=∠OMN=∠OMS

△DB △CAQEOBQ AD AB∠QOM=∠MOS

··

·OBQF

BDAC AD △OQM△OMSOQ=OM OS=OM2 OSAB,O为定点,故S是一个定点.思考:PO的切线是否通过定线与直线MN的交点是定点”,你看如何?通过研究动点的规律,不离.研究动点的活动规律,对于寻找定点的例3已知锐角△ABC是一个定三角,两个动点DE分别在边ABAC又DF⊥BC,EG⊥BC,FG是垂足.设BE∩CD=OFE∩GD=P证明:OP

=ABDFCE=ABAQAC=· ·ACBD· ·OP注:OPBC点Q,然后设法证明AQ⊥BC.感的读者例 已知定直线l与定⊙O相离,⊥lD.过l上的动点PPA、PB⊙OAB,DMPAMDNN证明:MN恒过某一个定点.(1994塞浦路斯数学竞赛)讲解:如图4OPOAOB、DB,ABODQ,DL⊥AB于L=∠OB一定点

= = 高AQ,则垂足Q是一个定点下面证明:OPQ,OPQ三点共线 图

所以,PAOBD五点共圆即点D△PAB的外接圆上MNL三点共线MNODGOP⊥AB∠GLD=∠NLD==∠PBD=∠POD故GL=GD.由于QDRt△QDL的斜边,易得下面只须证明QD的长度为定值.O半径为ROD=d,Rd均为定长PAOBDAOBDODB=∠OAB=∠OBA=∠OBQ所以, OQ=OD=d

定点(46讲解:这是一个饶有趣味且颇费思考的竞赛题ACBD中垂线的交点S.5,BX∥AC∥DY,XY都在直线EF上.联结SASBSCSDSQSR.易得 △EXBQD=d

d2-d

DF=BEAF=CE,QB=BX,AR=AF=CE=CRQD,MNOD的交点即QD中点G当然是定点.

DYRC=BX

B 注:OPD,∠OPAβ,=α+∠NDGαβ.可利用三角法本文所涉及的定点问题可分为两条直线的交点

,QB=RC QB= 1故RC=AC=2 =CN 1 2一条直线与一条圆弧的交点两条圆弧的交点无论属于哪一种情况应该说难度都很大难就难在:定点到底在哪里?从何下手?5ABCDBC=AD,且BC不平行于ADEF分别在边BC、AD,BE=DFACBD相交于点P,直线BDEFQ,直线

EFACR.证明:当点EF△PQRP外=CN-RC=NRBM- ,NR=AC SA=SCSD=SBAD=BC, △SCBASD=

=因此, △BSD SN=AC 所以,Rt SRN=∠SQM=外接圆通过定点S.

=∠L=∠MLNE=BN+BE=AM+AC+=AM+AC+CL=ML 注:本例中的BC=AD和BC不平行 sin∠N sin∠NAD是十分必要的.否则,若BC∥AD,则四 形ABCD为平行四边形.这时,ACBD的 sin∠ML sin∠MP分别ACBD的中而符合条件的EFP.,△PQR就蜕化为一个例 在△ABC中,D是AB的中点,EBCAC=BE-ECCACBMNAMBN,ED交MNF求证:过FMN的直线讲解:这又是一个颇费思考且饶有趣味的几何题.其定点是AB的中垂线与△外接圆的交点G,它是优弧ACB的中点 △GBNGM=GN△GMN为等腰三角形.欲证过点F且垂直于MNG,FMN的中点即可,延长BCK使CK=AC.AK,再延长FEAC得交点LBE-EC=AC,BE=EC+AC=EC+CK=故DEBAK的中位线.

∠NEF∠K=∠CA,得NF1NF=FGMNMN的中,GF必是底MN的中垂,即过F作MN的垂线通过定点G.注:本题的关键是证明FMN的中点,这得益于一道早先就流传过的几何题:“凸四边形的一组对边相等且不平行,则另一组对边中点的连线与相等的那一组对边延长线夹等角”77,△ABC是一个定三角形,动点P在边BC上,PM∥AC,∥AB,点MN分别在边ABAC上今有一定点Q,满AMQN四点共圆Q的几

探索这个定点Q是这样确定的:AB⊙O1使AC⊙O1相切(作?想想看),ACO2ABO2相切.此时AQBQCQMQNQ∠ABQ=∠CAQ,∠BAQ=∠ACQ所以, △CAQBQ=AB (省高级中学,解题又离不开阅读已有的解答.

na1

≤a1+a2+⋯+ann掘和吸收问题解决所蕴含的营养,取得长足平均值不等式的证明这一侧面,来谈谈个人a1a2⋯an∈R+,n∈N收稿日期:2006-01-BM=BM=AB, BQ=BM △ANQ=AMQN四点共圆思考⊙O1O2为什么一定相交?担心是多余的O1、⊙O2外切于点A,A作两圆的公切线XY,易证XYAC在了.这就是说,⊙O1、⊙O2非相交不可.ABO,⊙C是一个动圆它⊙O内切于P且与ABQ求证:恒通过某定点(提示:PQOROCP三点共线.联结ORCQ.设法证OR∥CQ.)ABCAB=AC,⊙OABAC皆相XAB上的切点CYOY(Y在

当且仅当a1=a2=⋯=an,立此不等式通常称为平均值不等式,是应证法1是最常见的一种.形内求证:O的大小怎样变,XY恒(提示:OBX△OCY.XYBC于点M,进而可证OXBM四点共圆.)AB上有一定DAD>DB⊥ABD为垂足动点Cl,AE⊥CBE、BF⊥CA于F.证明:直线FE恒过一定点.(提示:AB的中M,AD=aDB=babFE∩AB=PBP=xMDEF四点共九点圆定义)已知正方ABCD,动点EF分别AB,满足EF=BE+DF.作EG⊥CDGFHH证明:直线