第04章 平面任意力系

第四章平面任意力系平面任意力系：各力的作用线位于同一平面内，既不汇交于一点，也不相互平行的力系。（也称为平面一般力系）工程中很多实际问题都可以简化为平面任意力系P1某一时刻推土铲受力桁（heng）架桥§4-1力线平移定理力线平移定理的定义：作用在刚体上某点A的力F

，可以平行移动到刚体上任一点B，=若要保证该力的作用效果不变但必须同时附加一个力偶。这个力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点B的矩。4[证明]力F

力F'+力偶（F,F''）力系

F,F',F''

==注意区分：力的可传性原理，力线平移定理==OAFAOF'MF'=FM=FR例1：力向圆心平移例2：力向杆件中心平移6静力学①力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=F•d

②力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力+力偶

③力线平移定理的逆定理成立。力+力偶力力线平移定理是力系简化的理论基础。归纳：设平面任意力系如图（a）在平面内任取一点O，称为简化中心。由力线平移定理，将各力平移至O点。于是可得平面汇交力系和附加的平面力偶系，如图（b）。§4-2平面任意力系向作用面内一点的简化大小相等，方向相同，作用点不同

对于平面汇交力系，由汇交力系的合成理论：

对于平面力偶系，由平面力偶系的合成理论：FR'是作用于简化中心的汇交力系（F1',F2'...Fn'）的合力，同时它又是原力系（F1,F2...Fn）的矢量和，因此称FR'为原力系的主矢。MO是附加的平面力偶系（M1,M2...Mn）的一个和力偶，其数值等于各个力偶矩的代数和。因此称MO为原力系对简化中心O的主矩。主矢与主矩的概念平面任意力系向作用面内任一点简化，可以得到一个作用于简化中心的力和一个力偶。这个力系的大小和方向等于力系的主矢，而这个力偶之矩等于力系对简化中心的主矩。结论：注意：①主矢取决于力系中各力的大小和方向，所以它与简化中心的位置无关。②主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，当取不同的点作为简化中心时，各力臂将发生变化，相应力矩也会变化。一般情况下，主矩与简化中心的位置有关。必须指明是对于哪一点的主矩。简化结果分析1、主矢和主矩都等于零此时平面力系平衡。2、主矢等于零，主矩不等于零3、主矢不等于零，主矩等于零

此时平面力系简化为一力偶。由于力偶可以在平面内任意移动而不改变对刚体的作用效果，此时主矩与简化中心的位置无关。

此时平面力系简化为一合力，原平面汇交力系对刚体只产生移动效果，而不产生转动效果。4、主矢和主矩均不等于零

此时还可进一步简化为一合力。于是证明：合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。合力对任一点O的矩为Mo分力对任一点O的矩的代数和为MoF1F2F4F3OACB例1：正方形ABCO，边长为4m，在A、B、C、D四个点上分别作用四个力，F1=2KN,F2=2KN,F3=3KN,F4=4KN,求四个力组成的力系对O的简化结果，以及最后的合成结果。45°例:2重力坝受力如图力系向O点的简化结果；合力与OA的交点到点O的距离x；已知:求：解：主矢：主矩：（1）力系向O点简化（2）求合力及其作用线位置§4-3分布荷载

荷载是作用于构件或结构上的主动力。分布荷载：分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载。体分布荷载：荷载分布在整个构件内部各点上，如结构自重，磁场力等。面分布荷载：荷载分布在构件表面上，如屋顶上雪的压力，水坝上水的压力，挡土墙上土的压力等等。线分布荷载：荷载分布在一个狭长的面积或体积上，则可以将其简化为沿长度方向的线分布荷载。分布荷载的的大小用其集度（荷载密集程度）q来表示，体分布荷载：N/m3面分布荷载：N/m2线分布荷载：N/m均布荷载1、荷载集度为常数的分布荷载（即荷载集度不因坐标的改变而改变），称为均布荷载。非均布荷载2、荷载集度不为常数的荷载称为非均布荷载。三角形荷载梯形荷载如何求解分布荷载的合力大小及作用线位置？求合力根据合力矩定理求力臂1、均布荷载2、三角形荷载3、梯形荷载如何求解分布荷载的合力大小及作用线位置？线分布荷载的几点性质1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图的形心。固定端约束是一种分布载荷工程中有一种常见的约束，其端部牢固地镶嵌在约束物体上，该约束限制物体沿任何方向的移动和转动，这种约束称为固定端约束。==≠平面固定端约束的简化平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零§4-4平面任意力系的平衡一般式

平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零.例已知：求：支座A、B处的约束力.解：取AB梁，画受力图.解得解得解得

梁ABC用三链杆支承，并受荷载和的作用，如图所示，试求每根链杆所受的力。解：以梁为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解之得：例例已知：求：固定端A处约束力.解：取T型刚架，画受力图.其中解得解得解得平面任意力系平衡的其它充要条件二矩式限制条件：两个取矩点连线不得与投影轴垂直平面任意力系平衡方程的其它形式三矩式限制条件：三个取矩点不得共线

平面平行力系：力的作用线在同一平面且相互平行的力系。

平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：§4-5平面平行力系的平衡条件不独立！已知：AB=4m，尺寸如图；求：（1）起重机满载和空载时不翻倒时的平衡载重P3；（2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。解：取起重机，画受力图.满载时，为不安全状况解得P3min=75kN例P3=180kN时解得FB=870kN解得FA=210kN空载时，为不安全状况4P3max-2P2=0解得

F3max=350kN§4-6物体系的平衡·静定和超静定问题若干个物体（零件、部件或构件）通过一定的约束方式联系在一起的系统称为物体系。研究物体系平衡问题时，不仅要分析系统外物体对系统的作用力，还要分析系统内各物体之间的相互作用力。外力：系统以外的物体给系统的作用力内力：系统内部物体之间的相互作用力对于由n个物体组成的物体系，若每个物体受平面任意力系作用，则可以列3n个独立的平衡方程。如果每个物体受平面汇交力系、或平面平行力系作用，则平衡方程总数相应减少。若未知量的数目少于平衡方程数目，有如下3种可能：1、结构不平衡；2、已知条件多余；3、结构不稳定若未知量的数目等于平衡方程数目，则由平衡方程可以解出全部未知量，问题是静定的。若未知量的数目大于平衡方程数目，则由平衡方程不可以解出全部未知量，问题是超静定的，或称为静不定问题。未知量的数目与独立方程数之差，称为超静定次数，或静不定次数。理解：多余约束解题步骤：1、判断是否属于静定问题；

n个物体组成的物体系，有3n个独立方程2、恰当选取研究对象；（系统？局部？单个物体？）选取研究对象的一般原则：（1）研究对象包含已知量和未知量；（2）物体系尽量少拆；（3）未知量越少越好，几何关系越简单越好；（4）中间未知力越少越好。3、受力分析；（核心）4、列平衡方程，求解。物体系平衡问题的求解已知：不计物体自重与摩擦,系统在图示位置平衡;求:力偶矩

的大小，

处的约束力，连杆受力，冲头给导轨的侧压力.解:取冲头

,画受力图.例4-7取轮,画受力图.例4-6例4-8求:A,E支座处约束力及BD杆受力.已知:DC=CE=CA=CB=2l,R=2r=l,重物

,各构件自重不计,取整体,画受力图.解:取DCE杆,画受力图.(拉)已知:F=20kN,q=10kN/m,l=1m;求:A,B处的约束力.练习：已知:F=20kN,q=10kN/m,l=1m;求:A,B处的约束力.解:取CD梁,画受力图.FB=45.77kN例4-8取整体,画受力图.§4-7平面简单桁架的内力计算桁架：由一些直杆，以适当方式在两端连接而成的几何形状不变的结构。节点：桁架中杆件相结合的地方。平面桁架：所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架1、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；4、各杆件自重不计或均布在节点上在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆桁架内力的计算方法：1、节点法2、截面法关于平面桁架的几点假设：——

“理想桁架”桁架平衡------桁架中每一个个节点也平衡一个节点上未知数不超过2个，可根据平面汇交力系的平衡条件进行求解。先从未知量<=2的节点开始，依次向其它节点推进，直到求得所有的未知量。节点法：例4-8练习已知:

P=10kN,尺寸如图；求:桁架各杆件受力.解:取整体，画受力图.(压)取节点A，画受力图.取节点C，画受力图.(压)(拉)(拉)取节点D,画受力图.(拉)当只需要求解桁架内某些杆件上的内力时，通常用截面法。基本步骤：1：假想用一个截面将包含所有进行求解的杆件在内的一些杆件截断，将桁架分为两个部分，取其中一部分作为研究对象。2：将杆件阶段后，将杆的内力施加到研究对象上，建立新的平衡方程进行求解。显然，截面法中含有未知数的杆件数目一般不能超过3个。截面法：例4-9练习已知:各杆长度均为1m;求:1,2,3杆受力.解:取整体,求支座约束力.用截面法,取桁架左边部分.(压)(拉)(拉)求：１，２，３杆所受力.解：求支座约束力从1，2，3杆处截取左边部分例4-13已知：,尺寸如图.取节点D若再求４,５杆受力结束习题课内容例4-14已知：尺寸如图；求：BC杆受力及铰链A受力.解:取AB梁，画受力图.又可否列下面的方程？可否列下面的方程?已知：P=10kN,a

,杆、轮重不计；求：A,C支座处约束力.解：取整体，受力图能否这样画？取整体，画受力图.解得解得例4-15取BDC

杆（不带轮）取ABE（带轮）取ABE杆（不带轮）取BDC杆（带轮）解得例4-16已知：P,a,各杆重不计；求：B处约束力.解：取整体，画受力图取DEF杆，画受力图对ADB杆受力分析得

求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。解之得：再以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。解之得：例4-5例已知:P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,风载F=10kN,尺寸如图;求:A,B处的约束力.解:取整体,画受力图.解得解得取吊车梁,画受力图.解得取右边刚架,画受力图.解得解得对整体图求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。解之得：例例已知：