材料力学-3扭转

第三章扭转材料力学1汽车转向轴§3–1概述2一、概述汽车传动轴§3–1概述3丝锥攻丝§3–1概述4§3–1概述5轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转变形：在杆件的两端作用两个等值，反向，且作用面垂直于杆件轴线的力偶，使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。ABOmmOBA6转速：n(转/分)输入功率：P(kW)M1分钟输入功：1分钟M作功：单位§3–2传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图一、传动轴的外力偶矩73扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2截面法求扭矩mmmTx二、扭矩及扭矩图8扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)94扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT10[例1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入PA=50kW，从动轮输出PB=15kW，PC=15kW，PD=20kW，试绘制扭矩图。解：①计算外力偶矩BCADmBmCmDmA11②求扭矩（扭矩按正方向设）mBT1mBmCT2T3mDT1=-mB=-477N·mT2=-mB-mc=-954N·mT3=mD=637N·m12③绘制扭矩图CA段为危险截面。xT(N·m)477954637––BCADmBmCmDmAT1=-477N·mT2=-954N·mT3=637N·m13§3–3纯剪切薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。142.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。15acddxbdy´´①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。微小矩形单元体如图所示：☺单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。16二、切应力互等定理：

上式称为切应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tz17三、剪切虎克定律：

与的关系：薄壁圆筒切应力大小：

A0：平均半径所作圆的面积。切应变（）：直角的改变量。扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的相对角位移。18T=m剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，切应力与切应变成正比关系。19式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。20§3–4等直圆杆在扭转时的应力·强度条件等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面平面假设：1.横截面变形后，仍为平面，形状和大小不变；半径保持直线。2.轴向无伸缩。一、等直圆杆扭转实验观察：21二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。22Ttmaxtmax2.物理关系：剪切虎克定律：代入上式得：233.静力学关系：TOdA令代入物理关系式得：极惯性矩24—横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。25单位：mm4，m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。对于实心圆截面：DdO26对于空心圆截面：dDOd27④应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。28⑤确定最大切应力：由知：当Wt—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：29三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。301.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)tt´tt´(c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d)t´ttasax31(d)t´ttasaxnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“–”由平衡方程：解得：32分析：当=0°时，当=45°时，当=–45°时，当=90°时，tt´smaxsmin45°由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力(抗拉强度低）。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。33四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([]

称为许用切应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：341、对于_______性材料的圆杆，扭转破坏断面是与轴线成45°的螺旋面，对于______性材料，扭转破坏断面是垂直于杆轴线的横截面。2、圆轴横截面上的扭矩为T，按强度条件算得直径为d，若该横截面上的扭矩变为0.5T，则按强度条件可算得相应的直径0.5d。（）脆塑X练习思考题353、直径为D的实心圆轴，两端受外力偶作用而产生扭转变形，横截面的最大许用载荷为T，若将轴的横截面面积增加一倍，则其最大许可载荷为（）。A、2TB、4TC、D、4、使一实心圆轴受扭转的外力偶的力偶矩为M，按强度条件设计的直径为D。当外力偶矩增大为2M时，直径应增大为（）。A、1.89B、1.26C、1.414D、2DB365、实心或空心圆轴扭转时，已知横截面上的扭矩为T，在所绘出的相应圆轴横截面上的剪应力分布图（如图所示）中（）是正确的。d376.指出以下应力分布图中哪些是正确的（）A.图(a)(b)正确B.图(b)(c)正确C.图(c)(d)正确D.图(b)(d)正确d38例题功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用切应力[]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核切应力强度③此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx39例题已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为15、15、20kW，轴的转速为300r/min，[τ]=40MPa，试设计该轴直径d。BCADTBTCTDTA477.5N·m954.9N·m636.6N·mT+-40由强度条件设计轴直径：选：d=50mmTmax=954.9N·m41解：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：轴的最大剪应力例题某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为T=1500N.m,试校核此轴的强度。已知[]=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径为？42所以此轴安全。若此轴改为实心轴，而式中解得：43实心轴的横截面面积为空心轴的横截面面积空心轴与实心轴的重量之比：因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。44采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为

①根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴心附近处的材料没有较好地发挥其作用；

②从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比较大，强度和刚度均可提高；

③通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不变，即指截面图形极惯性矩保持不变。④对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。

45§3–5等直圆杆在扭转时的变形·刚度条件一、扭转时的变形由公式知：长为l一段杆两截面间相对扭转角

为46二、单位扭转角：或三、刚度条件或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。[]称为许用单位扭转角。47刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。48例题传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A输入功率P1=400kW，从动轮C，B分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。(1)试确定AC段的直径d1和BC段的直径d2；(2)若AC和BC两段选同一直径，试确定直径d；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?解：1.外力偶矩49

2.扭矩图按刚度条件3.直径d1的选取按强度条件50

按刚度条件4.直径d2的选取按强度条件5.选同一直径时51

6.将主动轮按装在两从动轮之间受力合理52阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=70mm，轴上装有三个皮带轮。已知由轮3输入的功率为N3=30kW,轮1输出的功率为N1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的许用剪应力[τ]=60MPa，G=80GPa，许用扭转角[θ]=2°/m。试校核轴的强度和刚度。例：53解:（1）计算外力扭矩

（2）计算内力扭矩

（3）计算抗扭截面模量

54（4）强度校核

强度足够。

（5）刚度校核

刚度足够。

55[例]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用切应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径5640NmxT代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度5740NmxT③右端面转角为：58§3–6等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程——变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。①②③④⑤59焊接前

直径d=25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力偶矩T=73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G=40MPa。试：1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。A'AA'B焊接后解：1．分析卸载后轴和薄壁管的变形：设轴受外扭转力偶矩T时，相对扭转角为φ0，如果不与薄壁管连成一体，卸载后，变形将消失(AA'A)，轴的横截面上没有扭矩作用。加载后，轴与薄壁管焊成一体，然后卸载，不仅轴的变形不会消失，而且薄壁管也会产生变形(AA'B)。AA60这时，轴和薄壁管的横截面上都有扭矩作用，二者自相平衡。AA'B

直径d=25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力偶矩T=73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G=40MPa。试：1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。61这时，轴和薄壁管的横截面上都有扭矩作用，二者自相平衡。AA'B

直径d=25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力偶矩T=73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G=40MPa。试：1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。62AA'B2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力：平衡方程变形协调方程物性关系方程

直径d=25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力偶矩T=73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G=40MPa。试：1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。63联立解出

直径d=25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力偶矩T=73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G=40MPa。试：1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。642．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力：m4

m4

直径d=25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力偶矩T=73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G=40MPa。试：1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。652．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力：m4

m4MPa

MPa

直径d=25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D=75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力偶矩T=73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G=40MPa。试：1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。66[例]长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，外径D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解：①杆的受力图如图示，

这是一次超静定问题。

平衡方程为：67②几何方程——变形协调方程③综合物理方程与几何方程，得补充方程：④由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。68§3–7等直圆杆在扭转时的应变能一、应变能与能密度acddxbdy´´dzzxy单元体微功：应变比能：69二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1.应力的计算=+tQtTQT近似值：PQT702.弹簧丝的强度条件:精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）其中：称为弹簧指数。称为曲度系数。713.位移的计算(能量法）外力功：变形能：72[例6]圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直径为：d=18mm，受拉力P=500N的作用，试求最大切应力的近似值和精确值；若G=82GPa，欲使弹簧变形等于6mm，问：弹簧至少应有几圈？解：①最大切应力的近似值：73②最大切应力的精确值：③弹簧圈数：（圈）74§3–8非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。75一、自由扭转