第四章 地球椭球数学投影变换(第8节)

4.8地图数学投影变换的基本概念

14.1地图数学投影变换的意义和投影方程所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素(包括坐标，方位和距离)按一定的数学法则投影到平面上，研究这个问题的专门学科叫地图投影学。14.2地图投影的变形1.长度比:

长度比m就是投影面上一段无限小的微分线段ds，与椭球面上相应的微分线段dS二者之比。不同点上的长度比都不相同，而且同一点上不同方向的长度比也不相同

2.主方向和变形椭圆投影后一点的长度比依方向不同而变化。其中最大及最小长度比的方向，称为主方向。在椭球面的任意点上，必定有一对相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。这两个方向就是长度比的极值方向，也就是主方向。

以定点为中心，以长度比的数值为向径，构成以两个长度比的极值为长、短半轴的椭圆，称为变形椭圆。

3.投影变形1）长度变形

2）方向变形

3）角度变形：所谓角度变形就是投影前的角度u与投影后对应角度u’之差

4）面积变形：P-114.3地图投影的分类1.按变形性质分类1）等角投影：投影前后的角度不变形，投影前后保持微小圆形的相似性，投影的长度比与方向无关，即某点的长度比是一个常数，又把等角投影称为正形投影。

2）等积投影：投影前后的面积不变形3）任意投影：既不等角，又不等积

2.按经纬网投影形状分类

1）方位投影

取一平面与椭球极点相切，将极点附近区域投影在该平面上。纬线投影后为以极点为圆心的同心圆，而经线则为它的向径，且经线交角不变。

LightSource2）圆锥投影

取一圆锥面与椭球某条纬线相切，将纬圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。

StandardLineTrueLengthExaggerated3）圆柱(或椭圆柱)投影

取圆柱(或椭圆柱)与椭球赤道相切，将赤道附近区域投影到圆柱面(或椭圆柱面)上，然后将圆柱或椭圆柱展开成平面。

StandardLineTrueLengthExaggerated3.按投影面和原面的相对位置关系分类1)正轴投影：即圆锥轴或圆柱轴与地球自转轴相重合时的投影，此时称正轴圆锥投影或正轴圆柱投影。2)斜轴投影：即投影面与原面相切于除极点和赤道以外的某一位置所得的投影。3)横轴投影：投影面的轴线与地球自转轴相垂直，且与某一条经线相切所得的投影。比如横轴椭圆柱投影等。除此之外，为调整变形分布，投影面还可以与地球椭球相割于两条标准线，这就是所谓割圆锥，割圆柱投影等。

14.4高斯投影简要说明高斯在1820～1830年间在对德国汉诺威三角测量成果进行数据处理时提出。

史赖伯于1866年出版的名著《汉诺威大地测量投影方法的理论》中进行了整理和加工。克吕格1912年对高斯投影进行了比较深入的研究和补充，从而使之在许多国家得以应用，称之为高斯.克吕格投影。

§4.9高斯平面直角坐标系

4.9.1高斯投影概述1控制测量对地图投影的要求应当采用等角投影(又称为正形投影)长度和面积变形不大,并能用简单公式计算由于这些变形而引起的改正数投影后应保证具有一个单一起算点的统一的坐标系统。能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各区域联成整体。控制投影范围大区域分带2高斯投影描述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。我国规定按经差6°和3°进行投影分带。工程测量控制网也可采用１.5°带或任意带，但为了测量成果的通用，需同国家6°或3°带相联系。高斯投影6°带，自0°子午线起每隔经差6°自西向东分带，依次编号1，2，3，…。我国6°带中央子午线的经度，由69°起每隔6°而至135°，共计12带，带号用n表示，中央子午线的经度用Ｌ０表示，它们的关系是Ｌ０＝６ｎ－３高斯投影3°带，

L＝３ｎ‘

在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午线和赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，以赤道的投影为横坐标轴

在我国x坐标都是正的，y坐标的最大值(在赤道上)约为330km。为了避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上500000m。此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。

Y=19123456.789m，该点位在19带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去掉带号，再减去500000m，最后得y=-376543.211m。

高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度的不变性，图形的相似性以及在某点各方向上的长度比的同一性。由于采用了同样法则的分带投影，这既限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行由于变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。

3椭球面元素化算到高斯投影面

3椭球面元素化算到高斯投影面

椭球面三角形投影到高斯平面上后仍是由曲线构成的三角形。3椭球面元素化算到高斯投影面

由于是等角投影，所以大地方位角投影后不变椭球面三角形投影后变为边长si＞Ｓｉ的曲线三角形，且这些曲线都凹向纵坐标轴

3椭球面元素化算到高斯投影面

椭球面三角形投影后变为曲线三角形，这不利于在平面上解算测量问题，因此有必要用连接两点的弦线代替曲线。为此，必须进行水平方向改化得到平面三角形的内角。3椭球面元素化算到高斯投影面

弦线的长度即高斯平面上的直线长度，这要通过计算距离改化来实现。3椭球面元素化算到高斯投影面

为了进行平面计算，必须知道起始点的高斯坐标，即有根据起点P的大地坐标计算平面坐标的正算公式；同时为了检核，还应有反算公式。3椭球面元素化算到高斯投影面

坐标方位角计算：将椭球面三角系归算到高斯投影面

将椭球面元素归算到高斯投影面的主要内容

1)将起始点P的大地坐标(L，B)归算为高斯平面直角坐标x,y；为了检核还应进行反算，亦即根据x,y反算B，L，这项工作统称为高斯投影坐标计算。2)将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边P’K’的坐标方位角，这是通过计算该点的子午线收敛角γ及方向改化δ实现的。3)将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。这是通过计算各方向的曲率改化即方向改化来实现的。4)将椭球面上起算边PK的长度S归算到高斯平面上的直线长度s。这是通过计算距离改化Δｓ实现的。主要计算工作：要将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作。

当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带联成统一的整体，还需要进行平面坐标的邻带换算。

4.9.2正形投影的一般条件

正形投影是地图投影的一种，高斯投影又是正形投影中的一种。高斯投影必须满足正形投影的一般条件。本节的任务是导出正形投影的一般条件，再加上高斯投影的特殊条件，从而为高斯投影坐标的正反算公式推导创造条件。(L,B)(x,y)4.9.2正形投影的一般条件

正形投影的本质：在正形投影中长度比与方向无关（出发点）

1.长度比的通用公式

令q:等量纬度2.柯西.黎曼条件

如何使m与A脱离关系？在三角形P1P2P3中椭球面—平面平面—椭球面在满足F=0，E=G时，长度比公式可简化为：3.柯西.黎曼条件的几何意义AB、AC分别是L=常数和Ｂ＝常数的子午微分弧段和平行圈微分弧段；ｒ是子午线收敛角。考虑当L、B分别为常数时微分的表达式考虑图中各线段的表达式4.9.3高斯投影坐标正反算公式

1.高斯投影坐标正算公式高斯投影必须满足以下三个条件：(1)中央子午线投影后为直线；(2)中央子午线投影后长度不变；(3)投影具有正形性质，即正形投影条件。由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。

x为l的偶函数，而y则为l的奇函数。第三个条件

考虑等式成立的前提条件是什么？m0=?由第二条件可知，位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长，即当l=0时，由第二个条件可知，投影后的纵坐标应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长。

2.高斯投影坐标反算公式

在高斯投影坐标反算时，原面是高斯平面，投影面是椭球面，已知的是平面坐标(x,y)，要求的是大地坐标(B，L)，相应地有如下投影方程同正算一样，对投影函数提出三个条件：(1)x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴(2)x轴上的长度投影保持不变；(3)正形投影条件。

(1)x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴由于y值比椭球半径小得多，因而可以将大地坐标B及l展开为y的幂级数，再者由于是对称投影，所以大地纬度B必然是y的偶函数，大地经度l必是y的奇函数，因此期望得到下面的级数形式：(3)正形投影条件反算投影必须满足柯西-黎曼条件由柯西.黎曼条件左式分别对x,y求偏导数，代入下式等量纬度(2)x轴上的长度投影保持不变由高斯投影第二个条件，当y=0时，x=X，此时对应的F点称为底点，对应纬度称为底点纬度。3.高斯投影正反算公式的几何解释

正算时，已知B，L求x,y。由于经差l不大，因此公式可展开为l的幂级数，并以已知纬度B的函数m作为其系数。当l=0时，x=X;当l≠0时，x=X+ΔX子午线弧长计算式见P115公式4-101可根据子午线弧长公式，解算底点纬度。实质上是可以直接根据P点的x坐标计算底点纬度。反算：高斯投影的特点

(1)当l等于常数时，随着B的增加x值增大，y值减小；又因，所以无论B值为正或负，y值不变。这就是说，椭球面上除中央子午线外，其他子午线投影后，均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还对称于中央子午线和赤道。

(2)当B等于常数时，随着l的增加，x值和y值都增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影曲线互相垂直凹向两极。(3)距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，长度变形也愈大。4.9.4高斯投影坐标计算的实用公式及算例

1.高斯投影正算公式

2.高斯投影反算公式

3.算例A00122o15’58”.98294111o28’52”.15387L0=111oWGS84(6378137,298.257223563)A0012463376.650249592.0721GDZ80(6378140,298.257)A0012463377.797349592.0955BJ54(6378245,298.3)A0012463420.565749592.90844.9.5平面子午线收敛角公式

1平面子午线收敛角的定义

图中：P′、P′N′、

P′Q′分别是椭球面P点，过P点的子午线PN及平行圈PQ在高斯投影面上的描述。.2公式推导

1）.由大地坐标L、B计算平面子午线收敛角γ的公式

在平行圈上，B为常数，故dB=0据高斯投影正算公式：(1)γ为l的奇函数，而且l愈大，γ也愈大；(2)γ有正负，当描写点在中央子午线以东时，γ为正；在西时，γ为负；(3)当l不变时，则γ随纬度增加而增大。2.由平面坐标x,y计算平面子午线收敛角γ的公式

（自学内容）4.9.6方向改化公式

近似于球面的椭球面高斯平面当大地线长度不大于10KM，y坐标不大于100KM时，可认为a、b两点上的方向改化值相等。视椭球为球1.方向改化近似公式的推导在球面上四边形ABED的内角之和等于360°+ε由于是等角投影，所以这两个四边形内角之和应该相等，即2方向改化较精密公式

仍视椭球为圆球，经推导得首先为计算方向改正的数值，必须预先知道点的平面坐标。然而要精确知道点的平面坐标，却又要先算出方向改正值，所以这是一个矛盾。解决这个矛盾的办法，就要采用逐次趋近计算。令Δδ″＝0.1″，并设ｙ＝350km，x2-x1=10km，则得ΔＰ≈0.1km。概略坐标计算至0.1km，即可满足三等方向改化计算精度的要求计算检验式：4.9.7距离改化公式

1、s与D的关系

当δ取最大40″，s=50km时，代入上式得。因此，用D代替s在最不利情况下，误差也不会超过1mm。而实际上，边长要比50km短得多，此时误差将会更小。所以在应用上，完全可以认为大地线的平面投影曲线的长度s等于其弦线长度D。

2长度比和长度变形

1.用大地坐标(B,l)表示的长度比m的公式

2.用平面坐标(x,y)表示的长度比m的公式

(1)长度比m只与点的位置(B，l)或(x,y)有关(2)中央子午线投影后长