第十章 动量定理

§10-1动量与冲量

一、动量

1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。是瞬时矢量，方向与v相同。单位是kgm/s。动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例：枪弹：速度大，质量小；船：速度小，质量大。

12.质点系的动量

质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。2m1m2mnzoxyrCCrimi一.质点系的质心质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。质心C点的位置：3.质心及用质心速度求质点系动量3m1m2mnzoxyrCCrimi则质点系的动量等于质点系的质量与质心速度的乘积。4例10－1已知：均质圆盘在OA杆上纯滚动，m＝20kg，R＝100mm，OA杆的角速度为，圆盘相对于OA杆转动的角速度为，。求：此时圆盘的动量。5

解：6于是所以方向水平向右。解:取C为动点，动系与OA固连7例2、椭圆规机构的规尺AB的质量为2m1，曲柄OC的质量为m1，滑块A和B的的质量均为m2。已知OC＝AC＝CB＝l。曲柄和规尺均为均质细直杆。曲柄以角速度w转动。求机构的动量。8解1：由质点系动量公式有建立如图直角坐标系，则动量的投影为9所以机构动量的大小和方向为10解2：方向为C点速度的方向。因为得112．力是变矢量：（包括大小和方向的变化）

1．力是常矢量：二．冲量

力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。3．合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和．

冲量：元冲量：冲量的单位：与动量单位同．作用时间（t2-

t1）12§10-2动量定理1.质点的动量定理或即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量.在

~内,速度由

~,有

即在某一时间间隔内,质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.－－质点动量定理的微分形式－－质点动量定理的积分形式13内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：质点系的内力与外力外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。2.质点系的动量定理14质点系的动量定理

设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的动量为mivi，作用在该质点上的外力与内力的合力为与，由质点的动量定理有将n个方程相加，即得改变求和与求导次序，则得15质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（或外力的主矢）。上式也可以写成其中：；由于内力成对出现，故所有内力的矢量和恒等于零，即。于是可得质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。质点系动量定理的微分形式16质点系动量定理的微分投影形式或质点系动量定理的积分形式在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。质点系动量定理的积分投影形式17p＝p0＝恒矢量若 ，则

如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的动量保持不变。如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。px＝p0x

＝恒量质点系动量守恒定律18[例]

质量为M的大三角形柱体,放于光滑水平面上,斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时，大三角形柱体的位移。19解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析，水平方向常量。由水平方向动量守恒及初始静止；则设大三角块速度小三角块相对大三角块速度为，则小三角块运动分析，20例

图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的反力。21

解：以整个系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。设A下降的速度为vA，B上升的速度为vB，则由运动学关系得系统的动量在坐标轴上的投影为由质点系的动量定理注意到可得22一.质点系的质心质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。质心C点的位置：10-3质心运动定理m1m2mnzoxyrCCrimi23由得或

质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和.－－质心运动定理二质心运动定理24在直角坐标轴上的投影式为:在自然轴上的投影式为:25

3.质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系，无论它作什么形式的运动，质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，所有外力也集中作用在质心这个点上。2.刚体系统：设第

i

个刚体mi，vCi，则有

或26

5．质心运动定理可求解两类动力学问题：

已知质点系质心的运动,求作用于质点系的外力

(包括约束反力)。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。4.质心运动守恒定律

若，则常矢量，质心作匀速直线运动；若开始时系统静止，即，则常矢量，质心位置守恒。若则常量，质心沿x方向速度不变；若存在，则常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。

27解:

取整个电动机作为质点系研究，分析受力，受力图如图示运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。[例]

电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1,转子质量为m2,转子的轴通过定子的质心O1,但由于制造误差,转子的质心O2到O1的距离为e。求转子以角速度作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。28根据质心运动定理，有可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。a1=0，a2=e229[例]

浮动起重船,船的重量为P1=200kN,起重杆的重量为P2=10kN,长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN。

设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60º,水的阻力不计,求起重杆OA与铅直位置成角2

=30º时船的位移。30

解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。

受力分析如图示，，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标XC保持不变。31船的位移x１，杆的位移重物的位移计算结果为负值，表明船的位移水平向左。32例

质量为m长为2l的均质杆