第六章 正交试验设计

6.1

概述

6.2

正交试验设计结果的直观分析法6.3

正交试验设计结果的方差分析法第六章正交试验设计6.1概述若在每个因素的每个水平搭配（或称水平组合）上）只作一次试验：对于3因素4水平的试验，就要做43＝64次试验；对于4因素4水平的试验，全部试验次数至少为44＝256次试验；对于5因素4水平的试验，就要做45＝1024次试验。正交试验设计（orthogonaldesign），简称正交设计，是利用正交表科学地安排与分析多因素试验的方法。挑选部分有代表性的水平组合进行试验，再通过结果的分析来了解全面试验，进而找出最优水平组合。

6.1.1正交表（一）正交表的记号及含义正交表的列数（最多能安排的因素个数）正交表的行数（需要做的试验次数）各因素的水平数q正交表的代号

2水平正交表有L4(23)、L8(27)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(313)等。

(二)正交表的特性

1、任一列中，不同数字出现的次数相同

例如L8(27)中不同数字有1和2，它们各出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们各出现3次。

(二)正交表的特性

2、任两列的同一横行所组成的数字对出现的次数相同

例如L9(34)任两列中(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出现1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等。

(三)正交表的类别

1、相同水平正交表

各列中出现的最大数字相同的正交表，称为相同水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)、L9(34)、L27(313)等。

2、混合水平正交表各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正交表。如L8(41×24)、L16(44×23)、L16(4×212)等。

表中有一列最大数字为4，有4列最大数字为2。该表可以安排1个4水平因素和4个2水平因素。

【例6-1】为提高某化工产品的转化率，选择了三个因素：反应温度（A）、反应时间（B）和用碱量（C），并确定A：80-90℃，B：90-150min，C：5-7kg。试制定试验方案,确定最优生产条件。解：对三个因素在试验范围内分别选取三个水平，

A：A1＝80℃、A2＝85℃、A3＝90℃B：B1＝90min、B2＝120min、B3＝150minC：C1＝5kg、C2＝6kg、C3＝7kg

因素水平值可以定量或定性，而定量因素各水平间的距离可以相等也可以不等。6.1.2正交试验设计的优点三种试验方法比较：（1）全面试验法（2）简单比较法（3）正交试验（1）全面试验法：

共有3³=27次试验，立方体包含了27个节点，分别表示27次试验。A1A2A3B3B2B1C1C2C3全面试验法的优缺点：优点：对各因素于试验指标之间的关系剖析得比较清楚；缺点：试验次数太多，费时、费事，当因素水平比较多时，试验无法完成。

（2）简单比较法变化一个因素而固定其它因素，如首先固定B、C于B1、C1，使A变化之，即：若得出结果A3最好，则固定A于A3，C还是C1，使B变化，即：若试验结果B2最好，则固定B于B2，A于A3，使C变化，即：若试验结果以C3最好，则最佳工艺条件为A3B2C2。

A1B1C1A2A3(好结果)

C1A3B2C2(好结果)C3

B1A3C1B2(好结果)B3A1A2A3B3B2B1C1C2C3简单比较法的试验点简单比较法的优缺点：优点：试验次数少缺点:试验点不具代表性，不能全面地反映因素的全面情况。（3）正交试验为兼顾全面试验法和简单比较法的优点，可用正交表来安排试验及分析试验结果。事实上，正交最优化方法的优点不仅表现在试验的设计上，更表现在对试验结果的处理上。对于例6－1：用L9(34)安排试验(A、B和C分别安排在1~3列)，只需要9次试验。A1A2A3B3B2B1C1C2C3123654789正交试验设计的优点：能均匀地挑选出代表性强的少数试验方案;

★均衡分散通过统计分析，可推出全部水平组合中的较优方案;

★整齐可比

可以得到试验结果之外的更多信息。

★影响程度、趋势等

(1)明确试验目的，确定评价指标(2)挑选因素(包括交互作用)，确定水平(3)选正交表，进行表头设计表头设计是将试验因素安排到所选正交表各列中。(4)明确试验方案，进行试验，得到结果(5)对试验结果进行统计分析

★直观分析法（极差分析法）

★方差分析法。(6)进行验证试验，作进一步分析

6.1.3正交试验设计的基本步骤6.2.1单指标正交试验设计（不考虑交互作用）6.2直观分析法【例6-1】(1)明确试验目的，确定评价指标单指标：转化率(2)挑选因素(包括交互作用)，确定水平

3因素3水平A(温度)B(时间)C(用碱量)A1A2A3B1B2B3C1C2C3

80℃85℃90℃90’120’150’5kg6kg7kg（3）选正交表要求：因素数≤正交表列数因素水平数与正交表的水平数一致选试验次数较少的正交表选L9(34)（4）表头设计不考虑因素间的交互作用，各因素可随机安排在任一列；（尽量不要占用交互作用列，可查表）空白列（空列）：最好留有至少一个空白列。BC空列（3）明确试验方案BCA2B1C2A2B2C3A2B3C1A3B1C3A3B2C1A3B3C285℃90’6kgBC空列（4）按规定的方案做试验，得出试验结果按照规定的方案完成每一号试验；试验次序可随机决定；试验条件要严格控制。

A（温度）B（时间）

C（用碱量）

空列

转化率（%)1 1(90Min)1(5kg)13121(80℃)2(120Min) 2(6kg)2543 3(150Min) 3(7kg) 3384 1(90Min) 2(6kg) 3535 2(85℃) 2(120Min)3(7kg)1496 3(150Min) 1(5kg)2427 1(90Min) 3(7kg) 2578 3(90℃)2(120Min) 1(5kg)3629 3(150Min) 2(6kg)164列号试验号1234（5）计算极差，确定因素的主次顺序代号介绍：Ki：表示任一列上水平号为i所对应的试验结果之和，简称水平和—效应；ki

：水平和除以水平数，简称水平平均—平均效应；R：在任一列上，最大K(k)值和最小K(k)值之差，简称极差。

R=max｛K1,K2,K3｝－min｛K1,K2,K3｝，或R=max｛k1,k2,k3｝－min｛k1,k2,k3｝。

A（温度）

B（时间）

C（用碱量）空列

转化率（x%）1 1(80℃) 1(90Min)1(5kg) 1312 1(80℃) 2(120Min) 2(6kg)2543 1(80℃) 3(150Min) 3(7kg) 3384 2(85℃) 1(90Min) 2(6kg) 3535 2(85℃)2(120Min)3(7kg) 1496 2(85℃)3(150Min) 1(5kg) 2427 3(90℃)1(90Min) 3(7kg) 2578 3(90℃)2(120Min) 1(5kg) 3629 3(90℃)3(150Min) 2(6kg) 164列号试验号K1A＝123K2A＝144K3A＝183k1A=K1A/3=123/3=41k2A=K2A/3=144/3=48k3A=K3A/3=183/3=61R越大，因素越重要若空列R较大，可能原因：

▼漏掉某重要因素▼因素之间可能存在交互作用

K1123141135

K2144165171K3183144144k1414745k2485557k3614848R20812

因素主次：ACB（6）优方案的确定优方案：在所做的试验范围内，各因素较优的水平组合，若指标越大越好，应选取使指标大的水平；若指标越小越好，应选取使指标小的水平；还应考虑：降低消耗、提高效率等。本例中，指标越大越好，应该选取每个因素中k1、k2、k3最大的哪个水平，即：A3B2C2。（7）进行验证试验，作进一步的分析若优方案不在正交表中的试验方案中，需对之和表中指标最好的试验方案做对比试验。若前者好，则验证了最优方案；反之，可能是没有考虑交互作用或试验误差较大所致。最后确定的最优生产条件A3B2C2不在九个试验中，故需要对A3B2C2、A3B3C2做验证性试验。结果如下：试验号试验条件收益率（x％）

1A3B2C2752A3B3C274注意，因素水平号与其取值大小顺序不一定一致；对于定性取值的因素，只需绘制散点图。7060

A1A2A3B1B2B3C1C2C3趋势图因素指标5040绘制指试验指标随因素取值变化而变化的关系图—趋势图，以对所选的水平进行适当调整，进而找到更优的方案。【例6-2】单指标：乳化能力因素水平：3因素3水平（1）选正交表（2）表头设计（3）明确试验方案（4）按规定的方案做试验，得出试验结果因素主次：ABC（5）计算极差，确定因素的主次顺序

K11.872.022.07

K22.542.272.23K31.972.092.08k10.6230.6730.690k20.8470.7570.743k30.6570.6970.693R0.670.250.16优方案:A2B2C2，即反应温度110℃，酯化时间2h，乙种催化剂。（6）优方案的确定（7）进行验证试验，作进一步的分析优方案不在正交表中的九个试验方案中，需对A2B2C2和表中最好的第4号试验A2B2C3做对比试验。绘制趋势图，以对所选的水平进行适当调整，进而找到更优的方案如酯化时间可向下调整6.2.2多指标正交试验设计（不考虑交互作用）两种分析方法：综合平衡法综合评分法多个指标之间又可能存在一定的矛盾，这时需要兼顾各个指标，寻找使得每个指标都尽可能好的生产条件。（1）综合平衡法先对每个指标分别进行单指标的直观分析对各指标的分析结果进行综合比较和分析，得出较优方案①原则次服从主（首先满足主要指标或因素）少数服从多数降低消耗、提高效率

②特点计算量大有时难于平衡按主次顺序排列的三个指标：耐磨次数断裂伸长率强力三个指标都是越大越好。举例

对三个指标分别进行直观分析：耐磨次数：因素主次：CAB优方案：C3A2B2断裂伸长率：因素主次：ACB优方案：A3C3B3

强力：因素主次：CAB优方案：C3A3B2

综合平衡：A3B2C3

（2）综合评分法根据各个指标的重要程度，对得出的试验结果进行分析，给每一个试验评出一个分数，作为这个试验的总指标按总指标进行单指标试验结果的直观分析特点将多指标的问题，转换成了单指标的问题，计算量小准确评分难①求综合分对每号试验结果的各个指标统一权衡，直接给出每一号试验结果的综合分数对每号试验的每个指标分别评分，再求综合分数若各指标重要性相同：各指标的分数总和若各指标重要性不同：各指标分数加权和（2）综合评分法②按综合分进行单指标试验结果的直观分析特点将多指标的问题转换为单指标的问题，计算量小准确评分难如何对每个指标评出分数非数量性指标：依靠经验和专业知识给出分数用“隶属度”来表示分数：举例两个指标：取代度、酯化率两个指标重要程度不同综合分数＝取代度隶属度×0.4＋酯化率隶属度×0.6【例6-3】核酸生产工艺优化 试验目的：原来生产的得率太低，成本太高，甚至造成亏损。试验目的是提高得率，寻找好的工艺条件。因素水平含固率A（％）时间B（小时）pH值C1238.47.46.240244.86.09.0加水量D1:41:31:2因素－水平表列号试验号123456789K1K2K3k1k2k3RA1B2C3D4L9(34)156.1108.2113.252.036.137.715.9128.4116.3132.642.838.844.25.2127.3131.1118.942.443.739.64.1143.7127.5106.247.942.535.412.5试验指标(%)纯度回收率17.812.26.28.04.54.18.57.34.429.841.359.924.350.658.230.920.473.459.451.245.532.236.639.436.828.547.7综合评分试验方案及结果分析综合分＝2.5×纯度＋0.5×回收率2.5×17.8+0.5×29.8=59.450454035

A3A2A1B3B1B2C1C2C3D3D2D1因素指标趋势图A D B C主 次从图上和表上的极差都可以看出，因素的主次为：

A取A1，D取D1，B取B3，C取C2，故最优条件为：A1B3C2D1。验证试验（A1B3C2D1与A1B1C1D1）结果也证明，上述最优条件效果很好。6.2.3考虑交互作用的正交试验设计

●交互作用的判断：有些因素间各水平的联合搭配对指标也产生影响，我们称这种联合作用为交互作用。A1A2B12535B23040A1A2B12535B23015例：考虑氮肥（N）和磷肥（P）对豆类亩产增产的效果因素各水平联合作用表

NPP1＝0P2＝4N1＝0400450N2＝6430560只加4斤磷肥，亩产增加50斤（N1P2-N1P1=450-400)；只加6斤氮肥，亩产增加30斤（N2P1-N1P1=430-400)；同时加两种肥料，亩产增加160斤（N2P2-N1P1=560-400)。

交互作用贡献＝160-50-30=80斤。记作A×B。

【例6-5】三个因素A、B和C分别为灰化温度、原子化温度和电流，目的提高吸光度。3因素2水平交互作用：A×B、A×C指标：吸光度，越大越好①选表

应将交互作用看成因素按5因素2水平选表：L8（27）②表头设计

交互作用列是不能随意安排，应该占有相应的列▼两种方法：（1）查表头设计表

（2）查交互作用表L8(27)二列间的交互作用如需要查第1列和第2列的交互作用列，则从(1)横向右看，从(2)竖向上看，它们的交叉点为3。第3列就是1列与2列的交互作用列。如果第1列排A，第2列排B，则第3列安排A×B，而不能安排C等因素或者交互作用，这称为不能混杂。L8(27)表头设计③明确试验方案、进行试验、得到试验结果；计算极差、确定因素主次。④优方案的确定

如果不考虑因素间的交互作用，优方案：A2B2C1

；交互作用A×C比因素C对试验指标的影响更大，应按因素A和C的各水平搭配情况确定因素A和C的水平。因素A，C水平搭配表

A1A2C1(y1+y3)/2(0.484+0.532)/2=0.508(y5+y7)/2(0.472+0.554)/2=0.513C2(y2+y4)/2(0.448+0.516)/2=0.482(y6+y8)/2(0.480+0.552)/2=0.516依据水平搭配表，取A2C2好，从而优方案为：A2B2C2

。说明：

即使不考虑交互作用，最好仍与有交互作用时一样，按规定进行表头设计,最后依据试验结果判定是否考虑交互作用；r水平两因素间的交互作用要占r－1列，当r＞2时，不宜用直观分析法。L27(313)表头设计因素数列号123456789101112133AB(A×B)1(A×B)2C(A×C)1(A×C)2(B×C)1(B×C)2在实际问题中，由于具体情况不同，有时各因素的水平数是不相同的，这就是混合水平得多因素试验问题。混合水平的正交试验设计方法主要有两种：（1）直接套用混合水平的正交表（2）拟水平法一般将水平数少的某些因素的现有较好的水平重复一次，从而将混合水平问题转换成等水平的问题。6.2.4混合水平的正交试验设计（1）直接利用混合水平的正交表

【例6-6】胶压板制造工艺优化（忽略交互作用）

3因素：压力（A）、温度（B）和时间（C）；混合水平：A因素4水平，B、C因素两水平；指标：采用综合评分法，分数越高越好。解：可以选用混合正交表L8（41×24）。L8(4×24)表头设计因素数列号123452AB(A×B)1(A×B)2(A×B)33ABC4ABCD5ABCDE

A必须安排在第1列（4水平），B、C可安排在其它任意两列上，本例分别安排第2列和第3列上，第4列和第5列均为空列。试验号因素得分ABC111111221222263211224422211553121266321218741221984211210K1821242324K2929262726K314K419k14.05.26.05.86.0k24.57.26.56.86.5k37.0k49.5极差R5.52.00.510.5因素主→次ABC优方案A4B2C2

或A4B2C1注意：不同列Ki与ki的计算计算极差时，须按ki计算可以考虑交互作用（2）拟水平法【例6-7】制药缩合工艺优化（忽略交互作用）

4因素：温度（A）、甲醇纳量（B）、醛状态（C）和缩合剂量（D）；水平：C因素2水平，其它因素三水平；指标：合成率，值越高越好。解：将C因素虚拟一个水平，即由二水平转变为三水平后，本试验就可以选用正交表L9（34）。考虑到C因素的较好水平为“液态”，故拟水平采用“液态”。见下表：水平因素温度（A）/℃甲醇钠量（B）/mL醛状态（C）缩合剂量（D）/mL1353固0.92255液1.23454液1.5

四个因素可以安排在正交表的任意四列上，本例中，将A~D分别安排第1~4列上。试验号因素合成率/%（合成率－70）/%ABCD1111169.2－0.82122271.81.83133（2）378.08.04212374.14.15223（2）177.67.66231266.5－3.57313（2）269.2－0.88321369.7－0.39332

178.88.8K19.02.5－4.615.6K28.29.129.5－2.5K37.713.311.8k13.00.8－1.55.2k22.73.04.9－0.8k32.64.43.9极差R0.43.66.46因素主→次CDBA优方案C2D1B3A1注意：有拟水平的列，Ki，ki计算计算极差时，按ki计算6.3正交试验设计结果的方差分析法能估计误差的大小能精确地估计各因素对试验结果影响的重要程度用正交表Ln

(rm)来安排试验，试验结果为yi（i=1,2,…n）。

采用方差分析法，在进行表头设计时一般要求留有空列（误差列），否则必须做重复试验。6.3.1方差分析的基本步骤（1）计算离差平方和

总离差平方和＝各因素离差平方和+误差离差平方和（2）求自由度（3）求均方、F值，列出方差分析表

（4）F检验（1）计算离差平方和①总离差平方和②各因素引起的离差平方和每个水平作n/r

次试验③交互作用的离差平方和若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于所在列的离差平方和SSj

若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占多列离差平方和之和，

例：r=3时，

④试验误差的离差平方和误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和之和：（2）计算自由度①总自由度：dfT＝n－1②任一列离差平方和对应的自由度：③交互作用的自由度：（以A×B为例）

dfA×B＝dfA

×dfB若r=2，dfj=1,dfA×B=dfj=1;若r=3，dfj=2,dfA×B=dfA

×

dfB=2dfj=4④误差的自由度：

dfe=空白列自由度之和（3）计算均方误差自由度一般不应小于2。若dfe很小，F检验灵敏度将很低。若MS因或MS交

<MSe，可将这些因素或交互作用的离差平方和、自由度并入误差的离差平方和、自由度，从而增大dfe

。计算新的误差平方和及相应的均方若MSC≤MSe

，则：（4）计算F值（5）F检验（6）列方差分析表6.3.2二水平正交试验

二水平的正交试验的任一列对应的离差平方和的计算公式可以简化为：【例6-9】对SO2吸收工艺进行正交优化。

3因素：A、B、C、A×B、B×C2水平指标：摩尔分率，越小越好。解：（1）选正交表和表头设计ABA×BCB×C空列空列（2）列出正交表、试验结果并求极差，见表6-29(P148)。（3）计算离差平方和、自由度和均方

（3）计算均方因MSA和MSC均小于MSe，可将这些因素的离差平方和、自由度并入误差的离差平方和、自由度。（4）计算F值（5）F检验方差分析表见表6-30（P150）。由该表知，B、A×B和B×C均显著。依据F值，三者的主次顺序为：A×B、B和B×C，这与极差分析结果是一致的。（6）最优方案的确定由于A×B、B和B×C依次显著，故A、B和C的水平应由A×B和B×C搭配表确定，二者分别见表6-31和表6-32。较好搭配分别为A1B2和B2C2，故优方案为A1B2C2。6.3.3三水平正交试验三水平的正交试验的任一列对应的离差平方和的计算公式为：【例6-10】提高产品得率。

4因素：A、B、C、D、A×B、A×C、A×D3水平指标：得率，越大越好。解：（1）选正交表和表头设计L27(313)表头设计列号