S(五章3讲)势垒贯穿

量子力学与统计物理

Quantummechanicsandstatisticalphysics光电信息学院李小飞第五章：求解定态薛定谔方程第三讲：势垒贯穿

（量子隧道效应）

1962年，年仅22岁（研究生）的BrianJosephson（犹太人）通过量子理论计算表明：中间用薄绝缘体隔开的两超导体之间存在电流，这种宏观的量子效应在其后几年就被实验测量到。获1973年诺贝尔物理学奖Josephson

Junction绝缘体电子波遇到势垒而产生的干涉和隧穿效应1、计算过程特点：(1)势垒，波函数在无穷远处不为零，是扩展态，能谱连续(2)经典力学：若E<U0,则粒子不能进入势垒,在x=0处全被弹回若E>U0,则粒子将穿过势垒运动。量子力学：由于粒子的波动性，此问题将与光透过一层介质相似，总有一部分穿过势垒。因此，计算的重点

是透射系数。

（１）方型势垒0aU(x)

U0IIIIIIＥE>U0的情形令

0aU(x)U0IIIIIIE（３）定态薜定谔方程(经过整理)（2）哈密顿算符（４）解方程向右传播的入射波向左传播的反射波由左向右的透射波因Ⅲ区无由右向左传播的平面波，故分区取解则方程变为方程的求解过程消去与,并设Ａ已知：由波函数的连续性条件

可得透射波振幅与入射波振幅

间的关系（4）定系数：利用概率流密度公式:求得入射波的概率流密度

透射波的概率流密度

反射波的概率流密度

（5）

以及反射波振幅与入射波振幅

间的关系

为了定量描述入射粒子透射势垒的概率和反射概率，定义透射系数和反射系数。透射系数（6）反射系数（7）以上二式说明入射粒子部分地隧穿势垒

到达第III区域，另一部分则被势垒反射回来Ｉ区。表明概率守恒定义透射系数和反射系数当然，上述结果对Ｅ-U0<0的情况也成立Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

令是实数其中

是虚数在(6)和(7)式中，把换为

，得：E<U0的情形这说明，即使，也有大于零的透射系数。这种粒子能够穿透比它动能还要高的势垒而不失去能量的现象称为量子隧道效应（tunneleffect）.它是粒子具有波动性的生动表现。0aV0透射波x透射系数:

反射系数:

因与

同数量级，

则

故4可忽略于是透射系数1.低能粒子穿透表明

随垒宽

和垒高

的增大而成指数减小。当很小，或U0>>E，而

又不太小时，有k3a>>1，则（５）讨论例:入射粒子为电子：设E=1eV,V0=2eV,a=2×10-10m=2Å，算得T≈0.51。若a=5×10-8cm=5Å，则T≈0.024，可见透射系数迅速减小。质子与电子质量比

μp/μe≈1840。对于a=2Å

则T≈2×10-38。可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度。量子力学提出后，Gamow首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的α衰变现象。若入射粒子换成质子：α衰变的理论解释1928年，乔治·伽莫夫解释原子核α衰变的模型，借助这模型，导引出粒子半衰期与能量关系的方程式透射系数

2.共振输运３.任意形状的势垒可把任意形状的势垒分割成许多小势垒，这些小势垒可以近似用方势垒处理。对每一小方势垒透射系数0a

bU(x)则贯穿整个势垒的透射系数等于贯穿这些小方势垒透射系数之积，即此式的推导虽不太严格，但与严格推导的结果一致。dx４.场致发射（冷发射）

欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知的热发射和光电效应。

但是，施加一个外电场，金属中电子的所感受到的电势如图(b)所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓场致电子发射。图（b）图（a）５.隧道二极管1957年江崎玲於奈发明隧道二极管。它是高掺杂半导体形成的窄的PN结；

这种电流随电压增大反而变小的现象称为负微分电导效应１９７３年诺贝尔物理学奖当加前向偏压时,N区电子可以通过隧道效应，穿过禁带进入P区空带。随偏压增大，隧道电流变大；随后到达极大值然后逐渐下降（因为可进入空态减少），最后下降到零（空态没了）氮掺杂石墨烯产生负微分电导行为的物理机理Xiao-FeiLietal.Half-filledenergybandsinducednegative

differentialresistanceinnitrogen-dopedgraphene(2015)Nanoscale,IF(6.7)６.闪存与固态硬盘利用量子隧道效应进行穿隧注入(Tunnelinjection)写入，以及穿隧释放(Tunnelrelease)抹除,可实现信息的读写。他在1984年旧金山IEEE国际电子会议宣读了自己的发现，

Intel于会者看到了它的巨大潜力，于1988年推出第一款商业性闪存…,现在的闪存市场：268亿

舛冈富士雄博士在东芝公司工作期间，通过理论计算发现：(ScanningTunnelingMicroscope)７.扫描隧穿显微镜（STM）

S—样品和针尖间的距离U

—加在样品和针尖间的微小电压A

—常数

—平均势垒高度隧道电流公式05090307010(nm)硅晶体表面的STM扫描图象神经细胞的STM扫描图象单原子搬运，白春礼先生（中科院院长）镶嵌了48个

Fe原子的Cu

表面的扫描隧道显微镜照片。48个Fe

原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波世界上第一次测量到波函数形态

1986年度的诺贝尔物理奖由宾尼、罗赫尔与鲁斯卡三人分享。

前两者就是扫描隧穿显微镜的直接发明者，（鲁斯卡是1932年电子显微镜的发明者，这里只是为了追朔他的功劳）罗赫尔宾尼鲁斯卡例1：0U(x)U0III作业1：作业２：作业３：已知核的势能曲线如图，计算α粒子的透射系数加５分１.2.电子通过单一势垒时，透射系数一般很小，但是在通过双势垒时，却可以出现透射系数为100%的情况，称为共振隧穿，试研究这种情况并给出共振隧穿发生的条件加５分附录１：了解纳米与分子电子学附录２：1.方势阱的透射与共振：入射粒子E>0，势阱深度-V0，宽a。求透射系数T，并讨论T的极大，极小条件。解：E-V0oax当粒子能量E入射高度为u0的势垒(E>u0)时，透射系数为：，其中此公式也适用于势阱的透射，只须改定义即在k′表达式中以-V0替代势垒高度u0。讨论:(1)V0=0时，k′=k，T=1，此时无势阱。T=1验证公式正确(2)V0≠0时，T<1，粒子不能以100％的几率透过势阱，有一定的几率被反射，这是量子力学特有的效应。(3)当，即，T=1，取极大值