2020年高考数学一轮复习83空间点直线平面间的位置关系

§8.3空间点、直线、平面之间的地点关系考纲展现?1.理解空间直线、平面地点关系的定义．2．认识可以作为推理依照的公义和定理．3．能运用公义、定理和已获取的结论证明一些空间图形的地点关系的简单命题．考点1平面的基天性质及应用平面的基天性质公义1：假如一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公义2：过________的三点，有且只有一个平面．公义3：假如两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公义2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条________直线有且只有一个平面；推论3：经过两条________直线有且只有一个平面．答案：(1)两点(2)不在一条直线上(3)一个订交平行(1)[教材习题改编]直线a，b，c两两平行，但不共面，经过此中两条直线的平面的个数为( )A．1B．3C．6D．0答案：B(2)[教材习题改编]两两订交的三条直线最多可确立________个平面．答案：3判断点共线、线共点问题：直接法(直接运用公义或定理)．第-1-页共15页1(1)以以下图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC＝2AD，BE1＝2FA，G，H分别为FA，FD的中点．①四边形BCHG的形状是________；②点C，D，E，F，G中，能共面的四点是________．答案：①平行四边形②，，，CDEF分析：①∵G，H分别为FA，FD的中点，11∴GH綊2AD.又BC綊2AD，所以GH綊BC，所以四边形BCHG为平行四边形．1②由BE＝2FA，G为FA的中点知，BE＝FG，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面．又D∈FH，所以C，D，E，F四点共面．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC与BD交于点M，则点O与直线C1M的关系是________．答案：点O在直线C1M上分析：以以下图，由于A1C?平面A1ACC1，O∈A1C，所以O∈平面A1ACC1，而O是平面BDC1与直线A1C的交点，所以O∈平面BDC1，所以点O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上．由于AC∩BD＝M，所以M∈平面BDC1.又M∈平面A1ACC1，所以平面BDC1∩平面A1ACC1＝C1M，所以O∈C1M.第-2-页共15页[典题1](1)以下四个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，此中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④挨次首尾相接的四条线段必共面．A．0B．1C．2D．3[答案]B[分析]①明显是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不必定共面；③构造长方体如图，明显b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．已知空间四边形ABCD(以以下图)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD11上的点，且CG＝3BC，CH＝3DC.第-3-页共15页求证：①E，F，G，H四点共面；②三直线FH，EG，AC共点．[证明]①连接EF，GH，∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF∥BD.11又∵CG＝3BC，CH＝3DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．②易知FH与直线AC不平行，但共面，∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH，EG，AC共点．[点睛之笔]共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①第一由所给条件中的部分线(或点)确立一个平面，而后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将全部条件分为两部分，而后分别确立平面，再证两平面重合．证明点共线问题的两种方法：①先由两点确立一条直线，再证其余各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．证明线共点问题的常用方法：先证此中两条直线交于一点，再证其余直线经过该点．考点2空间两直线的地点关系第-4-页共15页(1)[教材习题改编]已知直线a与b平行，直线c与b订交，则直线a与c的地点关系是________．答案：订交或异面分析：当直线c在直线a与b确立的平面内时，a与c订交；当直线c与直线a，b确立的平面订交时，a与c异面．(2)[教材习题改编]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D与AQ的公垂线，则直线PQ与BD1的地点关系为________．(填序号)①平行；②异面；③订交但不垂直；④垂直．答案：①分析：∵A1D∥B1C，PQ⊥A1D，∴PQ⊥B1C.又∵PQ⊥AC，∴PQ⊥平面AB1C.∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥BD1，同理B1C⊥BD1，∴BD1⊥平面AB1C，∴PQ∥BD1.两条直线关系判断误区：异面直线看法、理解不透．以下关于异面直线的说法正确的选项是________．①若?α，?，则a与b是异面直线；abβ②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不一样在平面α内，则a与b异面；④若，b不一样在任何一个平面内，则a与b异面．a第-5-页共15页答案：④分析：①②③中的两直线可能平行、订交或异面，由异面直线的定义可知④正确．[考情聚焦]空间两条直线地点关系的判断是每年高考常考内容，而且常作为某一选项来观察，此中异面直线及平行关系是观察的要点．主要有以下几个命题角度：角度一两直线地点关系的判断[典题2](1)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知以下结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.此中正确的个数为( )A．0B．1C．2D．3[答案]B[分析]解法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能订交，还可能异面，所以①②错误，③明显成立．解法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错误，③正确．(2)[2017·浙江余姚模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则以下说法错误的选项是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行[答案]D第-6-页共15页[分析]如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；∵CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，故B正确；∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不行能平行，故D错误．应选D.[点睛之笔]点、线、面之间的地点关系可借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的地点关系，正确判断线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．角度二异面直线的判断[典题3](1)在以下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的极点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上全部正确答案的序号)①②第-7-页共15页③④[答案]②④[分析]图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，所以直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，所以GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，所以GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．(2)如图为正方体表面的一种睁开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．[答案]3[分析]平面图形的翻折应注意翻折前后相对地点的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，明显AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF订交，CD与GH订交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．[点睛之笔]异面直线的判断常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或订交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设必定两条直线异面．此法在异面直线的判断中常常用到．考点3异面直线所成角[典题4]如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )第-8-页共15页12A.5B.534C.5D.5[答案]D[分析]连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1知，AA＝2，AC＝2，AB＝BC＝5，11111115＋5－242×5×55则异面直线1与1所成角的余弦值为4.ABAD5[题点发散1]将题干条件“AA＝2AB＝2”改为“AB＝1，若平面ABCD内有且仅有一点1到极点1的距离为1”，问题不变．A解：因平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1，则AA1＝1.此时正四棱柱变成正方体ABCD－A1B1C1D1，由图知A1B与AD1所成角为∠A1BC1，连接A1C1.则△A1BC1为等边三边形，∴∠A1BC1＝60°，1cos∠A1BC1＝2，1故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.2[题点发散2]将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的9AA1余弦值为10”，试求AB的值．AA1解：设AB＝t，则AA1＝tAB.第-9-页共15页∵AB＝1，∴AA1＝t.∵A1C1＝2，A1B＝t2＋1＝BC1，11t2＋1＋t2＋1－292×t2＋1×t2＋110AA1∴t＝3，即AB＝3.[题点发散3]将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，且平面ABCD内有且仅有一点到极点1的距离为1”，则能否存在过极点A的直线l，使l与棱，，1所成角都相等．若AABADAA存在，存在几条？若不存在，请说明原由．解：由条件知，此时正四棱柱为正方体．如图，连接对角线AC1，明显AC1与棱AB，AD，AA1所成角都相等，联想正方体的其余体对角线．如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，由于BB1∥AA1，BC∥AD，所以体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等．同理体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成角都相等，故过A作BD1，A1C，DB1的平行线都满足，故这样的直线可以作4条．[点睛之笔]用平移法求异面直线所成的角的三个步骤一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；三求：解三角形，求出作出的角，假如求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；假如求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角的大小．解：解法一：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，第-10-页共15页11则PM∥AB，且PM＝2AB，PN∥CD，且PN＝2CD，所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角．则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.若∠MPN＝60°，由于PM∥AB，所以∠PMN(或其补角)是AB与MN所成的角．又由于AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.综上知，直线AB和MN所成的角为60°或30°.解法二：由AB＝CD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1－C1CD1D中进行考虑，如图，由M，N分别是BC，AD的中点，所以MN∥AA1，即∠BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角．第-11-页共15页连接A1B1交AB于O，所以A1B1∥CD，即∠AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角．所以∠AOA1＝60°或120°.由矩形AA1BB1的性质可得∠BAA1＝60°或30°.所以直线AB和MN所成的角为60°或30°.[方法技巧]1.要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确立一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“归入法”)．2．要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只需证明这些点都是这两个平面的公共点，依据公义3可知这些点在交线上，所以共线．3．判断空间两条直线是异面直线的方法(1)判判定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．反证法：证明两线不行能平行、订交或证明两线不行能共面，从而可得两线异面．4．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是经过平行挪动直线，把异面问题转变成共面问题来解决．依据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与极点地点没关．[易错防备]1.异面直线是“不一样在任何一个平面内”的直线，不要理解成“不在同一个平面内”．2．不共线的三点确立一个平面，必定不可以抛弃“不共线”条件．π3．两条异面直线所成角的范围是0，2.4．两异面直线所成的角归纳到一个三角形的内角时，简单忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD－ABCD的极点A，α∥平面CBD，111111α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.3B.22231C.3D.3答案：A分析：由于过点A的平面α与平面CBD平行，平面ABCD∥平面ABCD，所以m∥BD11111111∥，又1∥平面11，所以∥1，则与1所成的角为所求角，所以，所成角的BDABCBDnABBDABmn第-12-页共15页3正弦值为2，应选A.2．[2015·安徽卷]已知m，n是两条不一样直线，α，β是两个不一样平面，则以下命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不行能垂直于同一平面答案：D分析：可以联合图形逐项判断．A项，α，β可能订交，故错误；B项，直线m，n的地点关系不确立，可能订交、平行或异面，故错误；C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，应选D.3．[2014·辽宁卷]已知m，n表示两条不一样直线，α表示平面．以下说法正确的选项是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n?α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案：B分析：解法一：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、订交或异面，A错；若m⊥α，nα，则m⊥n，由于直线与平面垂直时，它垂直于平面内任向来线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥a或n?α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能订交，可能平行，也可能n?α，D错．解法二：如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是订交直线，故A第-13-页共15页错．B项中，m⊥α，n?α，∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．C项中，若m为AA′，n为，满足⊥α，⊥，但?α，故C错．D项中，若为′′，为′′，满足ABmmnnmABnBCm∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．[2015·浙江卷]如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝