第五章 第2单元 动能定理

一、动能1．定义：物体由于

而具有的能量叫做动能．物体的

动能跟物体的

和

都有关系，物体的

越

大、

越大，它的动能就越大．运动速度质量速度质量2．公式：Ek＝mv23．单位：与功的单位

，在国际单位制中都是

．相同焦耳4．矢标性：动能是

，只有正值．5．动能是状态量，动能的变化量是

量．标量过程动能具有相对性，其值与参考系的选取有关，一般取地面为参考系．二、动能定理1．内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中

.2．表达式：W＝

.动能的变化Ek2－Ek13．物理意义：动能定理指出了外力对物体所做的总功与物体

动能变化之间的关系，即合外力的功是物体

的

量度．动能变化4．动能定理的适用条件：动能定理既适用于直线运动，也

适用于

；既适用于恒力做功，也适用于

．力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可

以

．曲线运动变力做功不同时作用1.一个物体的动能变化ΔEk与合外力对物体所做功W具有等量

代换关系．(1)若ΔEk＞0，表示物体的动能增加，其增加量等于合外力对

物体所做的正功；(2)若ΔEk＜0，表示物体的动能减少，其减少量等于合外力对

物体所做的负功的绝对值；(3)若ΔEk＝0，表示合外力对物体所做的功等于零．反之

亦然．这种等量代换关系提供了一种计算变力做功的

简便方法．2．动能定理公式中等号的意义等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系(1)数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量

代换关系．可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，

进而求得某一力的功．(2)单位相同，国际单位都是焦耳．(3)因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因．3．动能定理中涉及的物理量有F、X、m、v、W、Ek等，

在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用

动能定理．由于只需要从力在整个位移内做的功和这

段位移始、末两状态动能变化去考虑，无需注意其中

运动状态变化的细节，同时动能和功都是标量，无方

向性，所以无论是直线运动或曲线运动，计算都会特

别方便．4．动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系

的，一般以地面为参考系．功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理，但牛顿第二定律是矢量方程，可以在互相垂直的方向上分别使用分量方程．质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图5－2－1所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是[名师归纳]

应用动能定理，特别是当某个力的大小和方向都不能确定时，可以应用动能定理很方便地求出此力的功．可以求恒力的功，可以求变力的功，可以求未知力的功1.运用动能定理须注意的问题(1)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考

虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程

都作用的，必须根据不同的情况分别对待求出总功．(2)运用动能定理时，必须明确各力做功的正、负．当一个

力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表

达为－W，也可以直接用一字母表示该力做功，使其字母

本身含有负号．2．应用动能定理的一般步骤(1)选取研究对象，明确它的运动过程．(2)分析研究对象的受力及各力做功的情况(①受哪些力？②每个力是否做功？③在哪段位移哪段过程中做功？④做正功还是负功？⑤做多少功？)，求出代数和．(3)明确过程始、末状态的动能Ek1及Ek2.(4)列方程W总＝Ek2－Ek1，必要时注意分析题目潜在的

条件，补充方程进行求解．

(10分)如图5－2－2所示，质量为M＝0.2kg的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h＝0.20m，木块离台的右端L＝1.7m．质量为m＝0.10M的子弹以v0＝180m/s的速度水平射向木块，当子弹以v＝90m/s的速度水平射出时，木块的速度为v1＝9m/s(此过程作用时间极短，可认为木块的位移为零)．若木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为l＝1.6m，求：(1)木块对子弹所做的功W1和子弹对木块所做的功W2；(2)木块与台面间的动摩擦因数μ.[答案]

(1)－243J

8.1J

(2)0.50[名师归纳]

(1)木块对子弹所做的功W1和子弹对木块所做的功W2的代数和并不为零，原因是：功是力对位移的积累，大小

，但位移大小

．(2)一般不对系统用动能定理．在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功．如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉．相互作用力不相等相等(1)在研究某一物体受到力的持续作用而发生状态改变时，如涉及位移和速度而不涉及时间时应首先考虑应用动能定理，而后考虑牛顿运动定律、运动学公式，如涉及加速度时，先考虑牛顿第二定律．(2)用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，以便更准确地理解物理过程和各量关系．有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，在计算外力做功时更应引起注意．(2009·宁夏高考)冰壶比赛是在水平冰面上进行的体育项目，比赛场地示意图如图5－2－3所示．比赛时，运动员从起滑架处推着冰壶出发，在投掷线AB处放手让冰壶以一定的速度滑出，使冰壶的停止位置尽量靠近圆心O.为使冰壶滑行得更远，运动员可以用毛刷擦冰壶运行前方的冰面，使冰壶与冰面间的动摩擦因数减小．设冰壶与冰面间的动摩擦因数为μ1＝0.008，用毛刷擦冰面后动摩擦因数减小至μ2＝0.004.在某次比赛中，运动员使冰壶C在投掷线中点处以2m/s的速度沿虚线滑出．为使冰壶C能够沿虚线恰好到达圆心O点，运动员用毛刷擦冰面的长度应为多少？(g取10m/s2)解析：设冰壶在未被毛刷擦过的冰面上滑行的距离为x1，所受摩擦力的大小为Ff1；在被毛刷擦过的冰面上滑行的距离为x2，所受摩擦力的大小为Ff2，则有x1＋x2＝x式中x为投掷线到圆心O的距离，Ff1＝μ1mg

Ff2＝μ2mg设冰壶的初速度为v0，由功能关系，得Ff1x1＋Ff2x2＝mv02联立以上各式，解得x2＝代入数据得x2＝10m.答案：10m5．(2009·上海高考)质量为5×103kg的汽车在t＝0时刻

速度v0＝10m/s，随后以P＝6×104W的额定功率沿

平直公路继续前进，经72s达到最大速度，该汽车受

恒定阻力，其大小为2.5×103N.求：(1)汽车的最大速度vm；(2)汽车在72s内经过的路程x.[随堂巩固]1．下列关于运动物体所受合外力做的功和动能变化的

关系正确的是(

)A．如果物体所受合外力为零，则合外力对物体做的

功一定为零B．如果合外力对物体所做的功为零，则合外力一定

为零C．物体在合外力作用下做变速运动，动能一定发生

变化D．物体的动能不变，所受合外力一定为零解析：由W合＝F合·xcosα可知，A项正确，B项错；匀速圆周运动中ΔEk＝0，C项错；物体的动能不变，则合外力的功为零，但合外力不一定为零，D项错．答案：

A2．质量为m的物体在水平力F的作用下，由静止开始在

光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前

进一段距离使物体的速度增大为2v，则(

)A．第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量

B．第二过程的动能增量是第一过程的动能增量的3倍

C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功

D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍解析：由题意知，A选项正确，由动能定理知W1＝mv2，W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，故B正确．答案：AB3．两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比m1∶m2＝1∶2，速度之比v1∶v2＝2∶1.当两车急刹车

后，甲车滑行的最大距离为l1，乙车滑行的最大距离为l2.设两车与路面间的动摩擦因数相等，不计空气阻力，

则(

)A．l1∶l2＝1∶2B．l1∶l2＝1∶1C．l1∶l2＝2∶1D．l1∶l2＝4∶1解析：由动能定理，对两车分别列式－F1l1＝0－m1v12，－F2l2＝0－m2v22，F1＝μm1g，F2＝μm2g.由以上四式联立得l1∶l2＝4∶1.故选项D是正确的．答案：

D4.如图5－2－4所示，电梯质量为M，地

板上放置一质量为m的物体．钢索拉

电梯由静止开始向上加速运动，当上

升高度为H时，速度达到v，则(

)A．地板对物体的支持力做的功等于mv2B．地板对物体的支持力做的功等于mgHC．钢索的拉力做的功等于Mv2＋MgHD．合力对电梯M做的功等于Mv2解析：对物体m用动能定理：WFN－mgH＝mv2，故WFN＝mgH＋mv2，A、B均错．钢索拉力做的功WF拉＝(M＋m)gH＋(M＋m)v2，故C错误．由动能定理知，合力对电梯M做的功应等于电梯动能的变化