结构力学 07 力法

第7章力法教学目标掌握力法基本原理，能正确判定超静定次数，并选取力法的基本结构熟练掌握在荷载作用下用力法计算超静定结构的方法掌握利用结构的对称性简化计算的方法理解在支座位移等因素作用下，力法计算超静定结构的方法Contents目录超静定结构和超静定次数1力法的典型方程3对称性的利用5力法的基本原理2力法计算的应用4支座移动时的超静定结构计算6超静定结构和超静定次数§7.11、超静定结构的概念在几何组成方面是几何不变有多余约束的体系；静力学方面，其中内力和反力不能完全由静力平衡条件确定。由于超静定结构整体性好，有较大的强度、刚度和稳定性，因而在工程上得到广泛的应用。类型：超静定梁、刚架、拱、桁架、组合结构。二、超静定结构的超静定次数，就是多余约束的数目，也等于所补充的方程的个数。超静定结构和超静定次数§7.12、超静定次数的确定超静定结构具有多余联系，因此具有多余力。通常将多余联系的数目或多余力的数目称为超静定结构的超静定次数。超静定结构在几何组成上，可以看作是在静定结构的基础上增加若干多余联系而构成，因此，确定超静定次数最直接的方法就是在原结构上去掉多余联系，直至超静定结构变成静定结构，所去掉的多余联系的数目，就是原结构的超静定次数。从超静定结构上去掉多余联系的方式有以下几种：（1）去掉支座处的支杆或切断一根链杆，相当下去掉一个联系，如图(a)(b)所示；（2）撤去一个铰支座或撤去一个单铰，相当于去掉二个联系，如图(c)(d)所示；（3）切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当于去掉三个联系，如图(e)所示；（4）将一刚结点改为单铰联结或将一个固定支座改为固定铰支座，相当于去掉一个联系，如图(f)所示。超静定结构和超静定次数§7.1由于去掉多余联系的方式的多样性，在力法计算中，同一结构的基本结构可有各种不同的形式。但应注意，去掉多余联系后基本结构必须是几何不变的。为了保证基本结构的几何不变性，有时结构中的某些联系是不能去掉的。如图7-4(a)所示刚架，具有一个多余联系。若将横梁某处改为铰接，即相当于去掉一个联系得到如图7-4(b)所示静定结构；当去掉

支座的水平链杆则得到如图7-4(c)所示静定结构，它们都可作为基本结构。但是，若去掉支座的竖向链杆或支座的竖向链杆，即成瞬变体系如图7-4(d)所示，显然是不允许的，当然也就不能作为基本结构。超静定结构和超静定次数§7.1如图7-5(a)所示超静定结构属内部超静定结构，因此，只能在结构内部去掉多余联系得基本结构，如图7-5(b)所示。超静定结构和超静定次数§7.1如图7-6(a)所示结构的超静定次数等于3×8=24。当结构的某些结点为铰接时，则一个单铰减少一个超静定次数。如图7-6(b)所示结构的超静定次数等于3×8-5=19。力法的基本原理§7.2基本体系基本结构超静定结构7.2.1力法的基本结构力法的基本原理：以多余的约束力作为基本未知量，以解除多余约束后的静定结构作为基本结构，根据基本结构在解除约束处的位移条件(基本结构在荷载和多余约束力共同作用下，在解除约束处沿约束力方向产生的位移和原来超静定结构在解除约束处沿约束力方向产生的位移相等)，建立力法方程，解出多余约束力，然后再利用叠加原理求内力作内力图。力法的基本原理§7.2力法的基本原理§7.2多余力X1求出后，其余所有反力和内力都可用静力平衡条件确定。超静定结构的最后弯矩图、剪力图、轴力图，均可利用叠加法绘制力法的基本原理§7.2

力法特点：（1）以多余未知力作为基本未知量，并根据基本体系与原结构变形协调的位移条件，求解基本未知量；（2）力法的整个计算过程自始至终都是在基本体系上进行的。因此，就是把超静定结构的计算问题，转化成了前面已学习过的静定问题；（3）基本体系与原结构在受力、变形和位移方面完全相同，二者是等价的。（4）基本体系的选取不是唯一的。力法的典型方程§7.3力法的典型方程：用力法计算超静定结构的关键在于根据位移条件建立力法的基本方程，以求解多余力。对于多次超静定结构，其计算原理与一次超静定结构完全相同。下面对多次超静定结构用力法求解的基本原理作进一步说明。力法的典型方程§7.3n次超静定结构力法计算的应用§7.4力法计算步骤：（1）确定结构的超静定次数n，去掉多余约束，并以多余未知力代替相应多余约束的作用，得到原结构的力法基本体系。同一个超静定结构的力法基本体系的选择不是唯一的。（2）根据基本结构在和荷载共同作用下，沿方向的位移与原结构各相应位移相等的条件，建立力法的典型方程。（3）分别作出基本结构在和荷载作用下内力图（或写出内力表达式），计算典型方程中的系数和自由项。（4）求解典型方程，得出各多余未知力。（5）按分析静定结构的方法，由平衡条件和叠加法绘制结构的内力图（6）校核。对于超静定结构，不仅要校核平衡条件，还要校核变形条件。力法计算的应用§7.4【例7-1】图(a)所示刚架，EI=常数，试做出其内力图。解：⑴确定超静定次数，选取基本结构此刚架具有一个多余联系，是一次超静定结构，去掉支座链杆C即为静定结构，并用X1代替支座链杆C的作用，得基本结构如图(b)所示。⑵建立力法典型方程原结构在支座C处的竖向位移Δ1=0。根据位移条件可得力法的典型方程如下：力法计算的应用§7.4⑶求系数和自由项⑷求解多余力

力法计算的应用§7.4⑸绘制内力图力法计算的应用§7.4【例7-2】图7-13(a)所示刚架，EI=常数，试作出其内力图。解：⑴确定超静定次数，选取基本结构此刚架是两次超静定的。去掉刚架B处的两根支座链杆，代以多余力X1和X2

，得到图7-13(b)所示的基本结构。⑵建立力法典型方程力法计算的应用§7.4⑶绘出各单位弯矩和荷载弯矩图如图7-14(a)(b)(c)所示。利用图乘法求得各系数和自由项如下：（4）求解多余力代入求解可得力法计算的应用§7.4⑸绘制内力图：弯矩图及剪力图、轴力图，如图7-14(d)(e)(f)所示。上述两个例题表明：⑴力法计算的关键是：确定基本未知量，选择基本结构，建立典型方程。⑵力法方程的系数和自由项的计算就是求静定结构的位移。⑶力法方程解得多余未知力后，可用静力平衡方程或内力叠加计算超静定结构的内力和绘制内力图。力法计算的应用§7.4【例7-3】【应用案例】

用力法计算按平面排架简化的单层厂房单层厂房是一个空间结构，其平面布置如图7-15(a)所示，它的横向是一个由基础、柱子和屋架组成的排架（图7-15(b)），排架沿厂房纵向一般按6m等间距排列，各排架之间用纵向构件如屋面板、吊车梁、纵向支撑等相联。作用于厂房结构上的恒载和风、雪等荷载，一般是沿纵向均匀分布的。因此，可以取图7-15(a)中阴影线所示部分作为计算单元，并按平面排架进行计算。由于屋架横向变形很微小，通常近似将屋架看作一轴向刚度EA为无限大的杆件，其作用类似一条横梁，计算简图如图7-15(c)所示。铰接排架结构由于柱上常放置吊车梁，因此柱截面按分段直线变化，做成阶梯形。力法计算的应用§7.4排架算例

计算图7-16(a)所示排架柱的内力，并作出弯矩图。解

⑴选取基本结构如图7-16(b)所示。力法计算的应用§7.4⑵建立力法方程(3)分别作基本结构的P图和-图，如图7-16(c)、图7-16(d)所示。利用图乘法计算系数和自由项分别如下：⑷

计算多余未知力:将系数和自由项带入力法方程，得对称性的利用§7.5一、对称的基本结构对称结构受荷载作用对称性的利用§7.5基本体系对称性的利用§7.5二、对称结构在正对称荷载作用下正对称荷载对称性的利用§7.5奇数跨刚架的等效半结构偶数跨刚架的等效半结构对称性的利用§7.5二、对称结构在正反对称荷载作用下反对称荷载对称性的利用§7.5奇数跨刚架的等效半结构偶数跨刚架的等效半结构对称性的利用§7.5【例7-4】利用结构对称性，计算图7-20(a)所示刚架，并作最后弯矩图。解

（1）此结构为三次超静定刚架，且结构及荷载均为对称。在对称轴处切开。取图7-20(b)所示的基本结构。由对称性的结论可知X3=0，只须考虑对称未知力X1及X2（2）由切开处的位移条件，建立典型方程对称性的利用§7.5（3）做弯矩图，并利用图形相乘求系数和自由项（4）将各系数和自由项代入典型方程，并解方程得X1，X2（5）叠加作M图，求得各杆杆端弯矩值，作最后弯矩图1.力法的基本原理：将超静定结构中的多余联系去掉，代之以多余未知力，得到的静定结构作为基本结构。以多余未知力作为力法的基本未知量，利用基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的变形条件建立力法方程，从而求解多余未知力。求得多余未知力后，超静定问题就转化为静定问题，可用平衡条件求解所有未知力。因此，力法计算的关键是：确定基本未知量，选择基本结构，建立典型方程。2.确定基本未知量和选择基本结构：去掉多余联系使原超静定结构变为静定结构，去掉的多余联系处的多余未知力即为基本未知量。去掉多余联系后的静定结构即为基本结构，两者是同时选定的。同一超静定结构可以选择多个基本结构，但基本结构必须是几何不变且无多余联系的静定结构。3.建立力法典型方程：基本结构在原荷载（或支座移动等）及多余未知力作用下，沿多余未知力方向的位移应与原结构在相应处的位移相等，据此列出力法典型方程。要充分理解力法典型方程所代表的变形条件的意义，以及方程中各项系数和自由项的含义。4.典型方程的系数和自由项的计算：系数和自由项的计算就是求静定结构的位移。因此，必须保证静定结构的内力图的正确和位移计算的准确。力法方程中的主系数(i